形狀參數(shù)對(duì)霍爾效應(yīng)性能影響的理論研究

葉森鋼， 朱敏杰， 阮謝永， 余亞?wèn)|

(紹興文理學(xué)院， 浙江 紹興 312000)

0 引 言

霍爾效應(yīng)是1879年美國(guó)物理學(xué)家霍爾首先發(fā)現(xiàn)的，但由于金屬導(dǎo)體中霍爾效應(yīng)較為微弱，在以后的幾十年中沒(méi)有得到很好應(yīng)用[1]。隨著半導(dǎo)體材料研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)在半導(dǎo)體材料中霍爾效應(yīng)較為明顯，才使得霍爾效應(yīng)得到廣泛應(yīng)用。影響霍爾效應(yīng)強(qiáng)弱的因素很多，首先是材料性能，其次還有愛(ài)廷豪森效應(yīng)、能斯脫效應(yīng)、里級(jí)-勒杜克效應(yīng)、不等位效應(yīng)、溫度及霍爾材料性能等，其中材料性能對(duì)霍爾電勢(shì)的影響主要由RH=ρμ體現(xiàn)(ρ為元件的電阻率;μ為元件中載流子遷移率)，由此可知金屬導(dǎo)體和絕緣體的霍爾效應(yīng)很弱，半導(dǎo)體的較為明顯[2-3]。另外,霍爾元件的形狀參數(shù)對(duì)霍爾效應(yīng)也有較大影響，但目前對(duì)形狀參數(shù)的研究多側(cè)重于實(shí)驗(yàn)，理論分析和研究很少[4-5]。本文從理論角度,并盡可能簡(jiǎn)單地闡述該因素對(duì)霍爾效應(yīng)的影響機(jī)理。

1 霍爾效應(yīng)產(chǎn)生原理

置于磁場(chǎng)中的載流導(dǎo)體，當(dāng)它的電流方向與磁場(chǎng)方向不一致時(shí)，載流導(dǎo)體上與電流方向和磁場(chǎng)方向所在平面的平行的兩個(gè)表面之間會(huì)產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，這種現(xiàn)象就稱為霍爾效應(yīng)，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)稱為霍爾電勢(shì)[6]。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文分析的霍爾元件為較典型的長(zhǎng)方體[7],如圖1所示。在垂直于磁場(chǎng)B的方向放置一霍爾元件(假定該霍爾元件以單一的電子作為載流子)，在霍爾元件通以圖1中方向的電流I，最初，該電流使電子在電場(chǎng)作用下做定向運(yùn)動(dòng)，由于有磁場(chǎng)的存在，電子還受到洛倫茲力fL作用， 大小為

fL=ev0B

(1)

式中：e為電子電荷；v0為電子運(yùn)動(dòng)平均速度；B為磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不考慮載流子速度的統(tǒng)計(jì)分布，同時(shí)考慮半導(dǎo)體中載流子的散射運(yùn)動(dòng)，因此可以認(rèn)為載流子都有相同的速度，并假設(shè)載流子的速度為平均速度為v0[8]。fL方向向內(nèi)，所以電子在洛侖茲力的作用下，方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，使得圖1中霍爾元件內(nèi)側(cè)面開(kāi)始積累負(fù)電荷，外側(cè)面積累了正電荷，從而形成方向由外而內(nèi)的附加電場(chǎng)。這樣，元件中運(yùn)動(dòng)的電子不僅受到洛倫茲力的作用，還受到附加電場(chǎng)力的作用，該電場(chǎng)力的方向與洛倫茲力的方向相反。隨著內(nèi)外側(cè)面積累電荷的增加，附加電場(chǎng)增大，電子受到的附加電場(chǎng)力也相應(yīng)增大，最終當(dāng)電子所受的洛倫茲力與電場(chǎng)力大小相等時(shí)，由于它們的方向相反，電子不再在兩側(cè)面上積累，達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，此時(shí)該附加的橫向電場(chǎng)就稱為霍爾電場(chǎng)，內(nèi)外側(cè)面存在相應(yīng)的電勢(shì)稱為霍爾電勢(shì)，此時(shí)有霍爾電場(chǎng)力如下：

fE=eEH，fL=fE

(2)

式中：UH為內(nèi)外側(cè)面間的電位差；b為元件的寬度；EH為霍爾電場(chǎng)。

圖1 霍爾效應(yīng)原理圖

設(shè)n為霍爾元件內(nèi)單位體積內(nèi)的載流子數(shù)，則激勵(lì)電流I為

I=nev0s=nev0bd

(5)

