基于算子α的活性序及其性質研究

段 汕，徐 文，羅 敬，賀 興

(中南民族大學 數學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

作為圖像處理中一個強有力的工具，數學形態(tài)學是一門建立在嚴格數學基礎上的學科，其基本思想和方法對圖像處理的理論和技術產生了重要影響[1].數學形態(tài)學具有的完備數學理論，為形態(tài)學方法用于圖像分析和處理等各項工程技術領域奠定了堅實的基礎，同時這也使得數學形態(tài)學中數學理論的研究顯得尤其重要[2，3].

本文在此基礎上以O(L,M)上序關系的研究為主題，探討了其上一類新的偏序關系[8]，它不同于繼承序，與文獻[3]、[4]中所研究的活性序(activity ordering)相關但更具一般性，我們稱之為基于α的活性序，這里α為O(L,M)上的任一算子.對于這一新的二元關系我們不僅證明了它是O(L,M)上的一偏序關系，同時證明了O(L,M)在此序關系下仍然構成完備格.此外，對其相關的結構及性質進行了深入的研究，為O(L,M)中序關系的建立提供一個統(tǒng)一的框架.對于與此相關的中心算子的建立，為基于α的活性序下算子各種性質的討論及應用奠定了理論基礎.

1 預備知識

一個格的每個子集都有上下確界，這個格稱為完備格.給出兩個完備格L和M，L到M上所有算子的集合用O(L,M)表示,O(L,M)繼承了完備格M上的偏序結構，在這種偏序結構下O(L,M)構成了一個完備格.O(L,M)上的最小元是把L上每個元素都映射到M的最小元的算子，記作o,O(L,M)上最大元是把L上每個元素都映射到M的最大元的算子，記作ι.

一個有唯一余元的可分配格稱為布爾格，布爾格上每一個元素X的余元記作X*.我們把將元素X映射到其余元X*的算子記作v,即v(X)=X*.若完備格L和M也是布爾格，對于每個算子ψ∈O(L,M)定義其負算子ψ*∈O(L,M)為ψ*=vψv,不混淆時也記作ψ*(X)=[ψ(X*)]*，對于算子ψ∈O(L,M)定義其余算子ψc為ψc(X)=[ψ(X)]*.

2 基于給定算子α的活性序及其性質

2.1 基于α的活性序

在完備格(O(L,M)，≤,∨,∧)上，文獻[3]、[4]中針對單位算子給出了活性序的概念，我們用O(L,M)上的任一固定算子α代替單位算子，提出O(L,M)上基于算子α的一種偏序關系.

定義1 設L是完備格，M是完備布爾格，α是O(L,M)上任意給定的算子，如果完備格(O(L,M)，≤,∨,∧)中任意的兩個算子φ、ψ滿足條件：

α∧ψ≤α∧φ,α∨ψ≥α∨φ.

(1)

則稱算子ψ比算子φ相對于α更具活性，記作φ?ψ.

M是完備布爾格具有可分配性，所以下列等式成立：

αc∨(α∧ψ)=(αc∨α)∧(αc∨ψ)=αc∨ψ,

αc∧(α∨ψ)=(αc∧α)∨(αc∧ψ)=αc∧ψ.

其中αc：αc(X)=[α(X)]*是算子α的余算子.于是由條件(1)可推得：

αc∨ψ=αc∨(α∧ψ)≤αc∨(α∧φ)=αc∨φ,

αc∧ψ=αc∧(α∨ψ)≥αc∧(α∨φ)=αc∧φ.

由此可得定義1的等價定義：

定義2 設L是完備格，M是完備布爾格，α是O(L,M)上任意給定的算子，如果完備格(O(L,M),≤,∨,∧)中任意的兩個算子φ、ψ滿足條件：

αc∨ψ≤αc∨φ,αc∧ψ≥αc∧φ.

(2)

則稱ψ比φ相對于α更具活性，記作φ?ψ.

下面我們對完備格(O(L,M),≤,∨,∧)上給出的“?”這種新的二元關系進行研究.

性質1 如果L是一個完備格，M是一個完備布爾格，則“?”是(O(L,M),≤,∨,∧)上的一個偏序關系.

證明①自反性.由于α∧ψ≤α∧ψ和α∨ψ≥α∨ψ顯然成立，故由(1)式可知ψ?ψ成立.

② 傳遞性.若φ?ψ，ψ?β.由(1)式可知α∧ψ≤α∧φ、α∧β≤α∧ψ,則α∧β≤α∧φ；α∨ψ≥α∨φ、α∨β≥α∨ψ，則α∨β≥α∨φ，從而φ?β成立.

