“教什么”和“怎樣教”都重要

聶艷軍

（邳州市教育局教研室 江蘇 邳州 221300）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“課程實(shí)施建議”部分強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動要注重課程目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn)”，并指出：“在日常的教學(xué)活動中，教師應(yīng)努力挖掘教學(xué)內(nèi)容中可能蘊(yùn)涵的、與四個(gè)方面目標(biāo)有關(guān)的教育價(jià)值，通過長期的教學(xué)過程，逐漸實(shí)現(xiàn)課程的整體目標(biāo)?！闭n程目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn)，是衡量學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)教育的重要指標(biāo)；整體實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)，既要深入探尋教材內(nèi)容背后的教育價(jià)值，思考“教什么”的問題，又要精心設(shè)計(jì)有利于目標(biāo)整體實(shí)現(xiàn)的教學(xué)方式，思考“怎樣教”的問題。

一、教什么——深遠(yuǎn)謀劃“把學(xué)生帶到哪里去”

“教什么”，意味著教師準(zhǔn)備在課堂上選擇做哪些事情并為此努力，體現(xiàn)教師的教學(xué)訴求。在一節(jié)課中，學(xué)生將得到怎樣的發(fā)展，這是我們進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)首先要考慮的。

以知識為中心的數(shù)學(xué)教育過度追逐數(shù)學(xué)的工具性價(jià)值，數(shù)學(xué)教材原本具有的豐富意蘊(yùn)被簡化為數(shù)字、符號、公式、規(guī)則、程序的組合。對數(shù)學(xué)的如此認(rèn)知和理解，切斷了數(shù)學(xué)文化中知識性成分和觀念性成分的內(nèi)在聯(lián)系，窄化了數(shù)學(xué)教材的文化內(nèi)涵，使得數(shù)學(xué)課堂以“去情境”和“去過程”為特征，把生動的數(shù)學(xué)知識變成單調(diào)刻板的條文讓學(xué)生去記憶和背誦，數(shù)學(xué)本該擁有的文化氣質(zhì)被剝落。

原江蘇省教研室主任鄭君威先生說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)：一要講清‘是什么’，即數(shù)學(xué)概念、定理、法則表述要清晰，準(zhǔn)確到位地把握內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)。二要講清‘為什么’，知識是依靠數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想方法聯(lián)系起來的，要重視引導(dǎo)學(xué)生感悟知識之間的聯(lián)系。三要講清‘還有什么’或‘能怎樣’，即重視引導(dǎo)學(xué)生反思?！编嵪壬脑捊o我們思考“教什么”以無限的啟迪。

以文化育人為價(jià)值取向思考“教什么”，最根本的是對學(xué)科本質(zhì)的把握和領(lǐng)悟。就數(shù)學(xué)而言，某個(gè)具體內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的本質(zhì)屬性，還表現(xiàn)為統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識與技能的數(shù)學(xué)思想方法。以此為觀照，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“教什么”具體表現(xiàn)為：對基本數(shù)學(xué)概念的理解，對分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、模型、歸納等數(shù)學(xué)思想方法的感悟以及對類比、抽象、猜想等數(shù)學(xué)特有思維方式的把握，還有對數(shù)學(xué)美的鑒賞和對理性精神的追求等。

以“平行四邊形面積計(jì)算”為例，對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，有“工具性理解”和“關(guān)系性理解”兩種模式。工具性理解是“只知道是什么，不知道為什么是”；關(guān)系性理解是對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的把握，“不僅知道做什么，而且知道為什么這樣做”。學(xué)生在上課之前對平行四邊形面積計(jì)算的“能”與“會”，大都是屬于工具性理解，因此，通過課堂學(xué)習(xí)，要實(shí)現(xiàn)學(xué)生由“工具性理解”到“關(guān)系性理解”。由此，“理解、掌握、會運(yùn)用”應(yīng)當(dāng)成為“教什么”的主要構(gòu)成內(nèi)容。