式中：d為霍爾元件的厚度，可得：

v0=I/(nebd)

(6)

將式(5)代入式(3)、(4)可得：

UH=RHIB/d=KHIB

(7)

式中：RH為霍爾常數(shù)，RH=1/ne，KH=RH/d稱為霍爾靈敏度，可知霍爾電勢(shì)為霍爾靈敏度、磁感應(yīng)強(qiáng)度和激勵(lì)電流的乘積。

2 形狀參數(shù)對(duì)霍爾電勢(shì)的影響

式(7)是在元件長(zhǎng)寬比l/b較大的情況下理想化的表達(dá)式，在實(shí)際中形狀參數(shù)的不同，會(huì)影響到達(dá)側(cè)面的載流子數(shù)量。如果到達(dá)側(cè)面的載流子數(shù)量很少，那么側(cè)面聚集的電荷產(chǎn)生的霍爾電場(chǎng)很弱，即元件中載流子受到的霍爾電場(chǎng)力不能夠與洛倫茲力相等，從而導(dǎo)致霍爾電勢(shì)不能用上面的理想公式表示，所以實(shí)際元件要有形狀參數(shù)修正因子，即：

UH=KHIBfl/b

(8)

式中：l/b為霍爾元件長(zhǎng)寬比；fl/b為形狀修正因子[9]。

下面討論要使霍爾效明顯應(yīng)滿足的形狀條件。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，以下霍爾元件仍然為長(zhǎng)方體，載流子為單一的電子，不考慮載流子速度的統(tǒng)計(jì)分布，同時(shí)考慮半導(dǎo)體中載流子的散射運(yùn)動(dòng)，因此可認(rèn)為載流子具有相同的速度，并假設(shè)載流子的平均速度均為v0。

由前述的霍爾效應(yīng)產(chǎn)生的原理可知，要使霍爾效應(yīng)明顯，應(yīng)使霍爾元件在兩側(cè)面積累的電荷面密度越大越好，即在確定的霍爾元件兩側(cè)面上積累的電荷越多越好。為此可考察如圖2所示的載流子運(yùn)動(dòng)分布。

圖2 載流子在元件中運(yùn)動(dòng)情況示意圖

假定圖中載流子均勻地進(jìn)入霍爾元件的AM端面，在圖中所示的磁場(chǎng)和外加激勵(lì)電流的條件下，載流子在x方向做定向運(yùn)動(dòng)的同時(shí)受洛倫茲力的作用向內(nèi)側(cè)面MN端面偏轉(zhuǎn)，在內(nèi)側(cè)面MN端面積累負(fù)電荷，外側(cè)面積累正電荷，因而產(chǎn)生由外側(cè)面至內(nèi)側(cè)面的橫向電場(chǎng)。內(nèi)外側(cè)面上積累的電荷隨時(shí)間的推移而增加，相應(yīng)地該橫向電場(chǎng)也相應(yīng)增加，直至此橫向電場(chǎng)對(duì)載流子的作用力抵消載流子所受的洛倫茲力，即大小相等，方向相反時(shí)，內(nèi)外側(cè)端面積累的電荷不再增加，達(dá)到平衡。此時(shí)建立起穩(wěn)定的橫向電場(chǎng)和橫向電勢(shì)，即為霍爾電場(chǎng)和霍爾電勢(shì)。從霍爾電勢(shì)建立的過(guò)程可以看出，要產(chǎn)生較明顯的霍爾效應(yīng)，就應(yīng)在穩(wěn)定的穩(wěn)定霍爾電場(chǎng)建立前，在元件的兩個(gè)側(cè)面積累盡可能多的電荷。也就是要求載流子運(yùn)動(dòng)到端面BN前能偏轉(zhuǎn)到內(nèi)側(cè)面MN。而載流子在穩(wěn)定霍爾電場(chǎng)建立前的運(yùn)動(dòng)為x方向的勻速運(yùn)動(dòng)(速度大小為v0)和y方向的變加速運(yùn)動(dòng)的合成(具體講該加速度隨時(shí)間推移逐漸變小直至為0)如圖3所示。很明顯，同為速度v0的載流子，離內(nèi)側(cè)面MN最近的載流子1要比載流子2，3，…，7等更容易偏轉(zhuǎn)到MN端面上并被收集，相反離內(nèi)側(cè)端面MN最遠(yuǎn)的載流子7最不容易偏轉(zhuǎn)到內(nèi)側(cè)端面MN上，因此內(nèi)側(cè)端面電荷積累最大化的問(wèn)題實(shí)際就是載流子束7、71、72、73、74等能否為內(nèi)側(cè)面收集的問(wèn)題，為此須滿足條件：① 在x方向位移為l時(shí)，在y方向的最大位移ymax≥b。