③ 反對稱性.若φ?ψ，ψ?φ.由(1)式可知α∧ψ≤α∧φ、α∧ψ≥α∧φ，則α∧ψ=α∧φ;αc∧ψ≥αc∧φ、αc∧ψ≤αc∧φ，則αc∧ψ=αc∧φ成立，故ψ=ψ∧(αc∨α)=(ψ∧αc)∨(ψ∧α)=(φ∧αc)∨(φ∧α)=φ∧(αc∨α)=φ,由①、②、③即知“?”是(O(L,M),≤,∨,∧)上的一個偏序關系.

由性質1可以看出“?”這種二元關系是一種與繼承序相關但又不同于繼承序的偏序關系，它是在(O(L,M),?,∨,∧)的基礎上建立的，我們把它稱為基于α的活性序.下面我們研究這種序關系的一些基本性質.

2.2 基于α的活性序的性質

性質2 設L是一個完備格，M是一個任意的完備布爾格，對于O(L,M)上任意的兩個算子φ、ψ，有下列關系成立：

(a)若ψ≤φ≤α，則φ?ψ； (b)若α≤φ≤ψ，則φ?ψ.

證明(a)由于ψ≤φ≤α，有α∧ψ=ψ≤φ=α∧φ、α∨ψ≥α=α∨φ成立，故由(1)式可知φ?ψ成立.

(b)由于α≤φ≤ψ，有α∧ψ≤α=α∧φ、α∨ψ=ψ≥φ=α∨φ成立，故由(1)式可知φ?ψ成立.

由性質2可以看出基于α的活性序“?”與繼承序“≤”之間的聯系：O(L,M)上的算子越遠離固定算子α，越具有活性.除此之外，基于α的活性序“?”本身還具備以下性質3.

性質3 設L、M是兩個任意的完備布爾格，對于O(L,M)上任意的3個算子φ、ψ、θ，有下列關系成立：

(a)α?ψ?αc；(b)φ?ψ則θ∧φ?θ∧ψ和θ∨φ?θ∨ψ成立；

(c)φ?ψ?ψc?φc；(d)當α=α*時，φ?ψ?φ*?ψ*.

證明(a)由于α∧ψ≤α=α∧α、α∨ψ≥α=α∨α，故由(1)式可知α?ψ；同理由α∧αc≤α∧ψ、α∨αc≥α∨ψ可知ψ?αc，故α?ψ?αc成立.

(b)由于φ?ψ，可知α∧ψ≤α∧φ、α∨ψ≥α∨φ成立，故有

α∧(ψ∧θ)=(α∧ψ)∧θ≤(α∧φ)∧θ=

α∧(φ∧θ)，

α∨(ψ∧θ)=(α∨ψ)∧(α∨θ)≥(α∨φ)∧(α∨θ)=α∨(φ∧θ).

故由(1)式可知θ∧φ?θ∧ψ成立.同理，

α∧(ψ∨θ)=(α∧ψ)∨(α∧θ)≤(α∧φ)∨(α∧θ)=α∧(φ∨θ)，

α∨(ψ∨θ)=(α∨ψ)∨θ≥(α∨φ)∨θ=

α∨(φ∨θ).

由(1)式可知θ∨φ?θ∨ψ成立.

(c)若φ?ψ，可知α∧ψ≤α∧φ、α∨ψ≥α∨φ成立，根據德摩根律，對兩式左右兩邊同時取余運算可得αc∨ψc≥αc∨φc、αc∧ψc≤αc∧φc，再由(2)式可知ψc?φc成立.同理若ψc?φc，根據(2)式可知αc∨ψc≥αc∨φc、αc∧ψc≤αc∧φc成立，對兩式左右同時取余運算可得α∧ψ≤α∧φ、α∨ψ≥α∨φ，再由(1)式可知φ?ψ成立.綜上所述φ?ψ?ψc?φc成立.

(d)若φ?ψ，可知α∧ψ≤α∧φ、α∨ψ≥α∨φ成立，根據德摩根律，對兩式左右兩邊同時取負運算可得α∨ψ≥α∨φ、α∧ψ≤α∧φ，由α=α可得α∨ψ≥α∨φ、α∧ψ≤α∧φ，再由(2)式可知φ?ψ成立.同理，若φ?ψ根據(1)式可知α∨ψ≥α∨φ、α∧ψ≤α∧φ成立，又由α=α即可得α∨ψ≥α∨φ、α∧ψ≤α∧φ，根據德摩根律，對兩式左右兩邊同時取負運算可得α∧ψ≤α∧φ、α∨ψ≥α∨φ，故由(1)式可知φ?ψ成立.綜上所述當α=α時，φ?ψ?φ*?ψ.

由上述性質可以看出，O(L,M)中各種算子包括了它們的余算子和自對偶條件下的負算子在新的序結構“?”下具有的關系,在下面的性質4中，我們將為O(L,M)在“?”上結構的研究提供一個基礎.

性質4 設L是一個完備格，M是一個完備布爾格，O(L,M)上的算子φ、ψ滿足條件φ≤ψ.令：

γ=(α∧ψ)∨φ=(α∨φ)∧ψ,

(3)

κ=(αc∧ψ)∨φ=(αc∨φ)∧ψ.