從文化的角度看，數(shù)學(xué)離不開歷史的沉淀過程，這一完整的過程至少包括感知、交流、反思、沉淀等階段。教學(xué)平行四邊形面積計(jì)算，理應(yīng)通過與數(shù)學(xué)文化沉淀過程相適應(yīng)的教學(xué)方式的構(gòu)建，使學(xué)生探索數(shù)學(xué)的同時(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)特有的思維方式。

平行四邊形面積公式的教學(xué)同樣具有“教化”功能，比如數(shù)學(xué)探索過程中的開拓與超越，公式推導(dǎo)過程中的嚴(yán)謹(jǐn)與自律等，借助數(shù)學(xué)自身所擁有的深沉的文化力量培育數(shù)學(xué)精神品格，孕育良好的學(xué)科情懷，也是教材賦予數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的使命。

基于以上思考，本節(jié)課教學(xué)訴求（教什么）定位在：

使學(xué)生通過經(jīng)歷“是什么—為什么是—怎么用”的研究過程，理解并運(yùn)用平行四邊形面積計(jì)算方法，體會數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟研究的一般方法。使學(xué)生充分經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、轉(zhuǎn)化、推理的思維過程，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)思考能力，初步感悟數(shù)學(xué)思想方法。

二、怎樣教——精心設(shè)計(jì)“怎樣把學(xué)生帶到那里”

“怎樣教”，意味著教師要考慮在課堂上如何更好地完成教學(xué)任務(wù)，反映教師的教學(xué)路徑。為了整體實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)，教師不僅要思考“教什么”的問題，還要對“怎樣教”做出精致的規(guī)劃。

1.發(fā)端于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與需求

學(xué)習(xí)是學(xué)生在特定情境下由于經(jīng)驗(yàn)所引起的行為或思維的比較持久的適應(yīng)性變化，學(xué)習(xí)的發(fā)生是受特定情境下所激活的經(jīng)驗(yàn)的影響。教學(xué)的本義是通過教引發(fā)、引導(dǎo)并促進(jìn)學(xué)生的學(xué)。離開了學(xué)生和學(xué)生的學(xué)，教便失去了存在的意義。聯(lián)系教學(xué)的本義，我們便能夠真正理解并認(rèn)同“教學(xué)應(yīng)基于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)與需求”這一觀點(diǎn)。

（1）基于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)

考慮到學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性，教材中的數(shù)學(xué)知識都是循序漸進(jìn)、螺旋上升地編排的。每一節(jié)課新學(xué)習(xí)的知識總是在以往知識的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。為了幫助學(xué)生建立科學(xué)合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中要分析并利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)新知識的生長和形成。

（2）基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)

弗賴登塔爾認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識?！毙W(xué)數(shù)學(xué)中許多概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是樸素的，基本上都源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，有豐富的“生活概念”。因此，學(xué)生的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)影響、制約并促進(jìn)學(xué)生對新知的理解。關(guān)注、激活并巧妙地利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，會使學(xué)生覺得新知識是生活中曾經(jīng)遇到過的、感受過的，心理上容易接納，認(rèn)知上容易理解。學(xué)習(xí)“11—20各數(shù)的認(rèn)識”時(shí)，理解并建立計(jì)數(shù)單位“十”的概念，始終是學(xué)生難以跨越的坎。一位教師教學(xué)這節(jié)課，選取低年級學(xué)生熟悉的教室里“比比誰最棒”評比欄作為素材，創(chuàng)設(shè)數(shù)數(shù)情境，通過“笑臉貼滿了，如果再貼怎么辦呢？”問題設(shè)計(jì)，有效激活學(xué)生已有的“用獲得的笑臉換成一個(gè)更‘高級’的獎品”的生活經(jīng)驗(yàn)，將10個(gè)笑臉換成1個(gè)大拇指的素材，為理解抽象的“10個(gè)1可以換成1個(gè)10”提供了生動的生活原型。

