傾瀉流體研究及數(shù)值模擬

于光遠(yuǎn), 宋 楠, 楊 雄, 潘永華, 高惠濱

(南京大學(xué) 物理學(xué)院， 江蘇 南京 210093)

0 引 言

在倒水時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)自然傾瀉的水流可能會(huì)發(fā)生分節(jié)的情況[1]，出現(xiàn)所謂水“波節(jié)”現(xiàn)象。通過(guò)實(shí)驗(yàn)重復(fù)這一現(xiàn)象，并記錄大量數(shù)據(jù)來(lái)找出影響這一現(xiàn)象的因素。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中又發(fā)現(xiàn)了水流旋轉(zhuǎn)的“水麻花”現(xiàn)象[2]，新現(xiàn)象促使我們?cè)O(shè)計(jì)新儀器和建立新模型，并重復(fù)更多的實(shí)驗(yàn)，結(jié)合相關(guān)知識(shí)分析討論，并用計(jì)算機(jī)模擬，找出現(xiàn)象的本質(zhì)。

1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)所用出水管管口分別有圓口和方口兩種，如圖1、2所示。實(shí)驗(yàn)中使用水泵供水，流量計(jì)調(diào)節(jié)流量。圖1為水“波節(jié)”現(xiàn)象，使用圓口裝置，可以明顯看出下瀉水流分成了類似“波節(jié)”的形狀，即圖中H2段。圖2為水“麻花”現(xiàn)象，使用非對(duì)稱方口裝置，可以明顯看出下瀉水流發(fā)生旋轉(zhuǎn)[3]。

記錄數(shù)據(jù)是由高清攝像頭記錄實(shí)驗(yàn)影像，再?gòu)囊曨l影像中抽樣讀數(shù)得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

2 水“波節(jié)”模型建立

2.1 流速模型

2.1.1流速模型1

首先考慮的是出水速率均勻分布情況。實(shí)驗(yàn)采用半徑r=3.50 cm的圓口裝置,如圖3所示。當(dāng)水流量Q=100 L/h時(shí)，水流經(jīng)過(guò)的管口寬度為L(zhǎng)=3.78 cm。因此,水流經(jīng)過(guò)的管口面積S=1.42 cm2,如圖3中陰影部分所示。進(jìn)而可求得此時(shí)平均水流速率v=Q/S=0.196 m/s。

圖1 水“波節(jié)”現(xiàn)象圖2 水“麻花”現(xiàn)象

圖3 圓口裝置示意圖

2.1.2流速模型2

流速模型1比較粗糙，求出的速率只能作為參考。一般情況下水流速率不是嚴(yán)格相等的，故建立模型2。

水在圓筒中流動(dòng)時(shí)，各流層為自管道中心開(kāi)始而半徑逐漸加大的圓筒形[4]。中心處流速最大，隨著半徑的增大而流速逐漸變小[5]。當(dāng)它的密度ρ及黏滯系數(shù)η為常數(shù)時(shí)，列出相關(guān)的流體動(dòng)力學(xué)基本方程[6]。

連續(xù)性方程：

divv=0

(1)

運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

式中,F是單位質(zhì)量流體所受的力。

式(1)可寫(xiě)成：

(3)

式(2)可寫(xiě)成：

(4)

(5)

(6)

式中，u、v、w是速率在x、y、z軸方向的分量。

在等直徑圓截面直管中，流體作平行流動(dòng)(不考慮起始段)，所有質(zhì)點(diǎn)都沿同一方向運(yùn)動(dòng)，只有一個(gè)不為零的速度分量。如取直角坐標(biāo)系，并把運(yùn)動(dòng)方向取作x軸,則

v=0,w=0

(7)

在僅考慮重力而忽略電磁力等的情況下，F(xiàn)=g，為了簡(jiǎn)便，令

(8)

將式(7)、(8)代入式(5)、(6)，得：

(9)

可見(jiàn)p′僅是x的函數(shù),即p′=p′(x)。將式(7)代入式(3)，得：

(10)

將式(7)～(9)代入(4)～(6)，得：

(11)

由于是穩(wěn)定流動(dòng)，?u/?t=0,上式變?yōu)?/p>

(12)

上式左邊只與y,z有關(guān)，而右邊只與x有關(guān)，所以它們都必須等于同一常數(shù)，即：

常數(shù)

(13)

換成柱坐標(biāo)為

(14)

兩次積分得：

(15)

式中，系數(shù)簡(jiǎn)化為k。r0是圓口半徑，假設(shè)邊沿處速率為0，則c=1，得到

(16)

(17)

2.1.3流速模型3

模型2的缺陷在于要求邊沿流速為零，而邊沿處水流較多，為了保證流量，中心速率就過(guò)高。因此模型2也應(yīng)進(jìn)行修正，必須考慮到邊沿處流速不為零，修正后的模型如下式所示：

