基于三維CST建模方法的兩層氣動外形優(yōu)化策略①

粟 華，龔春林，谷良賢

(西北工業(yè)大學航天飛行動力學技術(shù)重點實驗室，西安 710072)

0 引言

幾何外形參數(shù)化方法在飛行器氣動外形設計優(yōu)化中扮演著十分重要的角色，參數(shù)化外形不但需要提供足夠的復雜度來保證對設計空間的探索能力，同時還應盡可能地減少設計參數(shù)，以快速搜索整個飛行器設計空間［1－2］。因此，氣動外形參數(shù)化方法的選擇需要同時考慮外形描述復雜度、設計空間規(guī)模和計算時間的影響。目前，飛行器的氣動外形優(yōu)化主要基于參數(shù)化CAD 幾何模型［3－5］，龐大的建模平臺、緩慢的運行速度和設計后拓撲無法改變的缺陷，使其在早期的概念設計階段實用性不高;解析參數(shù)化建模方法通過解析函數(shù)形式描述飛行器氣動外形，具有快速穩(wěn)定、調(diào)節(jié)能力強的特點，非常適合于概念設計階段的氣動分析和優(yōu)化，近年來得到了大量的研究和應用［6－9］。

類別/形狀函數(shù)變換(Class Shape Transformation，CST)參數(shù)化方法是波音公司的 Kulfan［10－11］提出的一種基于類別/形狀函數(shù)描述形式的解析氣動外形建模方法，文獻［12－14］對CST和其他參數(shù)化方法進行了比較。研究表明，CST方法具有設計參數(shù)少、適用性強、建模精度高等特點;Marco Ceze［15］對CST方法的設計參數(shù)特性和優(yōu)化性能進行了研究;Michiel［8，16］提出了改進的CSRT方法，在CST基礎(chǔ)上增加B樣條函數(shù)來實現(xiàn)體積約束能力，并將其推廣到三維機翼優(yōu)化;Arash Mousavi［13］、關(guān)曉輝［17］、徐亞峰［18］等也分別使用CST方法實現(xiàn)了對翼型和機翼的設計優(yōu)化;張珍銘［19］通過對CST方法引入機身截面寬度和高度沿縱軸方向的分布規(guī)律，實現(xiàn)了X-33高超聲速飛行器三維氣動外形的建模和優(yōu)化，但其分布規(guī)律過于復雜，不具備通用性，難以描述復雜的飛行器外形。

受到飛行器幾何外形復雜度的限制，當前基于CST等解析參數(shù)化方法的氣動外形優(yōu)化研究仍以二維翼型或三維機翼為主，無法全面的優(yōu)化整個飛行器的氣動性能。本文對二維CST參數(shù)化方法進行擴展，采用B樣條函數(shù)代替Bernstein多項式進行展開，并引入側(cè)向輪廓描述函數(shù)，基于部件組合的思想，通過多組特征體組合建立連續(xù)光滑的飛行器三維幾何外形，形成了一種新穎的通用復雜三維飛行器幾何外形建模方法;同時，結(jié)合CST和B樣條函數(shù)的參數(shù)化特點，引入兩層設計空間分層優(yōu)化思想，將飛行器設計參數(shù)劃分為全局尺寸參數(shù)和局部調(diào)整參數(shù)兩類，進行分層優(yōu)化設計，以降低優(yōu)化難度，并提高優(yōu)化效率;最后，以X-33高超聲速飛行器為例，對其進行應用。

1 三維CST參數(shù)化外形描述方法

CST參數(shù)化方法具有設計參數(shù)少、外形描述能力強的優(yōu)勢，但Kulfan提出的CST參數(shù)化方法只能描述二維或簡單由二維拉伸的三維對象，這限制了其實用性和拓展性。本文在其基礎(chǔ)上，將二維解析描述形式向三維拓展，結(jié)合部件組合的思想，給出一套三維飛行器幾何外形描述方法，既能夠提供足夠的三維外形描述復雜度，同時還具有設計參數(shù)可控的優(yōu)勢。

1．1 外形截面定義

式中 ψ為歸一化的單位側(cè)向長度，ψ=z/Lw;Lw為截面?zhèn)认蚩傞L;ζ(ψ)為對應 ψ位置處的法向高度;ΔζN(ψ)為法向偏心距，表示截面ψ位置處的法向偏離距離;(ψ)和S(ψ)分別為類別函數(shù)和形狀函數(shù)，N1、N2為類別函數(shù)的控制參數(shù)，對于對稱截面有N1=N2。

假定N1=N2，不同的控制參數(shù)下得到的截面幾何外形如圖1所示。

圖1 不同控制參數(shù)下的截面形狀Fig．1 Section shapes of different control parameters

1．2 B樣條形狀函數(shù)

B樣條函數(shù)通過大量的低階貝塞爾曲線(Bezier)來近似高階曲線形狀，k次B樣條函數(shù)中權(quán)重因子的改變只會影響周圍k+1個控制節(jié)點，比Bernstein多項式具有更好的局部控制能力［16］。因此，采用B樣條來表示形狀函數(shù)S(ψ):

其中，bi，i=0，1，…，n 為權(quán)重因子;k 次(k+1 階)的 B樣條基函數(shù)是定義在節(jié)點向量T={t0，t1，…，tn+k+1}，ti≤ti+1上的分段多項式(ψ)為定義在分割上的B樣條基函數(shù)，其值可用De Boor-Cox遞推公式確定:

根據(jù)權(quán)重因子 bi(i=0，1，…，n)和節(jié)點向量T={t0，t1，…，tn+k+1}，ti≤ti+1，利用式(3)即可求出形狀函數(shù) S(ψ)。

