由課堂生成疑惑，芻議人教版教材

張燕飛

小學(xué)數(shù)學(xué)人教版新教材，是以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（下稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的基本理念和所規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容為依據(jù)，無論是編排結(jié)構(gòu)，還是呈現(xiàn)形式，都是科學(xué)及新穎的。比如主題圖、情境引入與時(shí)俱進(jìn)，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供了一個(gè)豐富多彩的數(shù)學(xué)大世界，有利于學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流、體驗(yàn)成功，獲得積極主動(dòng)而又生動(dòng)活潑的發(fā)展。但在實(shí)際教學(xué)過程中，卻發(fā)現(xiàn)教材對一些數(shù)學(xué)問題都采取了回避處理的方式，使得教師在面對學(xué)生課堂上生成疑惑時(shí)，找不到明確的依據(jù)來答疑解惑，降低了數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)效率，也讓一些求知欲望強(qiáng)烈的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是模棱兩可的學(xué)科。下面就小學(xué)數(shù)學(xué)人教版教材第十冊中的一些真實(shí)案例談一些自己的看法。

【疑惑一】■是真分?jǐn)?shù)嗎？

“真分?jǐn)?shù)的定義：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)小于1?！边@是教材給出的定義。

當(dāng)把問題改成“當(dāng)a為何值時(shí)，■是真分?jǐn)?shù)？”時(shí)，學(xué)生很自然地想到：在這里“a=0”是否可取？

當(dāng)課堂上產(chǎn)生此疑問時(shí)，班上學(xué)生有兩種意見：

（1）“a=0”不可取，也就是說“不是真分?jǐn)?shù)”。理由是“根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義：把一個(gè)物體或者多個(gè)物體看作一個(gè)整體，平均分成若干份，取其中的幾份，可以用分?jǐn)?shù)來表示。”這里“一個(gè)物體或者多個(gè)物體必須是存在的”，表示沒有，一個(gè)沒有的東西怎么能拿來平均分？所以學(xué)生很理所當(dāng)然地認(rèn)為“■不是分?jǐn)?shù)”。既然■不是分?jǐn)?shù)，那么它也就談不上是真分?jǐn)?shù)了。理由很充分，這樣想的學(xué)生教師給予肯定：會(huì)用學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行推理，既然不是一個(gè)分?jǐn)?shù)，就不必討論它是否是真分?jǐn)?shù)。

（2）“a=0”可取。理由：分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系“被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)”，而我們只約定0不可做分母，并未約定0不可做分子，因此“■是分?jǐn)?shù)”，又因?yàn)榉肿颖确帜感?，所以“■是真分?jǐn)?shù)”。從分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系入手，證明了■是一個(gè)分?jǐn)?shù)，又從真分?jǐn)?shù)的定義出發(fā)，證明了■就是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，顯然也是一個(gè)充分的理由。

以上學(xué)生的這兩種理由都是合情合理的，但是數(shù)學(xué)對于是非的判斷只有一種答案。到底誰對誰錯(cuò)？作為教材，面對這樣的問題，是否也應(yīng)該在教材中給出明確的定義？如果教材能夠清楚地對“■”這樣的分?jǐn)?shù)有明確的定義或者歸類，那么學(xué)生產(chǎn)生的這種想法就能夠很快地在課堂上得到釋疑，也就能增加他們對知識(shí)探索的興趣，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

課后，我查過一些資料，有些資料把“■”這樣的分子是0的分?jǐn)?shù)定義為“零分?jǐn)?shù)”?！傲惴?jǐn)?shù)”的概念：分子為0（分母不為0）的分?jǐn)?shù)即為零分?jǐn)?shù)。

