一種基于馬爾可夫鏈的隨機(jī)預(yù)測(cè)模型——以日本地方經(jīng)濟(jì)為例

賴靜LAI Jing

（阿壩師范高等?？茖W(xué)校，汶川623002）

0 引言

從1990年開始，日本經(jīng)濟(jì)就進(jìn)入從快速增長(zhǎng)轉(zhuǎn)為長(zhǎng)期低迷的周期。不過(guò)直至2000年才發(fā)現(xiàn)造成這種現(xiàn)象的原因，如日本的人口出生率較低，人均壽命不斷增加，人口總量持續(xù)下降以及經(jīng)濟(jì)實(shí)力和人口主要集中在東京等地區(qū)。因此需要一種對(duì)各類信息進(jìn)行定量分析的工具，從而了解經(jīng)濟(jì)資源，包括勞動(dòng)力、生產(chǎn)材料、資金的分布情況，這也就是本文的出發(fā)點(diǎn)。首先最好是建立一種經(jīng)濟(jì)模型來(lái)獲取地區(qū)之間經(jīng)濟(jì)資源的分布情況。盡管如此，該模型需要考慮到所有GDP宏觀指標(biāo)的變化。為了找出全國(guó)經(jīng)濟(jì)變化的原因，本文在馬爾可夫鏈的基礎(chǔ)上建立一種新的隨機(jī)模型。這是一種簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)模型：在一個(gè)數(shù)字序列中，可以用前一項(xiàng)包含的信息推出后一項(xiàng)。此外它還是西姆斯1980年提出的向量自回歸模型的一種形式。在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)方面，已經(jīng)存在一些基于馬爾可夫鏈的模型，并且大多數(shù)研究人員也提倡使用這些模型來(lái)衡量國(guó)家或地區(qū)之間經(jīng)濟(jì)融合的程度。在預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)時(shí)，雖然諸如馬爾可夫鏈一類的隨機(jī)模型比計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型更容易，但預(yù)測(cè)的結(jié)果并不總是可靠的。因此為了增加預(yù)測(cè)的可靠程度，我們進(jìn)行蒙特卡羅試驗(yàn)，并給定一個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間。

1 預(yù)測(cè)模型

馬爾可夫鏈?zhǔn)且粋€(gè)著名的推導(dǎo)概率鏈的工具。對(duì)于每個(gè)馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣M=（pij）它的轉(zhuǎn)移概率pij滿足0≤（pij）≤1，Σi=1pij=1，一個(gè)線性概率鏈可推到為pt+1=Mpt，t=0，1，2…。令向量 Ft為周期 t內(nèi)所有地方縣市 GDP，F(xiàn)t+1表示周期t+1內(nèi)的值。假定矩陣Mt是Ft在Ft+1上的映射，因而有

假設(shè)Mt是特定時(shí)間下的轉(zhuǎn)移矩陣，周期s后的共享向量Ft+s可表示為

因此，目前的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP實(shí)際上可由馬爾可夫鏈構(gòu)造出一種模型。接下來(lái)我們會(huì)介紹一種用真實(shí)的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)估算轉(zhuǎn)移矩陣Mt的方法，研究表明該方法可以度量收入分布的收斂性。通過(guò)收集每個(gè)國(guó)家或地區(qū)的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，為樣品總量假定一個(gè)合適的網(wǎng)格線，基于這個(gè)網(wǎng)格線對(duì)每個(gè)損益表進(jìn)行分類，采用矩陣估算的方法對(duì)每個(gè)國(guó)家和地區(qū)的響應(yīng)時(shí)間進(jìn)行匯總。這種情況下，收入由高到低大體上可以被分成5種情形。然而這不能反映個(gè)人或區(qū)域內(nèi)部收入的變化，因此為探討地方縣市經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的變化，本文在計(jì)算時(shí)作了以下處理，實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

令Ft是一個(gè)3×1的矩陣，在時(shí)間t上的轉(zhuǎn)移矩陣Mt是一個(gè)3×3的矩陣，形如

然而當(dāng)概率矩陣Mt的每列之和等于1，即

公式可能無(wú)法保持馬爾可夫鏈的特性。

因此我們引入了GDP增長(zhǎng)總率gt作為調(diào)整參數(shù)，

有了這個(gè)參數(shù)后，公式就可以保持馬爾可夫鏈的特征。

從而可將公式（4-1），（4-2），（4-3）變形為：

然而對(duì)矩陣Mt來(lái)說(shuō)，光有這三個(gè)限制條件不足以證明它有唯一的的解，因而需要更多的限制條件。單位矩陣提供了Mt的一個(gè)平凡解，雖不是最理想的，但它同樣是一種限制條件。假設(shè)分布在時(shí)間上變化不大，則矩陣Mt的元素和單位矩陣的元素類似。使用這種方法可以將矩陣Mt推廣到N*N，基于下面的最小化過(guò)程可以估計(jì)Mt的每個(gè)元素。

