帶有紅樹林自然保護(hù)區(qū)的漁業(yè)資源的離散動(dòng)力學(xué)模型的局部分析

顧恩國(guó)，陳 博，張梅娜

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

紅樹林是指生長(zhǎng)在熱帶、亞熱帶低能海岸潮間帶上部，受周期性潮水浸淹，以紅樹植物為主體的常綠灌木或喬木組成的潮灘濕地木本生物群落.它生長(zhǎng)于陸地與海洋交界帶的灘涂淺灘，是陸地向海洋過渡的特殊生態(tài)系，具有維護(hù)海岸潮間帶的生物多樣性、防風(fēng)消浪、促淤造陸、固岸護(hù)堤、凈化海水和空氣等生態(tài)功能，也具有很高的經(jīng)濟(jì)價(jià)值和社會(huì)價(jià)值，素有“海洋衛(wèi)士”之稱，我國(guó)的紅樹林主要分布于廣西、廣東、海南、臺(tái)灣、福建和浙江南部沿岸.紅樹林生態(tài)系統(tǒng)具有復(fù)雜的碎屑食物鏈[1]和海洋動(dòng)物良好的生長(zhǎng)發(fā)育環(huán)境[2,3]，是近海漁業(yè)和灘涂養(yǎng)殖業(yè)的重要場(chǎng)所之一，它在全球保護(hù)生物多樣性、保護(hù)濕地和保證資源可持續(xù)利用中起著重要作用.改革開放以來，一方面圍塘養(yǎng)殖、城市化、港口碼頭建設(shè)、亂砍亂伐及工業(yè)區(qū)的開發(fā)等危害紅樹林的行為層出不窮；另一方面紅樹林區(qū)群眾又在過度利用紅樹林區(qū)豐富的漁業(yè)資源，非常不利于紅樹林生態(tài)系統(tǒng)的保護(hù).

關(guān)于海洋漁業(yè)資源可持續(xù)利用的問題，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者建立了大量模型[4-6]，但針對(duì)帶有紅樹林自然保護(hù)區(qū)的海洋漁業(yè)資源可持續(xù)利用的研究至今很少見.本文主要運(yùn)用離散動(dòng)力學(xué)知識(shí)研究捕撈力度對(duì)帶有紅樹林自然保護(hù)區(qū)的海洋漁業(yè)資源可持續(xù)利用的影響，研究發(fā)現(xiàn)合理控制捕撈力度可以實(shí)現(xiàn)對(duì)紅樹林生態(tài)系統(tǒng)的保護(hù).鑒于紅樹林生態(tài)系統(tǒng)為幼魚的繁殖和生長(zhǎng)提供了極為有利的場(chǎng)所[7]，我們假定魚群僅在紅樹林區(qū)進(jìn)行繁殖(紅樹林之外的繁殖活動(dòng)較小我們忽略不計(jì))，并且在該區(qū)域禁止捕撈，建立了漁業(yè)資源儲(chǔ)量的離散動(dòng)力學(xué)模型，來描述魚群密度隨時(shí)間演化的規(guī)律，給出保證漁業(yè)資源的可持續(xù)利用的條件，研究結(jié)果可以為資源管理者提供理論參考.

1 模型建立

本文主要考慮帶有紅樹林自然保護(hù)區(qū)的海洋漁業(yè)資源，紅樹林區(qū)和捕撈區(qū)魚群的密度分別為x1，x2，捕撈力度為E，它依賴于假設(shè)所有漁船的捕撈技術(shù)、作業(yè)漁船的數(shù)量和作業(yè)時(shí)間確定.用s表示紅樹林區(qū)占整個(gè)區(qū)域的比例(0

(1)

(2)

2 正平衡點(diǎn)的存在性

我們可以將(2)式寫成如下的映射動(dòng)力系統(tǒng)形式

這里“′”表示時(shí)間增加一個(gè)單位算子.下面求系統(tǒng)(3)的不動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)平衡點(diǎn)的定義，系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)應(yīng)滿足x′=x,y′=y，即:

系統(tǒng)有兩個(gè)平衡點(diǎn)A0(0,0)，A1(x*,y*)，這里

考慮模型本身的意義，我們僅考慮正平衡點(diǎn)，因此A1應(yīng)滿足x*>0，y*>0.于是得到下面結(jié)論.