（3）基于學(xué)生內(nèi)在的心理需求

學(xué)生的心理需求是其維持學(xué)習(xí)活動、朝向一定學(xué)習(xí)目標(biāo)的動力傾向。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)通常源于這樣一種需要：或是因?yàn)榻鉀Q問題時(shí)，原有的知識或方法無法滿足需求，需要一種新的知識、方法介入；或是因?yàn)樵瓉淼姆椒ㄟ^于繁瑣和不便，需要一種更為簡潔的方法介入。教師應(yīng)通過創(chuàng)設(shè)新的問題情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，產(chǎn)生“創(chuàng)造”新知識、新方法的愿望和動力。教學(xué)“用數(shù)對確定位置”時(shí)，我們設(shè)計(jì)“說位置,找朋友”的游戲，讓學(xué)生在實(shí)際場景中描述自己朋友的位置，然后再來猜。由于學(xué)生都是用自己的方式確定位置，容易引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而體會到原有確定位置方法的局限性，為新知的學(xué)習(xí)注入動力。在學(xué)生感到用第幾列第幾行的方法表示一個(gè)同學(xué)的位置比較準(zhǔn)確、簡便時(shí)，我們引導(dǎo)學(xué)生用這種方法記錄幾個(gè)同學(xué)的位置，但由于教師較快的語速，學(xué)生無法記錄下來，于是引出問題：“沒有記錄下來，除了老師報(bào)得快還有沒有別的原因？”學(xué)生意識到既有方法的繁瑣和不便，自然而然地想到對原有記錄進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化。

2.關(guān)注兒童的經(jīng)歷與體驗(yàn)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)基于數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，使用了“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”等刻畫數(shù)學(xué)活動水平的過程性目標(biāo)動詞，這些數(shù)學(xué)活動是達(dá)成結(jié)果性目標(biāo)（基本數(shù)學(xué)知識的理解）的載體，但其本身也是引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的重要途徑，因而也應(yīng)成為數(shù)學(xué)課程追求的目標(biāo)。

（1）遵循兒童認(rèn)識事物的一般規(guī)律

數(shù)學(xué)教學(xué)，就是兒童、教師、數(shù)學(xué)之間在課堂場域的真實(shí)相遇。兒童世界，更多地充滿著經(jīng)驗(yàn)、直觀、形象；而數(shù)學(xué)，無論怎樣改造，其價(jià)值都指向理性、抽象、形式化。化解這一矛盾的有效路徑：教學(xué)從直觀入手，沿著兒童認(rèn)識事物的一般過程展開。

教學(xué)“兩位數(shù)加兩位數(shù)筆算（進(jìn)位）”，教師出示主題圖，在學(xué)生理解圖意、列出算式后，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷算法建構(gòu)過程：

動手操作。教師要求學(xué)生取出學(xué)具進(jìn)行操作，探索算式結(jié)果。

建立表象。學(xué)生操作后，教師組織學(xué)生交流算法，并引導(dǎo)學(xué)生思考：計(jì)算34+16，有的小朋友選擇的是在計(jì)數(shù)器上撥算珠，有的小朋友選擇的是擺小棒，用的學(xué)具不一樣，但他們都有一個(gè)“換”的動作，他們是怎樣換的？為什么都要換？

建構(gòu)模型。教師讓學(xué)生將34+16寫成豎式，引導(dǎo)學(xué)生觀察并提問：你認(rèn)為在筆算34+16的時(shí)候，需要像我們操作時(shí)那樣“換”嗎？怎樣“換”？

小學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念，一般是循著“感知——表象——抽象”的認(rèn)知?dú)v程。如何讓學(xué)生掌握抽象的筆算方法？教師引導(dǎo)學(xué)生先通過操作進(jìn)行動作思維，然后由言語敘述操作要領(lǐng)建立起概念的表象，最后聯(lián)系豎式計(jì)算促成兒童擺脫具體事物的束縛，順利地向抽象思維過度，實(shí)現(xiàn)“滿10進(jìn)1”的模型構(gòu)建。

（2）突出數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)

