迷思概念、相異構(gòu)想與兒童數(shù)學(xué)教學(xué)

汪樹林

（如皋市港城實(shí)驗(yàn)學(xué)校 江蘇 如皋 226532）

兒童在正式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之前，通過(guò)對(duì)日常生活的現(xiàn)象觀察和體驗(yàn)，形成了一些前數(shù)學(xué)概念、經(jīng)驗(yàn)和兒童階段特有的思維方式。當(dāng)兒童正式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，這些非正式的數(shù)學(xué)概念、經(jīng)驗(yàn)或思維方式會(huì)同正式的數(shù)學(xué)概念、新知混淆、“打架”，甚至某些錯(cuò)誤的前數(shù)學(xué)概念、經(jīng)驗(yàn)會(huì)占上風(fēng)，學(xué)者將這類錯(cuò)誤概念稱為“迷思概念”，將這類錯(cuò)誤的認(rèn)知、思維結(jié)構(gòu)或方式稱為“相異構(gòu)想”或“不同的解釋框架”。兒童數(shù)學(xué)的迷思概念、相異構(gòu)想干擾著兒童的新知理解，甚至讓兒童錯(cuò)誤地“同化”新知。作為教師，必須高度重視這一現(xiàn)象，盡量降低迷思概念、相異構(gòu)想對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)的消極作用。

一、聚焦：兒童數(shù)學(xué)迷思概念、相異構(gòu)想的特質(zhì)解讀

兒童頭腦中的迷思概念、相異構(gòu)想是兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的正?，F(xiàn)象，它與其他學(xué)習(xí)問(wèn)題諸如聽課注意力不集中、做題粗心大意、作業(yè)磨蹭等現(xiàn)象相比，有著自身獨(dú)特的性質(zhì)。

1.自發(fā)性。兒童的迷思概念、相異構(gòu)想是兒童在其觀察與體驗(yàn)周圍世界的過(guò)程中通過(guò)直覺與無(wú)科學(xué)根據(jù)的想象自發(fā)形成的，是零散的、無(wú)組織、無(wú)系統(tǒng)的。如兒童會(huì)認(rèn)為“扇形就是像扇子一樣形狀的圖形”“角的兩條邊畫得越長(zhǎng)角越大”“周長(zhǎng)長(zhǎng)的長(zhǎng)方形面積就大”等。

2.膚淺性。由于兒童自發(fā)性的認(rèn)識(shí)，他們?cè)诖竽X中形成的概念、判斷與推理往往缺乏邏輯性，他們認(rèn)識(shí)概念、思考問(wèn)題往往比較膚淺，只停留在表象階段，不能正確地通過(guò)具體表象形成抽象概念，自然也就無(wú)法把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。如兒童會(huì)認(rèn)為“一千克鐵比一千克棉花重”“甲數(shù)比乙數(shù)多，乙數(shù)就比甲數(shù)少”“平行四邊形都是軸對(duì)稱圖形”等。

3.隱蔽性。由于教師對(duì)兒童迷思概念、相異構(gòu)想并不去深究其成因，這就讓迷思概念、相異構(gòu)想暗藏于兒童的學(xué)習(xí)過(guò)程之中。如兒童可能會(huì)準(zhǔn)確地背誦出“每相鄰兩個(gè)長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位之間的進(jìn)率”，但一到做具體習(xí)題時(shí)，總是把相鄰體積單位之間的進(jìn)率誤解為面積單位之間的進(jìn)率，或把相鄰面積單位之間的進(jìn)率誤解為長(zhǎng)度單位的計(jì)算進(jìn)率等。

4.頑固性。由于迷思概念、相異構(gòu)想并不是兒童主觀意識(shí)的產(chǎn)物，所以，即使經(jīng)教師或同伴提醒當(dāng)時(shí)能糾正過(guò)來(lái)，但在遇到同類信息對(duì)象時(shí)，兒童可能還會(huì)因淡忘其數(shù)學(xué)本質(zhì)從而導(dǎo)致“錯(cuò)過(guò)的”還是“一錯(cuò)再錯(cuò)”。如兒童在學(xué)習(xí)小數(shù)前可能具有“小數(shù)很小”的迷思概念，通過(guò)學(xué)習(xí)可能表面上澄清了這一錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，但到一定時(shí)候，兒童潛意識(shí)中還會(huì)把小數(shù)與正純小數(shù)混淆從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

二、剖析：兒童數(shù)學(xué)迷思概念、相異構(gòu)想的成因透視

迷思概念、相異構(gòu)想廣泛地存在于小學(xué)各年級(jí)段的兒童頭腦中，也廣泛地存在于小學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)模塊中（計(jì)算、概念、問(wèn)題解決等）。其主要來(lái)源即成因可以歸結(jié)為以下幾方面：