命題1

① 當(dāng)sr>σ時(shí)，系統(tǒng)(3)有正平衡點(diǎn)A1；

本文主要對(duì)第一種情況下帶有紅樹林生態(tài)系統(tǒng)的漁業(yè)資源的離散動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行分析.

3 非負(fù)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和分叉

本節(jié)我們假設(shè)σ

(ii)在正平衡點(diǎn)A1(x*,y*)處，

P(-1)=F(Eq)=A+f(Eq)，

所以此時(shí)系統(tǒng)(3)的正不動(dòng)點(diǎn)不可能產(chǎn)生Neimark分叉.

綜合上面的分析,可以得到關(guān)于正不動(dòng)點(diǎn)A1(x*,y*)的穩(wěn)定性和局部分叉定理1.

1)系統(tǒng)(3)在正平衡點(diǎn)處不可能產(chǎn)生fold分叉；

2)當(dāng)s>σ且s+σ<1時(shí)，系統(tǒng)(3)在正平衡點(diǎn)處不可能產(chǎn)生Neimark分叉；

為了分析捕撈力度對(duì)資源可持續(xù)利用的影響，我們給出系統(tǒng)(3)關(guān)于捕撈力度E的分叉圖.圖1中初始漁業(yè)資源x0=0.24,y0=0.06，系統(tǒng)參數(shù)為σ=0.31,s=0.41,q=0.7,r=0.97，藍(lán)色虛線表示紅樹林區(qū)漁業(yè)資源的分叉圖，紅色實(shí)曲線表示捕撈區(qū)漁業(yè)資源的分叉圖.由圖1可知，當(dāng)0

圖1 系統(tǒng)(3)關(guān)于參數(shù)r=0.97，σ=0.31,s=0.41,q=0.7隨捕撈力度E變化的分叉圖

取參數(shù)為r=0.97，σ=0.31,s=0.41,q=0.7，不動(dòng)點(diǎn)A1(x*,y*)=(0.1893,0.0842)，當(dāng)E≈1.676時(shí)，P(-1)=0，為了回答在此臨界狀態(tài)平衡點(diǎn)A1的局部穩(wěn)定性，需要用到中心流形定理. 對(duì)系統(tǒng)(3)作坐標(biāo)平移變換得：

(4)

其矩陣形式為：

令

設(shè)中心流形為Mc={(u,v)∈R2|v=h(u),h(0)=0,h′(0)=0,|u|<δ}，h(u)=b1u2+b2u3+o(u4)，則h(mu+f(u,h(u)))-nh(u)-g(u,h(u))=0，其中m=0.6196,n=-1，進(jìn)而有：

其中f1(u)=-u+0.7060u2-0.1647u3+o(u4)，所以h(u)為穩(wěn)定流形，則平衡點(diǎn)A1在E=1.676處局部穩(wěn)定.

4 結(jié)語和展望

本文研究了帶有紅樹林自然保護(hù)區(qū)的海洋漁業(yè)資源可持續(xù)利用問題，假設(shè)魚群僅在紅樹林自然保護(hù)區(qū)進(jìn)行繁殖，并且僅在非保護(hù)區(qū)域進(jìn)行捕撈，建立了漁業(yè)資源儲(chǔ)量的離散動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)模型進(jìn)行了非線性動(dòng)力學(xué)的局部分叉的分析，討論了正平衡點(diǎn)的存在性、局部分叉和穩(wěn)定性，并且應(yīng)用中心流形定理討論了系統(tǒng)有一個(gè)特征值為-1時(shí)的穩(wěn)定性問題.我們發(fā)現(xiàn)帶有紅樹林區(qū)的漁業(yè)資源相對(duì)比較容易達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，但當(dāng)捕撈力度過大(E>1.67)時(shí)，系統(tǒng)非常敏感，資源很容易就枯竭.因此要保證紅樹林區(qū)漁業(yè)資源的可持續(xù)利用，必須合理控制捕撈力度，這對(duì)于政府部門有一定的參考價(jià)值.

本文僅對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了非線性動(dòng)力學(xué)的局部分叉的分析，沒有對(duì)系統(tǒng)的可行域進(jìn)行全局分析，不清楚系統(tǒng)穩(wěn)定性對(duì)捕撈力度變化的抗干擾能力，不可行吸引域中資源的枯竭年限也無法預(yù)知，這將在后文中繼續(xù)研究.

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