淺談初中數(shù)學(xué)中圖形的旋轉(zhuǎn)變換之解題應(yīng)用

翁建輝

摘 要：圖形的旋轉(zhuǎn)是初中教學(xué)圖形變換的基本內(nèi)容之一，通過旋轉(zhuǎn)改變位置后重新組合，然后作為全等變換，需要在新舊圖形之間找到其中的變量和不變量，從而在新圖形中分析出有關(guān)圖形間的關(guān)系，進而揭示條件與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，找到解題途徑。

關(guān)鍵字：圖形；旋轉(zhuǎn)變換；應(yīng)用

圖形的旋轉(zhuǎn)這部分數(shù)學(xué)內(nèi)容在教學(xué)過程中能讓學(xué)生“經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探索、運動、位置確定等過程”，更能使學(xué)生由感性認識向理性認識轉(zhuǎn)變?nèi)フ莆铡皥D形與幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能”。探索圖形之間的變換關(guān)系，靈活運用軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移進行圖形的變化，是近幾年中考中常見的題型。本文就圖形的旋轉(zhuǎn)知識淺談在解題中的應(yīng)用。

一、利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換巧妙構(gòu)圖

運用圖形的旋轉(zhuǎn)變換解決實際問題，教師往往要根據(jù)問題的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生從圖形入手，分析題目的意圖，在結(jié)合旋轉(zhuǎn)變化過程中圖形的形狀不變（全等圖形）和旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)，鼓勵學(xué)生通過問題的條件和圖形，分析和觀察出圖形中的旋轉(zhuǎn)變換，達到解決問題的目的。這樣巧妙地運用圖形的旋轉(zhuǎn)變換，可以讓學(xué)生經(jīng)歷圖形旋轉(zhuǎn)概念形成的過程，理解圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，深化對圖形旋轉(zhuǎn)概念的理解和運用。

例1.如圖1，四邊形ABCD是正方形，△ADE經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合。

（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點？

（2）旋轉(zhuǎn)了多少度？

（3）如果連接EF，那么圖1

△AEF是怎樣的三角形？

【分析】：（1）（2）小題，學(xué)生可直接經(jīng)觀察寫出結(jié)果；對于（3）小題，先組織學(xué)生小組合作探究，利用已有的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗：“經(jīng)常判斷三角形的形狀有：等邊三角形、等腰三角形、直角三角形”，再根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，很容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)連接EF，利用AE=AF，∠1=∠2，可得∠FAE=∠2+∠3=90°，進而得到△AEF是等腰直角三角形。

此題也可以拓展延伸，讓學(xué)有余力的學(xué)生思考，把題中的E點放在正方形內(nèi)或外，再把△ADE繞A點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，也可以判斷△AEF是等腰直角三角形。還可以引用：如廈門市06年的中考題目中的一題“如圖2，在四邊形ABCD中，∠A=90°，∠ABC與∠ADC互補。（1）若BC>CD且AB=AD，請在圖5上畫出一條線段，把四邊形ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新拼成一個正方形，并說明理由；（2）若CD=6，BC=8，S四邊形ABCD=49，求AB的值”，也可以結(jié)合上題的方法求解。

二、利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換巧妙猜想

數(shù)學(xué)問題有了猜想，才會使問題充滿了魅力和活力。圖形的旋轉(zhuǎn)變換滲透在幾何變式問題之中，凸顯了數(shù)學(xué)猜想的重要作用。但數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)要循序漸進，要通過不斷變式問題的訓(xùn)練和學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)，才能為猜想打下基礎(chǔ)，才能使學(xué)生養(yǎng)成從多個角度去分析問題、解決問題的習(xí)慣。這些能力的培養(yǎng)不僅有利于學(xué)生靈活掌握所學(xué)的圖形旋轉(zhuǎn)知識和相關(guān)正方形、等腰直角三角形的知識，也有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)：觀察—類比—猜想—驗證。

例2.如圖3，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連接AF，BD。（1）觀察圖形，猜想AF與BD有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想；（2）若將正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內(nèi)部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標(biāo)記字母，題（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立？若成立，直接寫出結(jié)論，不必證明，若不成立，請說明理由。

【分析】：（1）小題可以通過小組合作探究、觀察，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中隱含著旋轉(zhuǎn)變換，△ACF繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCD。從而猜想出AF=BD且AF⊥BD。這樣的猜想過程也為證明做好了鋪墊，很順利地使學(xué)生找到證明兩個三角形全等的條件，得到△ACF≌△BCD，推出AF=BD和∠AFC=∠BDC，再利用∠AFC+∠FGC=90°（AF與DC交點為G）得到AF⊥BD。（1）小題為（2）小題做好了鋪墊，學(xué)生就會按（1）小題的方法準(zhǔn)確得出不同位置的正方形和等腰直角三角形的分類，通過學(xué)生的觀察、比較，猜想出結(jié)論：AF=BD且AF⊥BD。其中圖3（2）為CD邊在△ABC的內(nèi)部時，圖3（3）為CF邊在△ABC的內(nèi)部時。正方形CDEF繞點C旋轉(zhuǎn)時，使正方形CDEF的一邊落在△ABC內(nèi)部，始終有AF=BD數(shù)量關(guān)系和AF⊥BD的位置關(guān)系。

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三、利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換巧妙設(shè)計