(18)

則邊沿速率為

(19)

圖4是流量為100 L/h時(shí)的實(shí)驗(yàn)截圖，現(xiàn)以其為例來(lái)求解模型3中的系數(shù)k、c1和中心速率。因?yàn)樵诠芸谔?，水流噴涌而出以后主要受到?lái)自水的表面張力的作用。表面張力改變了邊緣液滴的速度方向，使其向中心靠攏[7]。對(duì)于一個(gè)直徑1 mm的液滴，受到的表面張力約為其重力的45倍。表面張力使得邊沿速度方向發(fā)生了改變，離開(kāi)管口以后，速度方向近似指向水流中央。于是可以先利用水流在豎直和水平方向上的位移，求出水流運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和u邊，再計(jì)算k、c1，最后求得中心速率:0.5gt2=0.028 4,t=0.076 1 s,u邊=0.014 3/t=0.188 m/s。

圖4 Q=100 L/h實(shí)驗(yàn)截圖

將Q=100 L/h和u邊=0.188 m/s代入式(17)和(19)得:k=225.43,c1=0.319。最后求得中心速率v=0.214 m/s。該結(jié)果與實(shí)際情況比較相符。

綜上所述，模型1為我們提供了平均速率作為參考，以模型2為基礎(chǔ)的模型3求解出了圓口模型的速率分布，且中心速率與平均速率非常接近，是比較理想的模型。

2.2 波長(zhǎng)模型

2.2.1實(shí)驗(yàn)觀察

實(shí)驗(yàn)中只能明顯地觀察到2個(gè)“波節(jié)”點(diǎn)，如圖5中A、B所示?？紤]到水流在交會(huì)碰撞之后水平速率會(huì)降低，由于表面張力作用，分散的水流逐漸向中間靠攏。再一次交會(huì)時(shí)水平速率已經(jīng)比較小，所以不會(huì)再明顯地分開(kāi)，觀察不到新的“波腹”和“波節(jié)”。

2.2.2猜想假設(shè)

把“波節(jié)”點(diǎn)間距稱之為“波長(zhǎng)”，通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察到圓口裝置半徑相同時(shí)，流量越大，“波長(zhǎng)”越長(zhǎng)。我們覺(jué)得影響“波長(zhǎng)”的關(guān)鍵物理量是速率，速率正比于流量，反比于圓口半徑的平方。所以猜想“波長(zhǎng)”H與流量Q之間的函數(shù)關(guān)系可以表示為

圖5 “波長(zhǎng)”-流量關(guān)系實(shí)拍標(biāo)注圖

H=A(r)·Q+c2

(20)

實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的H2是A、B兩個(gè)“波節(jié)”點(diǎn)之間的距離，也就是“波長(zhǎng)”被重力拉長(zhǎng)之后的長(zhǎng)度?？梢岳肏1與H2計(jì)算出“波長(zhǎng)”H。

(21)

2.2.3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量了在不同管口直徑和不同流量下的“波長(zhǎng)”值，結(jié)果如表1所示。結(jié)果表明,對(duì)于同一流量，不同管口直徑下的“波長(zhǎng)”變化不大，說(shuō)明系數(shù)A(r)近似是一個(gè)常數(shù)。

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)，以流量Q為橫坐標(biāo)，“波長(zhǎng)”H為縱坐標(biāo)繪制“波長(zhǎng)”-流量關(guān)系圖，如圖6所示。通過(guò)直線擬合得到“波長(zhǎng)”-流量關(guān)系為

H=1 215.600 3Q+0.001 43

(22)

相關(guān)系數(shù)R=0.957 94。

圖6 “波長(zhǎng)”-流量關(guān)系圖

我們選取的流量范圍與平時(shí)生活中能接觸到的流量比較接近。可見(jiàn)在該范圍內(nèi)，“波長(zhǎng)”與流量近似呈線性關(guān)系。

3 水“麻花”模型

水“麻花”現(xiàn)象是在研究水“波節(jié)”現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)的，考慮到可能是由于出水口處的水流速率分布不均造成了這種現(xiàn)象[8]。由此設(shè)計(jì)出扁形方口左右不對(duì)稱型的出水儀器，利用其不對(duì)稱性人為制造速率分布的不對(duì)稱[9]。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了猜想。

表1 波長(zhǎng)H與流量Q關(guān)系數(shù)據(jù) m

水“麻花”速率分布分析推導(dǎo)。當(dāng)我們將方形口的高度縮小到較小時(shí)，可以視為其高度方向上速率均勻分布，進(jìn)而可以將很薄的方形口流出的水流視為對(duì)一層水流進(jìn)行近似的模擬[10](見(jiàn)圖7)。