意義：零作分母時(shí)無意義，零作分子時(shí)有意義，但所得的結(jié)果永遠(yuǎn)是零。

例如，■把某數(shù)分成5分，取其中0份，等于0，即■=0。

（1）當(dāng)m=0時(shí)，■=■=0。即：當(dāng)分子是0時(shí)，分?jǐn)?shù)值等于0。

例如，■=0。

（2）當(dāng)n=1時(shí)，■=■=m。即：當(dāng)分母是1時(shí)，分?jǐn)?shù)值就是分子。根據(jù)補(bǔ)充定義，任何整數(shù)m都可以用■來表示，從這個(gè)意義上講，整數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)，整數(shù)集是分?jǐn)?shù)的真子集。

例如，5=■；0÷1=■。

從分?jǐn)?shù)的意義中可以看出“零分?jǐn)?shù)”和“分?jǐn)?shù)形式的整數(shù)”都是分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。

尤其是“零分?jǐn)?shù)”，在數(shù)學(xué)理論中，是把它作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念出現(xiàn)的，即：分子是零的分?jǐn)?shù)叫做零分?jǐn)?shù)。

“零分?jǐn)?shù)”的實(shí)際意義是整數(shù)“0”的分?jǐn)?shù)表現(xiàn)形式。它的本質(zhì)是整數(shù)。尤其是“0”在數(shù)學(xué)運(yùn)算中有著它特殊的性質(zhì)，在很多數(shù)學(xué)概念中對“0”都要做明確的限定。

在分?jǐn)?shù)與倒數(shù)的矛盾點(diǎn)上應(yīng)該對“零分?jǐn)?shù)”做同樣的限定，在這里邊應(yīng)該有兩處有明確的限定：

（1）根據(jù)倒數(shù)的定義可知，求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)（0除外——因?yàn)?不能做除數(shù)，所以0沒有倒數(shù)），就是1除以這個(gè)數(shù)所得的數(shù)。

（2）為了簡便，求一個(gè)分?jǐn)?shù)（零分?jǐn)?shù)除外）的倒數(shù)，調(diào)換一下這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的位置就可以。

以上其實(shí)是對“■是否是真分?jǐn)?shù)”的一個(gè)很好的詮釋。

如果教材能對“零分?jǐn)?shù)”也有這樣明確的定義，那么學(xué)生的課堂生成的疑惑就不用等著教師課后查閱大量資料再去處理。

【疑惑二】帶分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)嗎？

首先，教材給出帶分?jǐn)?shù)的定義是非常簡單的，“像1■，1■……這樣的分?jǐn)?shù)叫帶分?jǐn)?shù)?！苯酉氯サ膬?nèi)容就是把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或者帶分?jǐn)?shù)，并沒有強(qiáng)調(diào)帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的關(guān)系。學(xué)生在對分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類時(shí)，如果只將分?jǐn)?shù)分成真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，很多學(xué)生就會(huì)質(zhì)疑是否將帶分?jǐn)?shù)歸為假分?jǐn)?shù)這一類。因?yàn)楹苌賹W(xué)生會(huì)從帶分?jǐn)?shù)其實(shí)是假分?jǐn)?shù)的另外一種書寫形式出發(fā)考慮。因此他們將分?jǐn)?shù)歸為真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)這三類，其實(shí)是忽略了帶分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)之間的密切關(guān)系。所以教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該補(bǔ)充帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的關(guān)系：它們猶如長方體和正方體之間的聯(lián)系，正方體是特殊的長方體，帶分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)的另外一種形式，它隸屬于假分?jǐn)?shù)，也就是說帶分?jǐn)?shù)是特殊的假分?jǐn)?shù)。但如果說帶分?jǐn)?shù)是特殊的假分?jǐn)?shù)，那么整數(shù)也可以化成假分?jǐn)?shù)，是否可以說整數(shù)也是特殊的假分?jǐn)?shù)，而對于這些問題，教材似乎又回避了。在面對一些求知欲強(qiáng)烈的學(xué)生，個(gè)人覺得教材應(yīng)該給個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，以便滿足學(xué)生好學(xué)的心理，更加讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)是門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科的觀念，而不是有漏洞的，不夠完整的。