1.兒童的直覺經(jīng)驗(yàn)

兒童由于缺乏必要的數(shù)學(xué)方法和“數(shù)學(xué)式思維”,往往憑借自己的直覺形成了樸素、片面的認(rèn)識(shí)。如兒童看到題目中“一共”二字就用“加法”，看到“還?！倍志陀脺p法；畫幾條直線，兒童往往認(rèn)為斜畫的不是直線，只有水平方向和鉛垂方向的才是直線；學(xué)習(xí)“圓錐的認(rèn)識(shí)”，兒童憑直覺往往會(huì)認(rèn)為圓錐的側(cè)面展開圖是三角形。教學(xué)中教師必須引導(dǎo)兒童開展“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”進(jìn)行驗(yàn)證，如可以讓兒童用直尺驗(yàn)證斜線的曲直，用軟紙做圓錐，然后再讓兒童沿著圓錐的母線剪開。通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，兒童會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，原來(lái)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。如此，不僅改變了兒童由直覺而帶來(lái)的迷思概念、相異構(gòu)想，而且讓兒童領(lǐng)悟到學(xué)習(xí)的重要方法——“做中學(xué)”。

2.類化概念的干擾

數(shù)學(xué)學(xué)科中存在著許多字面相近、屬性相關(guān)、含義相似而不同的概念，即類化概念。由于它們之間對(duì)比度小，個(gè)性欠鮮明而導(dǎo)致兒童感知結(jié)果接近。在思維過(guò)程中，兒童會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)性聯(lián)想和思維分歧化，出現(xiàn)概念間本質(zhì)屬性的混淆。如“擴(kuò)大”與“增加”、“縮小”與“減少”、“速度的平均數(shù)”與“平均速度”、“倍”與“倍數(shù)”、“半圓的周長(zhǎng)”與“圓周長(zhǎng)的一半”等。

3.日常生活的影響

兒童在日常生活中對(duì)周圍獲得了一些感性表象，積累了感性經(jīng)驗(yàn)，其中有一些是正確的，有助于理解和掌握數(shù)學(xué)新知，而更多的則是片面的、錯(cuò)誤的。如“生活角”（“墻角”“桌角”等）對(duì)學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)角”的干擾，生活中“質(zhì)量”概念對(duì)數(shù)學(xué)中“質(zhì)量”概念的干擾，生活中在水平線參照基礎(chǔ)上的“豎直線”對(duì)數(shù)學(xué)中“垂直線”的干擾等。

4.兒童的記憶、思維定勢(shì)或心理暗示

兒童因先前累積的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)而初步形成了記憶定勢(shì)，當(dāng)遇到類似的學(xué)習(xí)情境時(shí)，容易“想當(dāng)然”地將新問(wèn)題按以往解決舊問(wèn)題的方式解決，并潛意識(shí)地想象著結(jié)果朝著自己所期待的方向發(fā)生。如兒童受“一個(gè)數(shù)除以同一個(gè)數(shù)等于1”的心理暗示，容易誤認(rèn)為“4×5÷4×5=1”；受“甲比乙多多少，乙就比甲少多少”的思維定勢(shì)或心理暗示，容易誤認(rèn)為“甲比乙多25%，乙就比甲少25%”等。

除上述主要成因外，兒童的知識(shí)基礎(chǔ)、兒童因逆反心理而對(duì)正確概念的排斥、生活中的傳統(tǒng)觀念、兒童的消極思維惰性、某些資料對(duì)數(shù)學(xué)概念的不科學(xué)闡釋等，也無(wú)時(shí)無(wú)刻不在影響著兒童對(duì)數(shù)學(xué)新知的理解和掌握。

三、突破：兒童數(shù)學(xué)迷思概念、相異構(gòu)想的轉(zhuǎn)變策略

針對(duì)兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中客觀存在的迷思概念、相異構(gòu)想，教師要理性地分析其產(chǎn)生根源，運(yùn)用多種途徑、方法去探尋處于隱蔽地帶的迷思概念、相異構(gòu)想，幫助兒童判斷、識(shí)別、糾正自己的已有經(jīng)驗(yàn)與概念，盡量降低迷思概念、相異構(gòu)想對(duì)兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的副作用，從而提升兒童的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

1.探尋兒童“前數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”，是糾正迷思概念、相異構(gòu)想的前提