其中ijk是單位矩陣i中第i行j列的元素，gt是GDP增長(zhǎng)率總和

利用非線性規(guī)劃可以求解這個(gè)最小化問(wèn)題，從而可以得at,jk出的唯一解。

第三，我們需要為預(yù)測(cè)模型構(gòu)造一個(gè)轉(zhuǎn)移矩陣M。因?yàn)檗D(zhuǎn)移矩陣式在特定時(shí)間下通過(guò)估計(jì)得到的，所以我們考慮到使用元素的平均值

文中涉及到的預(yù)測(cè)，模擬和蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)都是基于平均轉(zhuǎn)移矩陣

2 數(shù)據(jù)

本文中涉及到的數(shù)據(jù)來(lái)自于47個(gè)地方縣市的年度財(cái)政報(bào)告。GDP平減指數(shù)是基于2000年的同比價(jià)格指數(shù)。從1996年開始到2000年官方每年都發(fā)布了實(shí)際GDP環(huán)比價(jià)格指數(shù)，而1995年及之前的數(shù)據(jù)是用1995年的實(shí)際GDP環(huán)比價(jià)格的增長(zhǎng)率來(lái)估計(jì)的。1990-2007年使用的數(shù)據(jù)也是官方公布的財(cái)政年度數(shù)據(jù)。為了將財(cái)政年度轉(zhuǎn)換為日歷年度，我們將官方公布的GDP數(shù)據(jù)除以4，然后將本年第一季度的GDP加入到上一財(cái)年中。

其次，在分析中縣市之間的人口差異是我們遇到的一個(gè)問(wèn)題。既然本文探討的是各縣市的GDP變化，故將2007年確定為人口基準(zhǔn)年，使用2007年的人口數(shù)據(jù)就可以將人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值轉(zhuǎn)化為地方縣市GDP總量。因此,若某年度的人口規(guī)模小于（或大于）2007年的,那么該年度的GDP的估值也相應(yīng)地大于（或小于）2007年，故可以消除測(cè)量周期內(nèi)人口數(shù)量變化對(duì)預(yù)測(cè)造成的影響。

3 仿真

我們把仿真過(guò)程分為三個(gè)部分。首先,基于方程（9）我們使用馬爾可夫鏈對(duì)2008-2020這個(gè)時(shí)間段進(jìn)行預(yù)測(cè)。接下來(lái)我們將一個(gè)經(jīng)濟(jì)震動(dòng)值加入到馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移矩陣中，然后對(duì)新的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析。模擬的經(jīng)濟(jì)震動(dòng)是一些自然災(zāi)害造成的，如2011年3月發(fā)生的日本大地震。最后，我們?yōu)榻?jīng)濟(jì)震動(dòng)之前和之后轉(zhuǎn)移矩陣中的每個(gè)元素增加一個(gè)不確定性，并進(jìn)行蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖菫榱俗層?jì)算結(jié)果具有魯棒性和準(zhǔn)確性。從今以后，在展示分析解析細(xì)節(jié)和結(jié)果的時(shí)候，我們可以將蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)分為經(jīng)濟(jì)震動(dòng)之前和經(jīng)濟(jì)震動(dòng)之后兩個(gè)部分。

3.1 蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)前不確定性軌跡分析 表1顯示了基于方程（9）轉(zhuǎn)換矩陣的部分預(yù)測(cè)結(jié)果。這個(gè)轉(zhuǎn)移矩陣是基于1990-2007年方程7的最優(yōu)化問(wèn)題并通過(guò)算術(shù)平均進(jìn)行計(jì)算得到的。該表顯示轉(zhuǎn)移中北海道對(duì)北海道概率的為0.991877，北海道對(duì)青森縣為0.000117。我們使用轉(zhuǎn)移矩陣已經(jīng)預(yù)測(cè)到2020年的結(jié)果。由于僅僅通過(guò)乘以一個(gè)轉(zhuǎn)移矩陣不可能描述整個(gè)日本經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)情況，所以我們需要在轉(zhuǎn)移矩陣中插入一個(gè)模擬的1%的外生增長(zhǎng)率從而導(dǎo)致概率的變化。其次，需要考慮到大地震帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)震動(dòng)。2011年日本東部的大地震直接或間接地對(duì)許多縣市造成破壞，其中東北的巖手縣、宮城縣和福島縣遭受的破壞最為嚴(yán)重，災(zāi)后的經(jīng)濟(jì)恢復(fù)需要花費(fèi)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間。反映災(zāi)難對(duì)經(jīng)濟(jì)造成沖擊的一種方法是改變轉(zhuǎn)移矩陣元素的值。許多因素對(duì)GDP來(lái)說(shuō)都很重要，如資本存量，在自然災(zāi)害中，資本往往會(huì)遭受到重大損失，從而對(duì)GDP造成負(fù)面影響。因此我們可以用一個(gè)小于1的因子去乘以轉(zhuǎn)移矩陣中的每個(gè)元素，使得GDP小于經(jīng)濟(jì)震動(dòng)前的值。接下來(lái)假定地方縣市受經(jīng)濟(jì)震動(dòng)的程度：青森0.95，巖手縣0.90，宮城縣 0.90，福島縣 0.90、茨城縣 0.95，千葉縣 0.97，東京0.97。這些經(jīng)濟(jì)震動(dòng)率適用于所有的縣市。