【疑惑三】“20以內(nèi)2的倍數(shù)”包括20嗎？

20以內(nèi)，到底是否包括20？碰到過許多類似的問題，例如《統(tǒng)計(jì)》里問“喜歡兩類書本以上的人占總?cè)藬?shù)的幾分之幾？”每當(dāng)遇到這些問題，學(xué)生總會(huì)質(zhì)疑到底臨界點(diǎn)算不算。也碰到過一些題表述比較嚴(yán)謹(jǐn)，兩類以上會(huì)加上括號(hào)說明是含兩類的，這樣學(xué)生就能比較明確題意。但是碰到那些不加括號(hào)說明的題，學(xué)生很自然地就會(huì)思考：“20以內(nèi)是否包括20？”學(xué)生會(huì)思考：“沒有加括號(hào)是否說明20以內(nèi)不包括20？”而翻閱教材，無論是新授課還是練習(xí)中，都沒有特別說明，于是學(xué)生的腦海里一片混亂。

查閱了一些資料，有認(rèn)為：教材里，10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)包括10，萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)也包括10000，現(xiàn)行教材1～10各數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)也包含10。這就明確了，其實(shí)我們在說10以內(nèi)的數(shù)時(shí)，已經(jīng)約定俗成包含了10。而大學(xué)《數(shù)論》中也有這方面的介紹，10以內(nèi)包括10，屬于概念的內(nèi)涵和外延的范疇。另外，在其他領(lǐng)域，刑法上稱以上、以下、以內(nèi)也都是包括本數(shù)，但需要補(bǔ)充的是所稱的“不滿”、“以外”，又不包括本數(shù)。

至此，不得不感嘆中華文字的博大精深，但是在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)面前，我覺得教材應(yīng)該在第一次涉及“以內(nèi)”這一內(nèi)容時(shí)有統(tǒng)一的規(guī)定，在學(xué)生第一次碰到時(shí)就印象深刻，也就不會(huì)在后續(xù)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)混亂。

數(shù)學(xué)問題是人們在生活實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生的。不可否認(rèn)人教版新教材的確在很多地方都值得贊頌，但是它確實(shí)也存在著一些避重就輕的問題。數(shù)學(xué)知識(shí)有時(shí)確實(shí)不需要教材說得很詳細(xì)，但是對于那些會(huì)引起學(xué)生疑惑的問題，教材有必要通過各種呈現(xiàn)方式給出一個(gè)正確的定義，這樣才能有利于教師把握方向，更能體現(xiàn)教材的地位與作用。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

小學(xué)數(shù)學(xué)人教版新教材，是以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（下稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的基本理念和所規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容為依據(jù)，無論是編排結(jié)構(gòu)，還是呈現(xiàn)形式，都是科學(xué)及新穎的。比如主題圖、情境引入與時(shí)俱進(jìn)，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供了一個(gè)豐富多彩的數(shù)學(xué)大世界，有利于學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流、體驗(yàn)成功，獲得積極主動(dòng)而又生動(dòng)活潑的發(fā)展。但在實(shí)際教學(xué)過程中，卻發(fā)現(xiàn)教材對一些數(shù)學(xué)問題都采取了回避處理的方式，使得教師在面對學(xué)生課堂上生成疑惑時(shí)，找不到明確的依據(jù)來答疑解惑，降低了數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)效率，也讓一些求知欲望強(qiáng)烈的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是模棱兩可的學(xué)科。下面就小學(xué)數(shù)學(xué)人教版教材第十冊中的一些真實(shí)案例談一些自己的看法。

【疑惑一】■是真分?jǐn)?shù)嗎？

“真分?jǐn)?shù)的定義：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)小于1?！边@是教材給出的定義。