探尋兒童“前數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”最有效的方法是對(duì)兒童的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行診斷性評(píng)價(jià)。教師要把握兒童原有知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)，尤其是那些錯(cuò)誤的概念、思維方式或?qū)W習(xí)習(xí)慣?？梢詫?duì)兒童進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)卷調(diào)查，與兒童進(jìn)行數(shù)學(xué)座談、數(shù)學(xué)討論等，讓兒童暴露迷思概念、相異構(gòu)想，據(jù)此確定教學(xué)起點(diǎn)、教學(xué)方法，進(jìn)而準(zhǔn)確地預(yù)設(shè)教學(xué)。

教學(xué)國(guó)標(biāo)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《三角形》單元時(shí)，筆者將教學(xué)目標(biāo)鎖定為：（1）概括三角形的定義。（2）認(rèn)識(shí)三角形各部分的名稱及底和高的含義，學(xué)習(xí)用字母表示三角形，學(xué)會(huì)畫高。（3）了解三角形的穩(wěn)定性。分析學(xué)情后發(fā)現(xiàn)，孩子們有很多知識(shí)已掌握或部分掌握，但也存在著認(rèn)識(shí)誤區(qū)，這里筆者用表格說(shuō)明（參見表1）。

表1 對(duì)學(xué)生“三角形”知識(shí)的學(xué)情分析

通過(guò)學(xué)情分析，筆者認(rèn)為本單元的教學(xué)關(guān)鍵就是在上述兒童不會(huì)或不理解的方面取得突破。例如“三角形高”的教學(xué)，一方面要突破學(xué)生對(duì)底和高的認(rèn)識(shí)誤區(qū)，可以在認(rèn)識(shí)典型底和高的基礎(chǔ)上，用課件將三角形旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生判斷原來(lái)的底和高現(xiàn)在是否還是三角形的底和高；另一方面在畫高的指導(dǎo)上，要充分利用兒童的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（兩點(diǎn)之間的距離、兩平行線之間的距離、點(diǎn)到直線的距離）對(duì)三角形高的畫法進(jìn)行探究，引導(dǎo)兒童思考這些距離有什么特點(diǎn)——最短與垂直。后一單元教學(xué)平行四邊形、梯形高時(shí)要與三角形高進(jìn)行比較，將三角形的高概括為“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂直線段”，即“頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離”，將平行四邊形、梯形的高概括為“兩條平行線之間的距離”等。由此凸顯三角形、平行四邊形與梯形高的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

2.暴露兒童的“原初思維”，是糾正迷思概念、相異構(gòu)想的契機(jī)

傳統(tǒng)教學(xué)中，一方面兒童不敢暴露自己的真實(shí)想法，怕回答不符合要求，惹人笑話；另一方面教師擔(dān)心兒童的“奇談怪論”會(huì)干擾教學(xué)預(yù)設(shè)，導(dǎo)致師生雙方顧慮重重，本該生動(dòng)活潑的課堂變得單調(diào)、呆板。教學(xué)中教師應(yīng)創(chuàng)造更多暴露兒童“原初思維”的機(jī)會(huì)，并有意按兒童常見的、多發(fā)的思維歧路適當(dāng)出錯(cuò)，然后分析錯(cuò)誤類型。在此基礎(chǔ)上引領(lǐng)兒童展開數(shù)學(xué)思考，讓兒童分享彼此觀點(diǎn)，進(jìn)而識(shí)別、糾正迷思概念、相異構(gòu)想，建立正確的數(shù)學(xué)概念。

教學(xué)國(guó)標(biāo)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《因數(shù)與倍數(shù)》一課時(shí)，筆者先讓學(xué)生從3、5、6、18、35這五個(gè)數(shù)中，選擇兩個(gè)說(shuō)說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)。

師：如果我們把以上各個(gè)數(shù)所有的因數(shù)都寫出來(lái)，估計(jì)一下，這五個(gè)數(shù)中哪個(gè)數(shù)的因數(shù)會(huì)最多？

生（異口同聲）：35。

師：為什么？

生1：因?yàn)檫@么多數(shù)里面35最大。

師：大家都是這么認(rèn)為的嗎？

生（齊聲）：是。

師：那是不是數(shù)越大，這個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)就越多？肯定嗎？

學(xué)生經(jīng)過(guò)列舉統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)18的因數(shù)個(gè)數(shù)比35多。

師（小結(jié)）：看來(lái)并不是這個(gè)數(shù)越大，其因數(shù)就越多啊。

上述教學(xué)環(huán)節(jié)，兒童由原有的相異構(gòu)想得出了錯(cuò)誤結(jié)論。如果教師不去解決，這個(gè)想法還將存在。所以，教師必須為兒童提供暴露相異構(gòu)想的機(jī)會(huì)，通過(guò)舉例闡釋，讓兒童辨析判斷，消除兒童對(duì)數(shù)學(xué)概念的曲解，進(jìn)而準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)概念。