通過(guò)比較有無(wú)災(zāi)難發(fā)生的情形，在進(jìn)行蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)之前評(píng)估確定性路徑。這些數(shù)字可以同時(shí)代表發(fā)生地震的縣市和整個(gè)國(guó)家的情況。每個(gè)縣市的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率有所不同，因而區(qū)域之間自然也存在差異，此外一旦插入經(jīng)濟(jì)震動(dòng)后，在發(fā)生經(jīng)濟(jì)震動(dòng)的年份國(guó)家和地方縣市的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率會(huì)有所下降，但之后會(huì)慢慢恢復(fù)。然而經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇并不能克服經(jīng)濟(jì)沖擊帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率的下降問(wèn)題。人們普遍認(rèn)為轉(zhuǎn)移矩陣中的元素一年只會(huì)變化一次，原始矩陣會(huì)結(jié)轉(zhuǎn)到下一年。接下來(lái)我們分析一下仿真結(jié)果是如何對(duì)整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的變化進(jìn)行預(yù)測(cè)的。表2顯示了從2007年到2020年地方各縣市GDP總的變化情況，而非年度平均變化。既然給定了每年1%的外生增長(zhǎng)率，那么在此期間的經(jīng)濟(jì)變化會(huì)超過(guò)13%。低于平均增長(zhǎng)率10%或者更多的地方縣市有北海道，千葉縣，神奈川縣，大阪市，和兵庫(kù)縣，如果不算上北海道和沖繩縣，除了愛(ài)知縣外，其它許多經(jīng)濟(jì)強(qiáng)縣（市）都會(huì)低于平均增長(zhǎng)率水平。因此該模型顯示的經(jīng)濟(jì)變化表明地區(qū)性差異是可約的。另一方面，從震后經(jīng)濟(jì)變化情況來(lái)看，受地震影響大的縣市其經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率下降的幅度也大，受地震影響小的縣市其經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率下降的幅度也小。而在其余的縣市，它們的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率也受地震影響而有所下降，但下降的幅度基本可以被忽略。

3.2 蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)后不確定性軌跡分析 接下來(lái)，我們討論一下這些不確定性軌跡的情況。蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)需要的數(shù)據(jù)基于對(duì)方程（9）中的轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行估計(jì)而獲取到的信息。該實(shí)驗(yàn)基于”不確定性是轉(zhuǎn)移矩陣的要素之一”這個(gè)假設(shè)進(jìn)行的。即給表1中的數(shù)據(jù)給定一個(gè)區(qū)間,利用蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)正態(tài)分布的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，假定表1中的數(shù)據(jù)具有一定的區(qū)間寬度。表1中的數(shù)據(jù)就是平均值，而標(biāo)準(zhǔn)偏差可以從1990-2007每一年的轉(zhuǎn)移矩陣中計(jì)算機(jī)得到的。即蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)是根據(jù)正態(tài)分布的平均值（表1）和正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差（表3）產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行的。既然實(shí)驗(yàn)包含了對(duì)經(jīng)濟(jì)震動(dòng)的模擬，所以就得比較經(jīng)濟(jì)震動(dòng)發(fā)生之前一段時(shí)間和發(fā)生之后一段時(shí)間的情況進(jìn)行比較。假設(shè)在進(jìn)行蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)時(shí)，產(chǎn)生了300個(gè)隨機(jī)數(shù)字，實(shí)驗(yàn)的次數(shù)越多，預(yù)測(cè)的結(jié)果就會(huì)越精確，但是計(jì)算也會(huì)更復(fù)雜。所以本文在研究中，將為實(shí)驗(yàn)重復(fù)的次數(shù)設(shè)定在一個(gè)范圍內(nèi)，這樣處理起來(lái)就更簡(jiǎn)單些。

