一類帶Holling-IV型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型的全局分歧

薛 盼，賈云鋒

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710062)

0 引言

近年來，在生態(tài)學(xué)研究中廣泛采用反應(yīng)擴(kuò)散方程，通過建立生物數(shù)學(xué)模型分析和解決一些實(shí)際問題，這已成為生態(tài)學(xué)研究領(lǐng)域中熱門的課題.本文將考慮如下帶Holling-IV反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌系統(tǒng):

其中Δ為L(zhǎng)apalce算子，Ω為Rn中具有光滑邊界的有界開區(qū)域，u，v分別表示食餌和捕食者的種群密度.d1≥0，d2≥0 為擴(kuò)散系數(shù)，r，k，a，b，c均為正常數(shù)，r，k分別表示在沒有捕食者的情況下食餌的固有生長(zhǎng)率和生存能力，b表示在缺少食餌的情況下捕食者的最大死亡率.文獻(xiàn)［1］提出功能反應(yīng)函數(shù)p(u)=mu/(a+bu+u2)，被稱作Monod-Haldane函數(shù)，在低濃度時(shí)，它與Holling-II類型功能反應(yīng)函數(shù)類似，但在高濃度時(shí)，它表現(xiàn)出一種“抑制”效果.文獻(xiàn)［2］也使用上述的反應(yīng)函數(shù)，并且把它稱作Holling-IV反應(yīng)函數(shù);隨后 W.Sokol等［3］建議取p(u)=mu/(a+u2)，得到簡(jiǎn)化的Monod-Haldane或者Holling-IV反應(yīng)函數(shù).他們發(fā)現(xiàn)該函數(shù)不僅更容易研究，而且更符合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

文獻(xiàn)［4］利用度理論和分歧理論討論了系統(tǒng)(1)正解的存在性及在常數(shù)平衡解處的分歧，文獻(xiàn)［5］研究了系統(tǒng)(1)具有強(qiáng)耦合項(xiàng)時(shí)非常數(shù)正解的存在性和穩(wěn)定性，文獻(xiàn)［6］在齊次Dirichlet邊界條件下，利用譜分析法和分歧理論研究了分歧解的存在性及穩(wěn)定性，并且利用度理論討論了正平衡態(tài)解的存在性和不存在性.本文利用與文獻(xiàn)［4］不同的方法討論系統(tǒng)(1)平衡解的性質(zhì)，即考慮橢圓:

顯然，系統(tǒng)(2)有平凡解(0，0)，半平凡解(k，0).當(dāng)滿足下列條件時(shí)，系統(tǒng)(2)存在正常數(shù)平衡解:

(i)若c2=4ab2且k＞c/(2b)，則系統(tǒng)(2)存在唯一的常數(shù)平衡解(u0，v0)，其中u0=c/(2b)，v0=r(1-u0/k)(a+u20);

(ii)若c2＞4ab2，則當(dāng)u1＜ k≤u2時(shí)，系統(tǒng)(2)有唯一常數(shù)平衡解(u1，v1)，當(dāng)k＞u2時(shí)，系統(tǒng)(2)存在 2 個(gè)正常數(shù)平衡解(u1，v1)，(u2，v2)，其中

1 主要結(jié)論

首先利用譜分析方法得到常數(shù)平衡解(u1，v1)的穩(wěn)定性結(jié)論;其次，在1維的情況下，利用分歧理論得出在(，(u1，v1))點(diǎn)可以產(chǎn)生局部分歧，最后，證明該局部分歧可以延拓為全局分歧，其連通分支Γj伸向無窮.

利用極大值原理和Harnack不等式易證定理1成立.

定理1［4］設(shè)d是給定的正常數(shù)，若(u，v)是系統(tǒng)(2)的非負(fù)解，則存在正常數(shù) C=C(a，b，c，k，r，d)，使得當(dāng)d2＞d時(shí)

下面在1維條件下考慮系統(tǒng)(2)非常數(shù)正解(u1，v1)的穩(wěn)定性.

設(shè)Ω=(0，l).-Δ在齊次Neumann邊界條件下的特征值λi=(πi/l)2(i≥0)，且所有的特征值均為單重特征值.相應(yīng)的特征函數(shù)記作，則所有的特征函數(shù)構(gòu)成L2(0，l)空間中的1組正規(guī)正交基.令

通過計(jì)算可得

由于r(1-u1/k)-v1(a+u21)=0，且 -b+cu1(a+u21)=0，因此，

定理2 當(dāng)k∈(u1，k*)，系統(tǒng)(2)的常數(shù)平衡解(u1，v1)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的;當(dāng)k∈(k*，u2)時(shí)，常數(shù)平衡解(u1，v1)是不穩(wěn)定的，其中

則

易知，若μ是L的特征值，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)某些i≥0，系數(shù)矩陣 Bi退化，即

其中 Pi=(d1+d2)λi- α，Qi=-d2λi(α -d1λi)-αγ.當(dāng)k∈(u1，k*)時(shí)，有α＜ 0，由β＜ 0，γ ＞ 0可得 Pi＞ 0，Qi＞ 0，因而有Re μ＜ 0，所以，常數(shù)平衡解(u1，v1)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.當(dāng)k∈(k*，u2］時(shí)，α ＞0，P0=- α＜ 0，則存在 Reμ ＞ 0，因此，常數(shù)平衡解(u1，v1)是不穩(wěn)定的.