(9)

式中：aymax為載流子所受到的y方向的最大加速度。則

(10)

式中：ymax為載流子在y方向偏轉(zhuǎn)的最大位移。

將式(3)代入上式，可得

(11)

由前述的條件①得

(12)

則可得

(13)

得

(14)

式中：eUH即為載流子在偏轉(zhuǎn)到側(cè)面時(shí)所需的電勢(shì)能，此電勢(shì)能由載流子入射時(shí)的動(dòng)能的一部分轉(zhuǎn)化而來(lái)，即：

(15)

因此可得

(16)

即

l/b≥2

(17)

由上式可知要使霍爾效應(yīng)最大化，應(yīng)盡可能使長(zhǎng)寬比l/b越大越好，至少不小于2，此時(shí)所有載流子都被收集起來(lái)，故可假定式(8)中的形狀修正因子fl/b近似為1，實(shí)際小于1。

同理，可得當(dāng)l/b=3/2時(shí)，載流子在通過(guò)同樣寬度的元件時(shí)所需的時(shí)間為l/b=2時(shí)的3/4，因此可得：

(18)

而當(dāng)l/b=1時(shí)，載流子在通過(guò)同樣寬度的元件時(shí)所需的時(shí)間為l/b=2時(shí)的1/2，因此可得：

(19)

當(dāng)l/b=1/2時(shí)，載流子在通過(guò)同樣寬度的元件時(shí)所需的時(shí)間為l/b=2時(shí)的1/4，因此可得

(20)

表1為某材料霍爾元件不同長(zhǎng)寬比l/b時(shí)相應(yīng)的實(shí)際的fl/b值。[10]

表1 某材料霍爾元件不同長(zhǎng)寬比l/b時(shí)實(shí)際的fl/b值

不難發(fā)現(xiàn),l/b的理論值與實(shí)驗(yàn)值之間存在偏差，這主要是在理論推算時(shí)，對(duì)載流子的運(yùn)動(dòng)情況作了一些簡(jiǎn)化處理，如載流子速度均取平均速度v0，在入射端面AM處載流子的分布作均勻分布等。實(shí)際情況要復(fù)雜的多，載流子的速度有快有慢，入射端面載流子的分布也不可能為理想的均勻分布，同時(shí)理論的推算值也僅僅是霍爾效應(yīng)最大化時(shí)元件尺寸要滿足的基本的一個(gè)下限值，實(shí)際值一般要大于理論推算值。但總體上還是反映出形狀修正因子fl/b隨不同長(zhǎng)寬比l/b變化的關(guān)系。

以上闡述的是不同長(zhǎng)寬比l/b對(duì)霍爾效應(yīng)的影響，元件尺寸中厚度對(duì)霍爾電勢(shì)的大小同樣有影響，從式(8)可看出，厚度d越小，霍爾電勢(shì)越大。從上面的分析可知影響霍爾電勢(shì)大小主要在于洛倫茲力和電場(chǎng)作用力達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)兩側(cè)面上的電荷面密度大小，當(dāng)給定長(zhǎng)度的情況下，厚度越小，相應(yīng)在側(cè)面收集的載流子面密度越大，因而霍爾電勢(shì)越大。

3 結(jié) 語(yǔ)

以上的理論分析表明，霍爾元件形狀對(duì)霍爾效應(yīng)有明顯的影響，當(dāng)寬度b加大或長(zhǎng)寬比l/b減小時(shí)，載流子在偏轉(zhuǎn)過(guò)程中的損失將增大，輸出的霍爾電勢(shì)將下降；進(jìn)一步的理論推算得到要有理想的霍爾效應(yīng)時(shí)長(zhǎng)寬比l/b要越大越好，至少大于等于2。另外運(yùn)用同樣的方法大致估算了幾種不同長(zhǎng)寬比l/b時(shí)相應(yīng)的形狀參數(shù)修正因子，基本反映出fl/b隨長(zhǎng)寬比l/b變化的關(guān)系。但在實(shí)際的制作霍爾元件時(shí)要綜合考慮多方面的因素，如：輸入輸出電阻、功耗及電極的短路效應(yīng)等等。因此，長(zhǎng)方體霍爾元件的厚度要盡量薄，但也不能太薄，否則輸入輸出電阻增加，功耗增加；長(zhǎng)寬比l/b應(yīng)盡可能大，在實(shí)際中一般取值為2～2.5[11-13]。

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