(4)

則下列關系成立：

(a)α∧γ=α∧ψ,α∨γ=α∨φ,α∧κ=α∧φ,α∨κ=α∨ψ，αc∧γ=αc∧φ,αc∨γ=αc∨ψ，αc∧κ=αc∧ψ，αc∨κ=αc∨φ.

(b)γ?φ,ψ；如果γ′是其它任意滿足γ′?φ,ψ的算子，則γ′?γ.

(c)φ,ψ?κ；如果κ′是其它任意滿足φ,ψ?κ′的算子，則κ?κ′.

(d)對于每一個O(L,M)中的算子η，φ≤η≤ψ?γ?η?κ.

證明(a)由φ≤ψ可知α∧φ≤α∧ψ，αc∧φ≤αc∧ψ,

又由(3)、(4)兩式可得α∧γ=α∧[(α∧ψ)∨φ]=(α∧ψ)∨(α∧φ)=α∧ψ,

α∨γ=α∨[(α∧ψ)∨φ]=α∨φ,

α∧κ=α∧[(αc∧ψ)∨φ]=(α∧αc∧ψ)∨(α∧φ)=α∧φ,

α∨κ=α∨[(αc∨φ)∧ψ]=(α∨αc∨φ)∧(α∨ψ)=α∨ψ,

αc∧γ=αc∧[(α∧ψ)∨φ]=αc∧φ、αc∨γ=αc∨[(α∨φ)∧ψ]=αc∨ψ,

αc∧κ=αc∧[(αc∧ψ)∨φ]=(αc∧ψ)∨(αc∧φ)=αc∧ψ,

αc∨κ=αc∨[(αc∧ψ)∨φ]=αc∨φ,

(b)由φ≤ψ和(a)的結論可知α∧γ=α∧ψ≥α∧φ，α∨γ=α∨φ≤α∨ψ,

故由(1)式可得γ?φ,ψ.若γ′?φ,ψ，則由(1)式可知α∧γ′≥α∧ψ=α∧γ,α∨γ′≤α∨φ=α∨γ，故γ′?γ成立.

(c)由(4)式和φ≤ψ可得αc∨κ=αc∨[(αc∧ψ)∨φ]=αc∨φ≤αc∨ψ，αc∧κ=αc∧[(αc∨φ)∧ψ]=αc∧ψ≥αc∧φ,故由(3)、(4)兩式可知φ,ψ?κ成立.若φ,ψ?κ′，同理可知αc∨κ′≤αc∨φ=αc∨κ、αc∧κ′≥αc∧ψ=αc∧κ，再由(3)、(4)兩式可知κ?κ′成立.

(d)若φ≤η≤ψ成立，由(a)的結論可知α∧κ=α∧φ≤α∧η≤α∧ψ=α∧γ，α∨κ=α∨ψ≥α∨η≥α∨φ=α∨γ，故由(1)式可知γ?η?κ成立.若γ?η?κ成立，則由(1)、(2)兩式可知α∧κ≤α∧η≤α∧γ，αc∧κ≥αc∧η≥αc∧γ，再由(a)的結論可得:

φ=(αc∨α)∧φ=(αc∧φ)∨(α∧φ)=(αc∧γ)∨(α∧κ)≤(αc∧η)∨(α∧η)=η,

ψ=(αc∨α)∧ψ=(αc∧ψ)∨(α∧ψ)=(αc∧κ)∨(α∧γ)≥(αc∧η)∨(α∧η)=η,即φ≤η≤ψ成立.綜上所述φ≤η≤ψ?γ?η?κ.

性質6 設L是一個完備格，M是一個完備布爾格，ψ是O(L,M)上的任一算子，則有下列等式成立：oψ=α∧ψ，oψ=αc∧ψ，ιψ=α∨ψ，ιψ=αc∨ψ.

證明由性質5可知:

oψ=[α∧(o∨ψ)]∨(o∧ψ)=α∧ψ,

ιψ=[α∧(ι∨ψ)]∨(ι∧ψ)=α∨ψ,

性質7 設L和M是兩個完備布爾格，{ψi},i∈I是O(L,M)上任意的算子族，則下列等式成立:

證明(a)由性質5和德摩根律可知:

(b)同理由德摩根律可知:

3 結束語

序關系的研究在數學形態(tài)學理論和實際應用中都有著重要的研究價值，通過以上研究，我們在繼承序的基礎上,探討了一類新的序關系即基于α的活性序，它不僅是O(L,M)上的一偏序關系，并且O(L,M)在這種偏序關系下構成一個完備格.本文為O(L,M)中序關系的建立提供了一個統(tǒng)一的框架，也為基于α的活性序下算子各種性質的討論及應用奠定了理論基礎，對算子空間中序關系的理論研究和實際應用有一定指導意義.

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