學(xué)生經(jīng)歷不同的認(rèn)知過程，對知識的理解就會達(dá)到不同的水平。當(dāng)我們的教學(xué)是單純教“定義”時(shí)，其認(rèn)知過程是模仿、記憶與強(qiáng)化訓(xùn)練，學(xué)生對知識的理解可能只處于“工具性理解”水平。學(xué)生只有經(jīng)歷了解知識產(chǎn)生的必要性，充分感知、體驗(yàn)知識發(fā)生、發(fā)展、沉淀的過程，把握知識之間的本質(zhì)聯(lián)系，才能創(chuàng)造性地應(yīng)用知識。

以“用字母表示數(shù)”為例，代數(shù)的發(fā)展歷史告訴我們：字母表示數(shù)的過程，不是字母替代文字的過程，而是具體數(shù)量符號化的過程。換言之，用字母表示數(shù)，不是因?yàn)椴恢肋@個(gè)數(shù)量是多少，而是因?yàn)檫@個(gè)已知的數(shù)量在不斷的變化中，因而用字母來概括地表示它。有很多教師這樣教學(xué)：擺1個(gè)三角形用3根小棒，擺2個(gè)三角形用6根小棒，擺3個(gè)三角形、4個(gè)三角形呢?擺5個(gè)三角形呢？擺n個(gè)三角形呢?進(jìn)而引出用字母表示的表達(dá)式“n×3”。課堂進(jìn)行得很順利，學(xué)生貌似沒有什么不懂的，但是學(xué)生既沒有體會到用字母表示的必要性，也沒有理解字母的符號概括作用。對此，我們根據(jù)數(shù)學(xué)文化的沉淀階段理論，引導(dǎo)學(xué)生在不斷反思中逐漸提升對字母表示數(shù)的感悟?qū)哟巍?/p>

體驗(yàn)。課件演示用小棒擺三角形，要求學(xué)生說出小棒根數(shù)。在學(xué)生回答“擺兩個(gè)三角形用6根小棒”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到此種擺法可以寫成“3×2”根。之后，給一段時(shí)間比一比：哪個(gè)同學(xué)這樣的算式寫得多？待學(xué)生紛紛停筆不寫的時(shí)候，再引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣用一個(gè)式子把已經(jīng)寫的和還沒有寫的算式都包括進(jìn)來？這時(shí)引出“3×a”的寫法。

反思。在學(xué)生體驗(yàn)上面“3×a”中的“a”是個(gè)有魔力的字母，可以代表無數(shù)個(gè)數(shù)后，教師引領(lǐng)學(xué)生反思：這里的“a”還表示特定的未知數(shù)嗎？并討論“a”不可以表示什么數(shù)，進(jìn)而沉淀這樣一種認(rèn)識：字母不僅可以表示特定的未知量，還可以表示變化的已知量。

運(yùn)用。設(shè)計(jì)“編故事”練習(xí)，故事的主角是“c×4”。教師先作個(gè)示范，之后學(xué)生用c代表各種數(shù)量，說出“c×4”的意思。通過只要兩個(gè)量有4倍關(guān)系的，都被概括在“c×4”里，讓學(xué)生進(jìn)一步體會“用字母表示數(shù)”的概括性。

（3）體現(xiàn)研究的一般過程

“數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注“是什么”和“怎樣做”，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生探究“為什么”，通過給學(xué)生一個(gè)模式，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)象到本質(zhì)的探究過程，讓學(xué)生知道怎樣思維，掌握作為一種“非言語程序性知識”的思維。

華應(yīng)龍老師執(zhí)教《圓的認(rèn)識》一課沿著“是什么——為什么——怎樣做——為什么這樣做——一定這樣嗎”線索安排教學(xué)結(jié)構(gòu)，可以給我們啟示。在這節(jié)課上，華老師首先創(chuàng)設(shè)小明“尋寶”情境，在思考與嘗試中知道寶物所在的位置是個(gè)圓，初步體會“圓是到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合”。接著，圍繞“為什么寶物所在位置就形成圓呢？”通過與正多邊形對比研究，再一次感悟圓之所以為圓的關(guān)鍵是所有半徑都相等，順理成章引出“怎樣畫圓”的研究。在總結(jié)畫圓的方法之后，教師組織學(xué)生討論“用圓規(guī)就能畫出一個(gè)圓，為什么？”“如何在籃球場上畫一個(gè)更大的圓？”感悟畫圓不在于是否必須用“規(guī)”，而在于必須滿足“到定點(diǎn)的距離等于定長”這一圓的本質(zhì)。整節(jié)課以數(shù)學(xué)知識為載體，但謀篇布局又超越數(shù)學(xué)知識、研究方法層面。在這樣的數(shù)學(xué)課堂里，知識的習(xí)得、方法的理解、意義的建構(gòu)、美感的體驗(yàn)相互交織，實(shí)現(xiàn)了完美的統(tǒng)一。