當(dāng)把問題改成“當(dāng)a為何值時(shí)，■是真分?jǐn)?shù)？”時(shí)，學(xué)生很自然地想到：在這里“a=0”是否可取？

當(dāng)課堂上產(chǎn)生此疑問時(shí)，班上學(xué)生有兩種意見：

（1）“a=0”不可取，也就是說“不是真分?jǐn)?shù)”。理由是“根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義：把一個(gè)物體或者多個(gè)物體看作一個(gè)整體，平均分成若干份，取其中的幾份，可以用分?jǐn)?shù)來表示?！边@里“一個(gè)物體或者多個(gè)物體必須是存在的”，表示沒有，一個(gè)沒有的東西怎么能拿來平均分？所以學(xué)生很理所當(dāng)然地認(rèn)為“■不是分?jǐn)?shù)”。既然■不是分?jǐn)?shù)，那么它也就談不上是真分?jǐn)?shù)了。理由很充分，這樣想的學(xué)生教師給予肯定：會(huì)用學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行推理，既然不是一個(gè)分?jǐn)?shù)，就不必討論它是否是真分?jǐn)?shù)。

（2）“a=0”可取。理由：分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系“被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)”，而我們只約定0不可做分母，并未約定0不可做分子，因此“■是分?jǐn)?shù)”，又因?yàn)榉肿颖确帜感?，所以“■是真分?jǐn)?shù)”。從分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系入手，證明了■是一個(gè)分?jǐn)?shù)，又從真分?jǐn)?shù)的定義出發(fā)，證明了■就是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，顯然也是一個(gè)充分的理由。

以上學(xué)生的這兩種理由都是合情合理的，但是數(shù)學(xué)對于是非的判斷只有一種答案。到底誰對誰錯(cuò)？作為教材，面對這樣的問題，是否也應(yīng)該在教材中給出明確的定義？如果教材能夠清楚地對“■”這樣的分?jǐn)?shù)有明確的定義或者歸類，那么學(xué)生產(chǎn)生的這種想法就能夠很快地在課堂上得到釋疑，也就能增加他們對知識(shí)探索的興趣，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

課后，我查過一些資料，有些資料把“■”這樣的分子是0的分?jǐn)?shù)定義為“零分?jǐn)?shù)”?！傲惴?jǐn)?shù)”的概念：分子為0（分母不為0）的分?jǐn)?shù)即為零分?jǐn)?shù)。

意義：零作分母時(shí)無意義，零作分子時(shí)有意義，但所得的結(jié)果永遠(yuǎn)是零。

例如，■把某數(shù)分成5分，取其中0份，等于0，即■=0。

（1）當(dāng)m=0時(shí)，■=■=0。即：當(dāng)分子是0時(shí)，分?jǐn)?shù)值等于0。

例如，■=0。

（2）當(dāng)n=1時(shí)，■=■=m。即：當(dāng)分母是1時(shí)，分?jǐn)?shù)值就是分子。根據(jù)補(bǔ)充定義，任何整數(shù)m都可以用■來表示，從這個(gè)意義上講，整數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)，整數(shù)集是分?jǐn)?shù)的真子集。

例如，5=■；0÷1=■。

從分?jǐn)?shù)的意義中可以看出“零分?jǐn)?shù)”和“分?jǐn)?shù)形式的整數(shù)”都是分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。

尤其是“零分?jǐn)?shù)”，在數(shù)學(xué)理論中，是把它作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念出現(xiàn)的，即：分子是零的分?jǐn)?shù)叫做零分?jǐn)?shù)。

“零分?jǐn)?shù)”的實(shí)際意義是整數(shù)“0”的分?jǐn)?shù)表現(xiàn)形式。它的本質(zhì)是整數(shù)。尤其是“0”在數(shù)學(xué)運(yùn)算中有著它特殊的性質(zhì)，在很多數(shù)學(xué)概念中對“0”都要做明確的限定。