圖形的旋轉(zhuǎn)變換如果和平移、軸對稱、中心對稱等相關(guān)知識結(jié)合在一起來設(shè)計問題，感覺很復(fù)雜，但若抓住圖形變換的規(guī)律，會發(fā)現(xiàn)第一種圖案的具體要求和變化，往往為下一步做好了鋪墊。下面這兩個例題，一是把分散的兩個圖形經(jīng)旋轉(zhuǎn)集中到一個規(guī)則的圖形中，從而求解；二是考查學(xué)生的動手操作能力和靈活處理問題的能力，把不規(guī)則的圖形經(jīng)旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱、中心對稱變?yōu)槊利?、和諧、規(guī)律的圖形。解決這樣的問題會給學(xué)生帶來無窮的樂趣和遐想，也讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)源于生活而又高于生活，感受到生活中許多問題可以用數(shù)學(xué)去審視它、研究它。

例3.如圖所示，四邊形ECFD為正方形，觀察圖形回答下列問題：

（1）請簡述由圖4（1）變換為圖4（2）的變換過程。

（2）若AD=4，BD=6，求S△ADE+S△BDF。

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【分析】：兩個小問題中，（1）題學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵是（2）題要讓學(xué)生借助（1）題通過△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′DF的結(jié)論，讓學(xué)生從畫圖的過程中體會和發(fā)現(xiàn)分散求兩個三角形△ADE、△BDF的面積和的問題可轉(zhuǎn)化為求一個△A′DB的面積，從而得到結(jié)果。

例4.（2009.山西中考）已知每個網(wǎng)格中小正方形的邊長都是1，圖5（1）中的陰影圖案是由三段以格點為圓心，半徑分別為1和2的圓弧圍成。

（1）填空：圖5（1）中陰影部分的面積是____________（結(jié)果保留π）。

（2）請你以此圖為基本圖案，借助軸對稱、平移或旋轉(zhuǎn)設(shè)計一個完整的花邊圖案（要求至少含有兩種圖形變換）。

【分析】：本題（1）小題與上一題類似，學(xué)生通過觀察用例3的方法把圖中陰影的一部分經(jīng)旋轉(zhuǎn)180°轉(zhuǎn)化為學(xué)生能夠直接求出弓形的面積。

（2）答案不唯一，如圖：

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四、利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換巧妙轉(zhuǎn)化

在教學(xué)過程中，讓學(xué)生“動一動、做一做”，可讓學(xué)生感受到“概念是思維的細胞”，通過師生共同探究來解決下面這兩個題目的過程中，會讓學(xué)生深刻體會圖形旋轉(zhuǎn)變換的作用，感受到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法的靈活運用。從而使學(xué)生緊緊抓住旋轉(zhuǎn)變換后新圖形與原圖形所具備的性質(zhì)，并結(jié)合正方形、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值，以動制靜，化繁為簡，幫助學(xué)生找到解題的途徑：“旋轉(zhuǎn)—轉(zhuǎn)化—證明（計算）”。

例5.如圖6，已知△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB上一點，求證：DB2+AD2=2CD2。

【分析】：解決旋轉(zhuǎn)問題主要抓住兩點：一是旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等，二是利用好旋轉(zhuǎn)的角度。利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將△ACD繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再連接ED，將分散的線段DB、AD、CD化歸到兩個直角三角形△BDE、△CDE中，通過勾股定理得到ED2=DB2+BE2=DB2+AD2，進而得到ED2=CD2+CE2=2CD2。

例6.（2012萊蕪）如圖7，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC邊的中點。將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°<α<180°），得到△AB′C′。

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（1）探究DB′與EC′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

（2）當(dāng)DB′∥AE時，試求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)。

【分析】（1）小題由三角形中位線定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、AB=AC，可得△ADB′≌△AEC′，因此得DB′=EC′；（2）利用△ADB′≌△AEC′和DB′∥AE、∠BAC=90°可得∠B′DA=∠DAE=90°，從而∠C′EA=90°。把問題轉(zhuǎn)化到Rt△C′EA中，再應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值就可容易求得旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)。

圖形的變化對培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和思維能力有著重要的、不可替代的作用，因此成為近年來中考命題的熱點之一。上述問題來源于教材，更多的來源于各地的中考試題，在解決這些問題時，關(guān)鍵要抓住圖形在旋轉(zhuǎn)過程中對應(yīng)線段、對應(yīng)角的大小不變、旋轉(zhuǎn)角度相等。這些不變量的性質(zhì)和圖形旋轉(zhuǎn)過程中特殊的位置關(guān)系及特殊的圖形，使得上述題目在圖形旋轉(zhuǎn)過程中蘊含了豐富的數(shù)學(xué)知識點、數(shù)學(xué)的思維方法和圖形的美感。如例3、例4、例5幾個題目的圖形比較復(fù)雜，隱含著一些條件，這需要學(xué)生有一定的閱讀、理解、觀察、分析和操作的能力，才能發(fā)現(xiàn)圖形中隱含的類似條件“Rt△BDE”等，然后通過相關(guān)操作活動、概括和表達有關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)、推理與應(yīng)用相關(guān)知識，才能達到解決問題的目的；例1是教材中的一個題目，在常規(guī)訓(xùn)練過程中進行一些拓展，可以為今后學(xué)生遇到類似例2和例3這樣的題目做好鋪墊，大大地培養(yǎng)了學(xué)生的自信心，提高了學(xué)生的思維分析能力；例3、例4、例6這樣的題型背景多是來源于生活。從這里可以看出教師在教學(xué)過程中要重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，多以圖形的旋轉(zhuǎn)為中介尋求方法，體驗解決問題的過程。多創(chuàng)造問題情境，把三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓等相關(guān)內(nèi)容的知識通過圖形的旋轉(zhuǎn)有機地結(jié)合在一起，有計劃、有規(guī)律地讓學(xué)生多體驗從生活實際背景中提煉出數(shù)學(xué)問題、從復(fù)雜變化的圖形中通過圖形的旋轉(zhuǎn)來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，達到解決問題、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的。

？誗編輯 董慧紅