圖7 水流薄層模型圖

取出與對(duì)稱軸y距離為x處的液滴微元進(jìn)行分析[11]，

式中，n為黏滯系數(shù)。因?yàn)槭嵌ǔＡ鲃?dòng)，有

F=(Pa-Pb)hdx

式中，Pa、Pb為兩端壓強(qiáng)，視為恒定，得

所以，vx=ax2+bx+c。

水流與一個(gè)振幅衰減的駐波非常相似，考慮到液體之間的黏滯力以及表面張力,根據(jù)流體運(yùn)動(dòng)形式，猜想x軸方向上的速率函數(shù)為[12]

(23)

根據(jù)管口處初始速率分布式(18)以及x軸方向上的速率式(23)進(jìn)行編程模擬。模擬結(jié)果可以驗(yàn)證所推公式的實(shí)用性。

4 水“波節(jié)”現(xiàn)象計(jì)算機(jī)模擬

4.1 水“波節(jié)”現(xiàn)象中出水口水流俯視圖模擬[11]

實(shí)驗(yàn)中拍攝到的出水口水流俯視圖如圖8所示。模擬時(shí)，先利用實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)求出管口兩側(cè)水流的相遇時(shí)間t，再根據(jù)管口處每個(gè)微元的位置求出它的速率v[13]，之后將y=vt作為縱坐標(biāo)，管口位置作為橫坐標(biāo)，繪制出出水口水流俯視模擬圖，如圖9所示，可以看出與實(shí)際情況符合得比較好。

圖8 出水口俯視圖

圖9 計(jì)算機(jī)模擬俯視圖

4.2 水“波節(jié)”現(xiàn)象中出水口水流正視圖模擬

圖10是實(shí)驗(yàn)中拍攝到的出水口水流正視圖。利用式(18)、(26)，令b=0，選取適當(dāng)?shù)摩录唉?，由?jì)算機(jī)生成數(shù)據(jù)，繪制出出水口水流正視模擬圖[14]，如圖11所示?？梢钥闯觯瑑烧咭廊环系帽容^好，這也就從模擬的角度驗(yàn)證了模型3的正確性。

圖10 出水口正視圖圖11 計(jì)算機(jī)模擬正視圖

4.3 水“麻花”現(xiàn)象計(jì)算機(jī)模擬

通過(guò)以上分析，用軟件Origin作出模擬圖。

設(shè)定管口處的初始速率分布左側(cè)較快，可以得到左側(cè)水流壓過(guò)右側(cè)水流并向右偏的模擬圖像，如圖 12所示。并且，從上俯視時(shí)可以看出，水流是逆時(shí)針的旋向[15]，這與實(shí)際情況(見(jiàn)圖 13)是相符的。類似地，當(dāng)設(shè)定管口處的初始速率分布右側(cè)較快時(shí)，可以得到右側(cè)水流壓過(guò)左側(cè)水流并向左偏的模擬圖像。

圖12 非對(duì)稱流速(左側(cè)快)水流模擬正視圖圖13 非對(duì)稱流速(左側(cè)快)水流實(shí)拍正視圖

由模擬圖像與實(shí)際圖像的對(duì)比可以看出，管口處水流的初始速率分布的不對(duì)稱確實(shí)是造成水流產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的主要原因。

5 結(jié) 語(yǔ)

根據(jù)以上研究可以得出一些比較確定的結(jié)論。

水“波節(jié)”現(xiàn)象：當(dāng)傾瀉水流均勻地通過(guò)規(guī)則的出水口時(shí)，在流速不太快、流量不太大情況下，下瀉的水柱會(huì)出現(xiàn)分節(jié)現(xiàn)象，且這種水“波節(jié)”的“波長(zhǎng)”和流量呈近似的線性關(guān)系，與出水口的半徑無(wú)明顯關(guān)系。

可以計(jì)算出流速分布近似是二次函數(shù)分布，在遠(yuǎn)離軸線的對(duì)稱位置上，速率近似一致。此時(shí)水流不發(fā)生明顯的旋轉(zhuǎn)，而會(huì)產(chǎn)生類似“波節(jié)”的現(xiàn)象。

水“麻花”現(xiàn)象：如果水流傾瀉時(shí)，水流于出水口兩側(cè)速率分布不對(duì)稱，此時(shí)下瀉水流會(huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn)，形成螺旋下瀉的水流，并且速率大的那側(cè)水流將會(huì)位于上方。此時(shí)仍要求流速不太快，流量不太大。

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好奇——?jiǎng)?chuàng)新意識(shí)的萌芽;
興趣——?jiǎng)?chuàng)新思維的營(yíng)養(yǎng);
質(zhì)疑——?jiǎng)?chuàng)新行為的舉措;
探索——?jiǎng)?chuàng)新學(xué)習(xí)的方法。