3.引發(fā)兒童的“認(rèn)知沖突”，是糾正迷思概念、相異構(gòu)想的關(guān)鍵

所謂“認(rèn)知沖突”，就是兒童原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知之間的矛盾。兒童在學(xué)習(xí)新知時(shí)，總是試圖用原有認(rèn)知圖式來(lái)同化“新知”。當(dāng)遇到不能解釋的新知時(shí)，就會(huì)引發(fā)認(rèn)知沖突。教學(xué)中教師要設(shè)法給兒童一個(gè)“震顫”，動(dòng)搖兒童迷思概念、相異構(gòu)想的信念基礎(chǔ)，并引領(lǐng)兒童反思，組織兒童討論、爭(zhēng)辯，最終揭露兒童迷思概念、相異構(gòu)想的不合理性。

教學(xué)國(guó)標(biāo)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)方體和正方體》中“包裝的學(xué)問(wèn)”，兒童憑借生活經(jīng)驗(yàn)，都認(rèn)為不論包裝怎樣的物品（指長(zhǎng)方體物體），包裝多少盒，只要是用大面重疊的方法，就是最省包裝紙的，因?yàn)橹丿B的面積越大，需要包裝的面積就越小。筆者引導(dǎo)學(xué)生利用生活中的磁帶、牙膏盒、牛奶箱等物品，親自動(dòng)手?jǐn)[、量、算、比，之后兒童發(fā)現(xiàn)：如果包裝1盒到3盒，一般用大面重疊的方法最省包裝紙；如果包裝4盒或4盒以上，就要分析、比較多種包裝方案，從中選取最省包裝紙的一種方案。因?yàn)檠芯繉?duì)象不同，最省包裝紙的方案也就不同。如包裝4盒磁帶是重疊6個(gè)大面的包裝，最省包裝紙；而包裝4盒牙膏或4箱伊利牛奶，則是重疊4個(gè)大面、4個(gè)中面，比重疊6個(gè)大面更省包裝紙。經(jīng)過(guò)探究性實(shí)踐，兒童檢視自己頭腦中原存的相異構(gòu)想，對(duì)“如何拼接長(zhǎng)方體而節(jié)省包裝材料”有了更為理性的認(rèn)識(shí)。

4.發(fā)展兒童的“邏輯思辨力”，是糾正迷思概念、相異構(gòu)想的保證

兒童邏輯思辨力的良好發(fā)展，是糾正迷思概念、相異構(gòu)想的基礎(chǔ)。首先，要培養(yǎng)兒童對(duì)于概念的細(xì)微分辨力。對(duì)于有微妙差別的數(shù)學(xué)概念，必須引領(lǐng)兒童分辨，例如“提高了”和“提高到”、“是甲的一倍”和“比甲大一倍”等。其次，教師組織兒童學(xué)習(xí)時(shí)，要有意識(shí)地將新知和兒童的迷思概念、相異構(gòu)想聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行揭示、比較、批駁，可采用變式，如學(xué)習(xí)“等腰三角形”，由于受標(biāo)準(zhǔn)圖形的影響，兒童容易把“兩邊相等”這一本質(zhì)特征誤解為“左右兩邊相等”，這加深了“頂角在上，底角在下”的印象。教學(xué)時(shí)可以用多媒體將圖形旋轉(zhuǎn)（不同位置的呈現(xiàn)），將圖形變形（不同形狀的呈現(xiàn)——銳角等腰三角形、直角等腰三角形和鈍角等腰三角形），從而讓學(xué)生掌握等腰三角形“兩邊相等”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。再次，要重視培養(yǎng)兒童思維的嚴(yán)密性和全面性，讓兒童不僅能進(jìn)行“點(diǎn)”式、“線”式思維，而且能進(jìn)行“面”式、“體”式思維。如教學(xué)面積單位要聯(lián)系長(zhǎng)度單位，教學(xué)體積單位要聯(lián)系長(zhǎng)度單位和面積單位等。再如教學(xué)“圓柱的體積”計(jì)算，筆者首先讓學(xué)生整體感悟，建立一種上位認(rèn)識(shí)：長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體的體積計(jì)算都可以用本質(zhì)方法——“底面積×高”，然后讓學(xué)生從圓柱體的本質(zhì)方法出發(fā)，建構(gòu)圓柱體體積計(jì)算的多元性方法（如，從整體把握局部。這種“整體感悟式”教學(xué)策略的運(yùn)用，可以發(fā)展兒童的邏輯思辨力?！?/p>

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