3.讀懂兒童的真實(shí)思維

教師作為成人的代表，其生活經(jīng)驗(yàn)、思維方式、知識儲備等，都與兒童存在質(zhì)的不同，這就構(gòu)成教學(xué)的又一對矛盾。解決這一矛盾的有效策略是尋找兒童思維與“教師思維”的連接點(diǎn)。

（1）傾聽兒童思維

蒙臺梭利認(rèn)為“我們成人習(xí)慣于用自以為是的方法來解釋孩子的行為，用自以為正確的方式來對待孩子，這不僅造成學(xué)校教育的偏差和整個(gè)教育體制的誤導(dǎo)，更導(dǎo)致社會采取了一連串完全錯誤的行動”。教學(xué)中，應(yīng)多給學(xué)生解釋自己想法的機(jī)會。只有了解兒童的真實(shí)思維，才能選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)和方式“介入”。

（2）順應(yīng)兒童思維

兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是他們利用已有的知識與經(jīng)驗(yàn)對新知賦予意義的過程。因此，在知識的客觀意義上，兒童的認(rèn)識可能出現(xiàn)“不合理性”，甚至是錯誤的，但在兒童已有的知識經(jīng)驗(yàn)和新知識間卻是自洽的、“合理的”。順應(yīng)兒童思維，就要善于發(fā)現(xiàn)兒童思維的合理性，尊重兒童的思維方式，不奢望學(xué)生的認(rèn)識一步到位，如“兩位數(shù)加兩位數(shù)筆算（不進(jìn)位）”教學(xué)中出現(xiàn)的從高位算起現(xiàn)象；順應(yīng)兒童思維，還要善于琢磨兒童認(rèn)知提升的障礙在哪里，通過采取針對性措施，引導(dǎo)兒童在舊知經(jīng)驗(yàn)和新知之間實(shí)現(xiàn)“好的”平衡，如“多位數(shù)減法筆算”中的“大減小”現(xiàn)象。簡而言之，順應(yīng)兒童思維的內(nèi)核是實(shí)踐據(jù)學(xué)而教的課程理念。

（3）提升兒童思維

建構(gòu)主義雖然強(qiáng)調(diào)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，但學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)畢竟是原始的、粗糙的，甚至夾雜著錯誤；學(xué)生的經(jīng)歷和體驗(yàn)，所獲得的認(rèn)識也可能是感性、零碎的，因而教師的引導(dǎo)、提升對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是不可或缺的。在情境激活學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，應(yīng)通過“二度建構(gòu)”將主觀經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步明晰化、精致化、系統(tǒng)化；在經(jīng)歷數(shù)學(xué)探索、獲得感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將自己所做的過程置于被思考地位上加以審視，將活動中獲得的經(jīng)驗(yàn)加以概括、提升和內(nèi)化?！?/p>

[1]李新.重視概念形式，滲透思想方法——《倍數(shù)和因數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J].教育研究與評論，2013（6）：54-59.

[2]金雪根.抓住本質(zhì)突出主線促進(jìn)發(fā)展——例談關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的課堂教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2011（7-8）：87-98.

[3]蔡宏圣.和諧：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的新視角[J].課程·教材·教法，2007（8）：37-41.

[4]蔡宏圣.兒童基點(diǎn)數(shù)學(xué)視野[J].小學(xué)教學(xué)：數(shù)學(xué)版,2010(9)：8-10.