消除拓撲優(yōu)化中棋盤格式現(xiàn)象的方法評述

楊凱 高東東 周國棟

摘 要：棋盤格現(xiàn)象是結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中的普遍現(xiàn)象。本文介紹了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中的棋盤格式現(xiàn)象及其產(chǎn)生的原因，通過對棋盤格式現(xiàn)象認識的深入人們對解決這一問題的提出了各種方法，本文對其中一些代表性方法進行了分析比較。

關(guān)鍵詞：棋盤格，拓撲優(yōu)化，連續(xù)體

中圖分類號： N945.15文獻標識碼： A

引言

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化主要指在特定設(shè)計區(qū)域內(nèi)，滿足給定約束條件，尋求目標函數(shù)最?。ɑ蜃畲螅┑淖顑?yōu)的材料分布形式，以此確定結(jié)構(gòu)中空洞的位置、數(shù)量及連接形式[1]。根據(jù)處理對象不同主要分為兩類，一類是離散體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，另一類是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化。

棋盤格式是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中常見的一種現(xiàn)象。本文對棋盤格式出現(xiàn)的原因進行了分析，并對目前解決這一問題的幾種常用方法進行了分析比較，通過對方法理論的對比篩選出更方便實用的棋盤格抑制方法。

一、棋盤格式現(xiàn)象簡介

在對連續(xù)體進行拓撲優(yōu)化時，我們總希望能獲得一個邊界清晰、光滑的優(yōu)化結(jié)果，但在實際的優(yōu)化過程中總會出現(xiàn)棋盤格式現(xiàn)象。所謂棋盤格式，是指結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中單元材質(zhì)密度周期性高低分布的一種現(xiàn)象。

二、對棋盤格現(xiàn)象認知的發(fā)展

在拓撲優(yōu)化過程中，無論采用何種參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計變量，也無論采用何種優(yōu)化設(shè)計方法，都會出現(xiàn)棋盤格式。在早期結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化研究中，有些學(xué)者誤認為這是一種較為理想的結(jié)果。但從制造角度來說，不但加工困難，成本太高，同時不適合應(yīng)用的實際，也不符合材料的最優(yōu)分布原則。不是設(shè)計者希望得到的結(jié)果。歸根結(jié)底，棋盤格式是拓撲優(yōu)化數(shù)值計算中的一種不穩(wěn)定現(xiàn)象。流體力學(xué)中的Strokes 流問題與其類似，表現(xiàn)為流體壓力正負相間分布，而非光滑連續(xù)分布。利用有限元方法求解混合變分問題時也有類似的現(xiàn)象[2]，在這類問題中棋盤格式的形成是由于違背了所謂的Babuska-Brezzi 條件。

Jog[3]從理論上詳細闡述了結(jié)構(gòu)剛性拓撲優(yōu)化設(shè)計時棋盤格式出現(xiàn)的原因，他認為拓撲優(yōu)化是密度變量r 和位移變量u 的混合變分問題，并證明當r 和u 采用特定組合時可避免棋盤格式的出現(xiàn)。Diaz 和Sigmund[4]指出，拓撲優(yōu)化時一般采用有限元方法對設(shè)計區(qū)域進行離散化，正是由于有限元方法引入的數(shù)值逼近，從而使棋盤格式排列的材料比其他的排列形式具有更高的“虛擬”剛度，是應(yīng)變能的穩(wěn)態(tài)極值，并通過對棋盤格的剛度和均勻分布材料的剛度進行對比，給出了數(shù)值上的證明。

Sigmund 和Petersson[5]對拓撲優(yōu)化中出現(xiàn)的各種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，包括棋盤格式、網(wǎng)格依賴型和局部極值，進行了較為詳細的闡述，并對各種解決方法進行了對比。

三、解決棋盤格式現(xiàn)象的方法及比較

近年來，很多學(xué)者都致力于棋盤格式問題的解決，提出了一些切實有效的避免棋盤格式的求解策略，大致可分為三類：第一類是后處理方法，采用后處理技術(shù)將棋盤格式過濾掉。第二類方法是采用較為穩(wěn)定的有限元模型。第三類方法是改變優(yōu)化目標函數(shù)的泛函以使優(yōu)化過程趨于穩(wěn)定。

解決棋盤格式最簡單的方法是采用高階有限單元代替低階有限單元，增加單元自由度，如采用8 節(jié)點或9 節(jié)點單元代替4 節(jié)點單元，Diaz和Jog[3,4]的研究表明，對于均勻化方法，這種方法可在很大程度上避免棋盤格式的出現(xiàn)，而對于SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)方法，只有當懲罰因子足夠小時，采用高階單元才可以避免棋盤格式，但同時也使計算量急劇增加。

為節(jié)約計算時間，Kikuchi 等提出用4 個相鄰的單元組成一個“超參元”，并且規(guī)定這4 個單元可采取的組合方式，通過排除可能出現(xiàn)棋盤格式的組合來避免棋盤格式的出現(xiàn)，但這種方法并不能徹底消除棋盤格式。

Haber[6]提出的周長約束法通過限制結(jié)構(gòu)的周長來抑制棋盤格式的出現(xiàn)，其周長為結(jié)構(gòu)內(nèi)外邊界的長度和，但周長的約束值事先難以確定，只能通過試驗方法得到，給實際應(yīng)用帶來困難。

Petersson[7]等提出局部梯度約束方法，通過引入局部密度變分的梯度約束，使相鄰單元的密度變化相對平緩，從而抑制棋盤格式的出現(xiàn)。

Sigmund[8]提出了基于圖像處理技術(shù)的“濾波”法，通過調(diào)整算法每次循環(huán)迭代中的設(shè)計敏度可以有效地避免棋盤格式的出現(xiàn)，這種方法還可以同時解決網(wǎng)格依賴性問題。

四、結(jié)語

棋盤格式是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中常見的一種現(xiàn)象。對于棋盤格產(chǎn)生的原因，目前尚沒有本質(zhì)上的定論。在拓撲優(yōu)化中，棋盤格式的出現(xiàn)與所采用的材質(zhì)設(shè)計變量無關(guān)，即不論是采用均勻化設(shè)計方法還是采用密度法，均會出現(xiàn)棋盤格式。

上述這些方法都能不同程度的解決棋盤格現(xiàn)象，但是不能完全解決，而是在某些程度上減弱了棋盤格現(xiàn)象。拓撲優(yōu)化方法中漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法相對其它方法，應(yīng)用概念更簡單，可以直接以重量為優(yōu)化目標，算法通用性好，優(yōu)化效率高。但棋盤格現(xiàn)象確實該方法在實際工程應(yīng)用中的一個重點難點，對于解決棋盤格現(xiàn)象的方法研究是今后拓撲優(yōu)化領(lǐng)域的研究重點。

參考文獻

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