注1 若要u1＜k*＜u2，則需滿足

令 Y=L2(0，l)× L2(0，l)，E={(u，v):u，v∈C2(0，l)，u，v=0，x=0，l}，則在C2范數(shù)意義下E是Banach空間，定義F:(0，∞)×E→Y為

F(d2，U)=(d1u″+f(u，v)，d2v″+g(u，v))T，其中U=(u，v)，?d2都有 F(d2，(u1，v1))=0.

下面，在條件(3)成立的前提下，利用局部分歧理論［7-10］研究系統(tǒng)(2)非常數(shù)平衡解的存在性.將d2作為分歧參數(shù)，其他參數(shù)固定.

定理3 假設(shè)條件(3)成立，且k∈(k*，u2］并設(shè)j是滿足d1λj＜α的正整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)k，當(dāng)j≠ k時(shí)，則是分歧點(diǎn)，?δ＞0和1個(gè)C1函數(shù)類(d2，(φ(s)，ψ(s))):(- δ，δ)→R × Z，使得，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(d2，(u(s)，v(s)))=0成立，其中u(s)=u1+s(φj+ φ(s))，v(s)=v1+s(bjφj+ψ(s))，bj=(d1λj- α)/β ＞ 0.

證記 F關(guān)于U的 Fréchet導(dǎo)數(shù)為 L0=DUF(，(u1，v1))，L0關(guān)于d2的Fréchet導(dǎo)數(shù)為L(zhǎng)1=Dd2DUF(，(u1，v1))，則直接計(jì)算可得

1)記 L0的核空間為 N(L0)，值域空間為R(L0).類似于定理2 的證明，將L0U=0展開有

經(jīng)過計(jì)算可知，當(dāng)i≠j時(shí)，detBi≠0，所以只有detBj=0，故(d1λj- α)/β ＞ 0.

2)記L0的伴隨算子為，則

因?yàn)镽(L0)=N()⊥，所以

由1)～3)及局部分歧定理知定理3得證.

G1=(-d1Δ + α)-1，G2=(-d2Δ +M)-1，其中M為待定正常數(shù)，則系統(tǒng)(4)變?yōu)?/p>

index(I-K(d2)-H，(d2，(0，0)))=

deg(I-K(d2)，B，0)=(-1)σ，

其中B是以(0，0)為球心半徑足夠小的球，σ是算子K(d2)所有大于1的特征值的代數(shù)重?cái)?shù)之和.假設(shè)μ是K(d2)的1個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為，則有

因而，K(d2)的所有特征值滿足方程:

當(dāng)d2=時(shí)，如果μ=1是(5)式的1個(gè)根，則一定有=，由已知條件可知j=i.當(dāng)i≠j時(shí)，μ≠1，即K(d2)的特征值大于1或者小于1，則通過較小的擾動(dòng)后仍然有相同的性質(zhì).因此，對(duì)于所有附近的d2，K(d2)的特征值大于1的個(gè)數(shù)與K()相同，且代數(shù)重?cái)?shù)一致.在(5)式中，令 i=j，μ1()，μ2()是相應(yīng)的2個(gè)根.取M= αd2λj/(αd1λj)，把M代入(5)式可得

由全局分歧理論知，在d2-(u，v)平面內(nèi)存在1個(gè)連通分支Γj，使得下面兩者之一成立:

(i)Γj連接點(diǎn)(，(u1，v1))和(，(u1，v1))，其中k≠j;

(ii)Γj在R×E中伸向無窮.

下證(ii)成立.假設(shè)Γj是(i)的情形.設(shè)Γj連接到點(diǎn)(，(u1，v1)).將系統(tǒng)(2)限制在(0，l/k)上，則系統(tǒng)(2)變?yōu)?/p>

則在區(qū)間(0，l/k)內(nèi)，-Δ在Neumann邊界條件下的特征值為=(kπi/l)2(i≥0)，均為單重特征值，對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為cos(πix/(l/k))(i＞ 0).

［1］Andrews J F.Amathematicalmodel for the continuous culture ofmocrooganisms utilizing inhabitory substrates［J］.Biotechnol Bioeng，1968，10(4):707-723.

［2］Collings J B.The effects of the functional response on the bifurcation behavior of amite predator-prey interactionmodel［J］.J Math Biol，1997，36(1):149-168.

［3］ Sokol W，Howell JA.Kinetics of phenol oxidation by washed cells［J］.Biotechnol Bioeng，1981，23(9):2039-2049.

［4］Pang P Y H，Wang Mingxin.Non-constant positive steady states of a predator-prey system with non-monotonic functional response and diffusion［J］.Proc London Math Soc，2004，88(3):135-157.

［5］Chen Xinfu，Qi Yuanwei，Wang Mingxin.A strongly coupled predator-prey system with non-monotonic functional response［J］.NonlinearAnal，2007，67(6):1966-1979.

［6］Jia Yunfeng，Wu Jianhua，Nie Hua.The coexistence states of a predator-preymodel with nonmonotonic functional response and diffusion［J］.ActaAppl Math，2009，108(2):413-428.

［7］ Smoller J.Shockwaves and reaction-diffusion equations［M］.New York:Springer-Verlag，1983.

［8］葉其孝，李正元.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論［M］.北京:科學(xué)技術(shù)出版社，1994.

［9］Jang J，Ni Weiming，Tang Moxun.Global bifurcation and structure of Turing patterns in the 1-D Lengyel-Epsteinmodel［J］.J Dynam Differential Equations，2004，16(2):297-320.

［10］Ni Weiming，Tang Moxun.Turing patterns in the Lengyel-Epstein system for the CIMA reaction ［J］.TransAmer Math Soc，2005，357(10):3953-3969.