在分?jǐn)?shù)與倒數(shù)的矛盾點(diǎn)上應(yīng)該對“零分?jǐn)?shù)”做同樣的限定，在這里邊應(yīng)該有兩處有明確的限定：

（1）根據(jù)倒數(shù)的定義可知，求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)（0除外——因?yàn)?不能做除數(shù)，所以0沒有倒數(shù)），就是1除以這個(gè)數(shù)所得的數(shù)。

（2）為了簡便，求一個(gè)分?jǐn)?shù)（零分?jǐn)?shù)除外）的倒數(shù)，調(diào)換一下這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的位置就可以。

以上其實(shí)是對“■是否是真分?jǐn)?shù)”的一個(gè)很好的詮釋。

如果教材能對“零分?jǐn)?shù)”也有這樣明確的定義，那么學(xué)生的課堂生成的疑惑就不用等著教師課后查閱大量資料再去處理。

【疑惑二】帶分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)嗎？

首先，教材給出帶分?jǐn)?shù)的定義是非常簡單的，“像1■，1■……這樣的分?jǐn)?shù)叫帶分?jǐn)?shù)?！苯酉氯サ膬?nèi)容就是把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或者帶分?jǐn)?shù)，并沒有強(qiáng)調(diào)帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的關(guān)系。學(xué)生在對分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類時(shí)，如果只將分?jǐn)?shù)分成真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，很多學(xué)生就會(huì)質(zhì)疑是否將帶分?jǐn)?shù)歸為假分?jǐn)?shù)這一類。因?yàn)楹苌賹W(xué)生會(huì)從帶分?jǐn)?shù)其實(shí)是假分?jǐn)?shù)的另外一種書寫形式出發(fā)考慮。因此他們將分?jǐn)?shù)歸為真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)這三類，其實(shí)是忽略了帶分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)之間的密切關(guān)系。所以教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該補(bǔ)充帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的關(guān)系：它們猶如長方體和正方體之間的聯(lián)系，正方體是特殊的長方體，帶分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)的另外一種形式，它隸屬于假分?jǐn)?shù)，也就是說帶分?jǐn)?shù)是特殊的假分?jǐn)?shù)。但如果說帶分?jǐn)?shù)是特殊的假分?jǐn)?shù)，那么整數(shù)也可以化成假分?jǐn)?shù)，是否可以說整數(shù)也是特殊的假分?jǐn)?shù)，而對于這些問題，教材似乎又回避了。在面對一些求知欲強(qiáng)烈的學(xué)生，個(gè)人覺得教材應(yīng)該給個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，以便滿足學(xué)生好學(xué)的心理，更加讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)是門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科的觀念，而不是有漏洞的，不夠完整的。

【疑惑三】“20以內(nèi)2的倍數(shù)”包括20嗎？

20以內(nèi)，到底是否包括20？碰到過許多類似的問題，例如《統(tǒng)計(jì)》里問“喜歡兩類書本以上的人占總?cè)藬?shù)的幾分之幾？”每當(dāng)遇到這些問題，學(xué)生總會(huì)質(zhì)疑到底臨界點(diǎn)算不算。也碰到過一些題表述比較嚴(yán)謹(jǐn)，兩類以上會(huì)加上括號(hào)說明是含兩類的，這樣學(xué)生就能比較明確題意。但是碰到那些不加括號(hào)說明的題，學(xué)生很自然地就會(huì)思考：“20以內(nèi)是否包括20？”學(xué)生會(huì)思考：“沒有加括號(hào)是否說明20以內(nèi)不包括20？”而翻閱教材，無論是新授課還是練習(xí)中，都沒有特別說明，于是學(xué)生的腦海里一片混亂。