表1 轉(zhuǎn)移矩陣（平均）

表2 每個(gè)縣市GDP的變化（2007-2020的變化率單位%）

表3 轉(zhuǎn)移矩陣的標(biāo)準(zhǔn)偏差

表4 震前各縣市GDP的平均值和變異系數(shù)（蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)后1）

表5 震前各縣市GDP的平均值和變異系數(shù)（蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)后2）

表4和表5顯示蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)之后，每一個(gè)縣市在經(jīng)濟(jì)震動(dòng)發(fā)生之前GDP的平均值和變異系數(shù)。變異系數(shù)（CV）=標(biāo)準(zhǔn)偏差/算術(shù)平均值,因?yàn)樵O(shè)置的時(shí)間是2020年，所以變異系數(shù)的值變大了。在給每一年的轉(zhuǎn)移矩陣產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)的時(shí)候，和當(dāng)前的時(shí)間相差越久，不確定性就會(huì)增加的越多，然而這個(gè)值大約為2%。由于表3中的數(shù)值非常小，因而不確定性明顯也很小。當(dāng)前日本的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率小于1%，尚不清楚使用標(biāo)準(zhǔn)偏差是否會(huì)帶來(lái)2%的不確定性。此外，尚未觀察到變異系數(shù)中的地區(qū)性差異。

表6和表7顯示蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)后，每個(gè)縣市在經(jīng)濟(jì)震動(dòng)之后GDP的算術(shù)平均值和變異系數(shù)的情況。由于地震發(fā)生在2010-2011年間，2010年的數(shù)據(jù)和表4和表5中的數(shù)據(jù)相同，所以就被忽略了。表的右半部分顯示地震發(fā)生前的比較情況。在發(fā)生地震的縣市，平均值之間的差異在2015-2020年間會(huì)變小，災(zāi)后經(jīng)濟(jì)將逐步恢復(fù)。盡管變異系數(shù)在發(fā)生地震的縣市會(huì)變大，但是在其他縣市會(huì)略有降低?；蛟S將來(lái)經(jīng)濟(jì)恢復(fù)的不確定性和變異系數(shù)一樣會(huì)因?yàn)榈卣鸬脑蚨黾印?/p>

最后我們探討一下地震發(fā)生前后蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)樣本重復(fù)的程度。在蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)中采用對(duì)數(shù)和0.005的寬度，在各縣市震前的水平上計(jì)算2015-2020年間的平均值，從而可以建立一個(gè)頻率表。然后就可以計(jì)算出地震發(fā)生前后蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)樣本的重復(fù)率。表8顯示，若樣本重復(fù)率接近100%的話，地震發(fā)生前后概率分布是相同的。一般情況下盡管重復(fù)率接近100%，沒(méi)有發(fā)生地震的縣市仍沒(méi)有顯現(xiàn)出來(lái)，因?yàn)榈卣饘?duì)這些縣市只造成一些輕微的影響。另一方面，宮城縣和福島縣沒(méi)有任何重復(fù)的蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)樣本，即使假定存在不確定性，他們?nèi)圆荒芘まD(zhuǎn)災(zāi)后經(jīng)濟(jì)下滑的趨勢(shì)。受地震影響較小的一些縣市，如東京，它們的樣本重復(fù)率大概為30%。即使這個(gè)縣市遭受了地震的影響，不確定性也會(huì)抵消地震帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)。

表6 震后各縣市GDP的平均值和變異系數(shù)（蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)后1）

表7 震后各縣市GDP的平均值和變異系數(shù)（蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)后2）

表8 地震前后多樣性分布（%）

4 結(jié)論

本文在研究中使用了隨機(jī)模型以此來(lái)顯示日本各地方縣市GDP的變化情況，并對(duì)它們進(jìn)行預(yù)測(cè)。此外在研究中我們還采用了隨機(jī)模型的概率元素，分析預(yù)測(cè)了經(jīng)濟(jì)震動(dòng)如日本東部大地震對(duì)經(jīng)濟(jì)造成影響的情況。我們同樣也考慮到把經(jīng)濟(jì)恢復(fù)趨勢(shì)作為一種可行的方法來(lái)預(yù)測(cè)今后自然災(zāi)害可能對(duì)經(jīng)濟(jì)造成的沖擊。在蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)中加入不確定性之后，應(yīng)用隨機(jī)預(yù)測(cè)模型證明一些負(fù)面影響如災(zāi)難沖擊是可以被忽略的。然而這種隨機(jī)預(yù)測(cè)模型也需要不斷進(jìn)行改進(jìn)，例如縣市間的相互影響較小，盡管如此，仍會(huì)對(duì)勞動(dòng)力、原材料和資金帶來(lái)越來(lái)越大的影響。盡管存在一些不足，該模型仍對(duì)日本經(jīng)濟(jì)的未來(lái)提出發(fā)人深省的問(wèn)題。

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