查閱了一些資料，有認(rèn)為：教材里，10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)包括10，萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)也包括10000，現(xiàn)行教材1～10各數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)也包含10。這就明確了，其實(shí)我們在說10以內(nèi)的數(shù)時(shí)，已經(jīng)約定俗成包含了10。而大學(xué)《數(shù)論》中也有這方面的介紹，10以內(nèi)包括10，屬于概念的內(nèi)涵和外延的范疇。另外，在其他領(lǐng)域，刑法上稱以上、以下、以內(nèi)也都是包括本數(shù)，但需要補(bǔ)充的是所稱的“不滿”、“以外”，又不包括本數(shù)。

至此，不得不感嘆中華文字的博大精深，但是在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)面前，我覺得教材應(yīng)該在第一次涉及“以內(nèi)”這一內(nèi)容時(shí)有統(tǒng)一的規(guī)定，在學(xué)生第一次碰到時(shí)就印象深刻，也就不會(huì)在后續(xù)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)混亂。

數(shù)學(xué)問題是人們在生活實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生的。不可否認(rèn)人教版新教材的確在很多地方都值得贊頌，但是它確實(shí)也存在著一些避重就輕的問題。數(shù)學(xué)知識(shí)有時(shí)確實(shí)不需要教材說得很詳細(xì)，但是對于那些會(huì)引起學(xué)生疑惑的問題，教材有必要通過各種呈現(xiàn)方式給出一個(gè)正確的定義，這樣才能有利于教師把握方向，更能體現(xiàn)教材的地位與作用。

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小學(xué)數(shù)學(xué)人教版新教材，是以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（下稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的基本理念和所規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容為依據(jù)，無論是編排結(jié)構(gòu)，還是呈現(xiàn)形式，都是科學(xué)及新穎的。比如主題圖、情境引入與時(shí)俱進(jìn)，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供了一個(gè)豐富多彩的數(shù)學(xué)大世界，有利于學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流、體驗(yàn)成功，獲得積極主動(dòng)而又生動(dòng)活潑的發(fā)展。但在實(shí)際教學(xué)過程中，卻發(fā)現(xiàn)教材對一些數(shù)學(xué)問題都采取了回避處理的方式，使得教師在面對學(xué)生課堂上生成疑惑時(shí)，找不到明確的依據(jù)來答疑解惑，降低了數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)效率，也讓一些求知欲望強(qiáng)烈的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是模棱兩可的學(xué)科。下面就小學(xué)數(shù)學(xué)人教版教材第十冊中的一些真實(shí)案例談一些自己的看法。

【疑惑一】■是真分?jǐn)?shù)嗎？

“真分?jǐn)?shù)的定義：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)小于1?！边@是教材給出的定義。

當(dāng)把問題改成“當(dāng)a為何值時(shí)，■是真分?jǐn)?shù)？”時(shí)，學(xué)生很自然地想到：在這里“a=0”是否可?。?/p>

當(dāng)課堂上產(chǎn)生此疑問時(shí)，班上學(xué)生有兩種意見：

（1）“a=0”不可取，也就是說“不是真分?jǐn)?shù)”。理由是“根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義：把一個(gè)物體或者多個(gè)物體看作一個(gè)整體，平均分成若干份，取其中的幾份，可以用分?jǐn)?shù)來表示?！边@里“一個(gè)物體或者多個(gè)物體必須是存在的”，表示沒有，一個(gè)沒有的東西怎么能拿來平均分？所以學(xué)生很理所當(dāng)然地認(rèn)為“■不是分?jǐn)?shù)”。既然■不是分?jǐn)?shù)，那么它也就談不上是真分?jǐn)?shù)了。理由很充分，這樣想的學(xué)生教師給予肯定：會(huì)用學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行推理，既然不是一個(gè)分?jǐn)?shù)，就不必討論它是否是真分?jǐn)?shù)。

（2）“a=0”可取。理由：分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系“被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)”，而我們只約定0不可做分母，并未約定0不可做分子，因此“■是分?jǐn)?shù)”，又因?yàn)榉肿颖确帜感。浴啊鍪钦娣謹(jǐn)?shù)”。從分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系入手，證明了■是一個(gè)分?jǐn)?shù)，又從真分?jǐn)?shù)的定義出發(fā)，證明了■就是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，顯然也是一個(gè)充分的理由。

以上學(xué)生的這兩種理由都是合情合理的，但是數(shù)學(xué)對于是非的判斷只有一種答案。到底誰對誰錯(cuò)？作為教材，面對這樣的問題，是否也應(yīng)該在教材中給出明確的定義？如果教材能夠清楚地對“■”這樣的分?jǐn)?shù)有明確的定義或者歸類，那么學(xué)生產(chǎn)生的這種想法就能夠很快地在課堂上得到釋疑，也就能增加他們對知識(shí)探索的興趣，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

課后，我查過一些資料，有些資料把“■”這樣的分子是0的分?jǐn)?shù)定義為“零分?jǐn)?shù)”?！傲惴?jǐn)?shù)”的概念：分子為0（分母不為0）的分?jǐn)?shù)即為零分?jǐn)?shù)。

意義：零作分母時(shí)無意義，零作分子時(shí)有意義，但所得的結(jié)果永遠(yuǎn)是零。

例如，■把某數(shù)分成5分，取其中0份，等于0，即■=0。

（1）當(dāng)m=0時(shí)，■=■=0。即：當(dāng)分子是0時(shí)，分?jǐn)?shù)值等于0。

例如，■=0。

（2）當(dāng)n=1時(shí)，■=■=m。即：當(dāng)分母是1時(shí)，分?jǐn)?shù)值就是分子。根據(jù)補(bǔ)充定義，任何整數(shù)m都可以用■來表示，從這個(gè)意義上講，整數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)，整數(shù)集是分?jǐn)?shù)的真子集。

例如，5=■；0÷1=■。

從分?jǐn)?shù)的意義中可以看出“零分?jǐn)?shù)”和“分?jǐn)?shù)形式的整數(shù)”都是分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。

尤其是“零分?jǐn)?shù)”，在數(shù)學(xué)理論中，是把它作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念出現(xiàn)的，即：分子是零的分?jǐn)?shù)叫做零分?jǐn)?shù)。

“零分?jǐn)?shù)”的實(shí)際意義是整數(shù)“0”的分?jǐn)?shù)表現(xiàn)形式。它的本質(zhì)是整數(shù)。尤其是“0”在數(shù)學(xué)運(yùn)算中有著它特殊的性質(zhì)，在很多數(shù)學(xué)概念中對“0”都要做明確的限定。

在分?jǐn)?shù)與倒數(shù)的矛盾點(diǎn)上應(yīng)該對“零分?jǐn)?shù)”做同樣的限定，在這里邊應(yīng)該有兩處有明確的限定：

（1）根據(jù)倒數(shù)的定義可知，求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)（0除外——因?yàn)?不能做除數(shù)，所以0沒有倒數(shù)），就是1除以這個(gè)數(shù)所得的數(shù)。

（2）為了簡便，求一個(gè)分?jǐn)?shù)（零分?jǐn)?shù)除外）的倒數(shù)，調(diào)換一下這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的位置就可以。

以上其實(shí)是對“■是否是真分?jǐn)?shù)”的一個(gè)很好的詮釋。

如果教材能對“零分?jǐn)?shù)”也有這樣明確的定義，那么學(xué)生的課堂生成的疑惑就不用等著教師課后查閱大量資料再去處理。

【疑惑二】帶分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)嗎？

首先，教材給出帶分?jǐn)?shù)的定義是非常簡單的，“像1■，1■……這樣的分?jǐn)?shù)叫帶分?jǐn)?shù)?！苯酉氯サ膬?nèi)容就是把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或者帶分?jǐn)?shù)，并沒有強(qiáng)調(diào)帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的關(guān)系。學(xué)生在對分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類時(shí)，如果只將分?jǐn)?shù)分成真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，很多學(xué)生就會(huì)質(zhì)疑是否將帶分?jǐn)?shù)歸為假分?jǐn)?shù)這一類。因?yàn)楹苌賹W(xué)生會(huì)從帶分?jǐn)?shù)其實(shí)是假分?jǐn)?shù)的另外一種書寫形式出發(fā)考慮。因此他們將分?jǐn)?shù)歸為真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)這三類，其實(shí)是忽略了帶分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)之間的密切關(guān)系。所以教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該補(bǔ)充帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的關(guān)系：它們猶如長方體和正方體之間的聯(lián)系，正方體是特殊的長方體，帶分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)的另外一種形式，它隸屬于假分?jǐn)?shù)，也就是說帶分?jǐn)?shù)是特殊的假分?jǐn)?shù)。但如果說帶分?jǐn)?shù)是特殊的假分?jǐn)?shù)，那么整數(shù)也可以化成假分?jǐn)?shù)，是否可以說整數(shù)也是特殊的假分?jǐn)?shù)，而對于這些問題，教材似乎又回避了。在面對一些求知欲強(qiáng)烈的學(xué)生，個(gè)人覺得教材應(yīng)該給個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，以便滿足學(xué)生好學(xué)的心理，更加讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)是門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科的觀念，而不是有漏洞的，不夠完整的。

【疑惑三】“20以內(nèi)2的倍數(shù)”包括20嗎？

20以內(nèi)，到底是否包括20？碰到過許多類似的問題，例如《統(tǒng)計(jì)》里問“喜歡兩類書本以上的人占總?cè)藬?shù)的幾分之幾？”每當(dāng)遇到這些問題，學(xué)生總會(huì)質(zhì)疑到底臨界點(diǎn)算不算。也碰到過一些題表述比較嚴(yán)謹(jǐn)，兩類以上會(huì)加上括號(hào)說明是含兩類的，這樣學(xué)生就能比較明確題意。但是碰到那些不加括號(hào)說明的題，學(xué)生很自然地就會(huì)思考：“20以內(nèi)是否包括20？”學(xué)生會(huì)思考：“沒有加括號(hào)是否說明20以內(nèi)不包括20？”而翻閱教材，無論是新授課還是練習(xí)中，都沒有特別說明，于是學(xué)生的腦海里一片混亂。

查閱了一些資料，有認(rèn)為：教材里，10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)包括10，萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)也包括10000，現(xiàn)行教材1～10各數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)也包含10。這就明確了，其實(shí)我們在說10以內(nèi)的數(shù)時(shí)，已經(jīng)約定俗成包含了10。而大學(xué)《數(shù)論》中也有這方面的介紹，10以內(nèi)包括10，屬于概念的內(nèi)涵和外延的范疇。另外，在其他領(lǐng)域，刑法上稱以上、以下、以內(nèi)也都是包括本數(shù)，但需要補(bǔ)充的是所稱的“不滿”、“以外”，又不包括本數(shù)。

至此，不得不感嘆中華文字的博大精深，但是在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)面前，我覺得教材應(yīng)該在第一次涉及“以內(nèi)”這一內(nèi)容時(shí)有統(tǒng)一的規(guī)定，在學(xué)生第一次碰到時(shí)就印象深刻，也就不會(huì)在后續(xù)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)混亂。

數(shù)學(xué)問題是人們在生活實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生的。不可否認(rèn)人教版新教材的確在很多地方都值得贊頌，但是它確實(shí)也存在著一些避重就輕的問題。數(shù)學(xué)知識(shí)有時(shí)確實(shí)不需要教材說得很詳細(xì)，但是對于那些會(huì)引起學(xué)生疑惑的問題，教材有必要通過各種呈現(xiàn)方式給出一個(gè)正確的定義，這樣才能有利于教師把握方向，更能體現(xiàn)教材的地位與作用。

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