1．3 三維CST描述方法

基于B樣條形狀函數(shù)得到的CST截面如下:

三維外形對象可看作一系列平行截面沿著軸線的組合。通過在不同的軸向位置處使用B樣條形狀函數(shù)描述不同的截面形狀，確定出一個解析形狀函數(shù)面，從而得到整個外形的解析描述形式。采用CST方法將式(5)中的bi沿軸線展開，定義:

其中，η=x/L，為歸一化的軸線坐標;L為幾何外形總長。

代入式(5)并展開:

式中 bi，j為飛行器上(下)表面的離散控制權(quán)重因子;n為截面?zhèn)认蚩刂泣c展開階數(shù);m為軸向控制點展開階數(shù)，此時的表面總控制點數(shù)為(n+1)×(m+1)。

實際上，式(7)中整個求和項即為二維B樣條曲面的表達形式，因此產(chǎn)生的控制面具有類似B樣條曲面的控制能力;當n=0，m=0時，可得到b=1，類似于二維情況，對應的形狀函數(shù)S(ψ，η)=1，此時整個表面形狀都由類別函數(shù)的控制因子N1、N2、M1、M2來控制;ΔζM，N(ψ，η)為對應(ψ，η)位置處的法向偏心距離修正項。

上述幾何外形描述形式類似于在ψ×η的正交二維網(wǎng)格點中設計與其垂直的第三維坐標，從而表現(xiàn)出三維幾何外形特征。ψ和η為單位化坐標，取值范圍在［0，1］×［0，1］之間，無法描述側(cè)向 ψ 的范圍 Z 隨 η的變化。因此，對Z引入同樣的CST控制方式:

將上述定義轉(zhuǎn)換到全局坐標系中，即可得到歸一化的三維CST外形曲面的表達式:

式中 ψ =［0，1］;η =［0，1］。

整個三維CST曲面外形的設計參數(shù)包括:

軸向長度和側(cè)向長度:L，Lw;

截面高度:LH1，LH2;

截面形狀控制因子:N1，N2;

法向形狀控制因子:M1，M2;

側(cè)向形狀控制因子:T1，T2;

表面權(quán)重因子:bi，j;

側(cè)向權(quán)重因子:bt。

L、Lw和 LH1、LH2為外形尺寸參數(shù)。N1和 N2、M1和M2、T1和 T2為類別函數(shù)控制參數(shù)，當 bi，j和 bt取 1 時，即為最少控制參數(shù)情況;當bi，j和bt為參數(shù)矩陣時，相當于在外形表面上分布了對應矩陣維數(shù)的控制點。通過調(diào)節(jié)bi，j和bt的維數(shù)，即可實現(xiàn)控制參數(shù)的動態(tài)增減。

2 基于部件組合的通用飛行器建模

通過上述三維CST參數(shù)化方法，可得到光滑、連續(xù)的獨立幾何控制體，但單個幾何控制體通常無法直接描述一個復雜三維飛行器外形。因此，引入部件組合的設計思想，將復雜飛行器外形拆分為一系列由三維CST參數(shù)化幾何控制體組成的幾何部件集合來描述。常用的幾何構(gòu)型部件包括頭部、身部、機翼、尾翼，發(fā)動機等，通過上述幾何控制體的相互組合，即可快速構(gòu)建各類飛行器外形。

利用三維CST參數(shù)化方法，對基本幾何外形構(gòu)型進行封裝，常用的構(gòu)型組見圖2～圖4。將上述構(gòu)型組相互組合，即可得到完整的飛行器幾何外形布局。圖5為使用三維CST參數(shù)化方法建立的可重復使用運載器X-34和高超聲速民航機HSCT的氣動外形?？煽闯?，三維CST參數(shù)化方法具有很強的幾何外形表達能力，結(jié)合部件組合思想，可快速、穩(wěn)定地建立各類飛行器的幾何氣動外形。

圖2 頭身組合體基本構(gòu)型Fig．2 Head-body basal configurations

圖3 機翼基本構(gòu)型Fig．3 Wing basal configurations

圖4 尾翼基本構(gòu)型Fig．4 Tail basal configurations

圖5 三維CST參數(shù)化飛行器造型Fig．5 Three-dimensional CST parametric aircraft

3 兩層設計空間氣動優(yōu)化策略

參數(shù)化幾何外形的設計參數(shù)維數(shù)對氣動外形優(yōu)化設計空間和搜索效率有巨大的影響。過多的設計參數(shù)雖然增大了設計空間，同時也需更多的尋優(yōu)時間，極端情況下甚至會造成優(yōu)化算法收斂困難。因此，需對設計參數(shù)進行合理的篩選和分配。

通常情況下，可將氣動外形設計參數(shù)劃分為全局尺寸參數(shù)和局部調(diào)整參數(shù)。全局尺寸參數(shù)用于描述飛行器外形的輪廓尺寸，如機身長度、機翼展長等，主要用于設計初期大范圍的氣動外形尋優(yōu);局部調(diào)整參數(shù)用于對局部外形細節(jié)進行優(yōu)化，如機翼截面形狀等。三維CST參數(shù)化方法的設計參數(shù)包括外形尺寸、形狀控制因子和權(quán)重因子3類。其中，外形尺寸和形狀控制因子主要用于調(diào)整飛行器的基本輪廓形狀和外形尺寸，與氣動設計參數(shù)中的全局尺寸參數(shù)相對應;權(quán)重因子主要用于對外形進行全局調(diào)整或局部修正，對應于局部調(diào)整參數(shù)。

根據(jù)三維CST參數(shù)化方法的建模特點，將氣動外形優(yōu)化問題劃分為兩層設計空間優(yōu)化問題。頂層設計空間包括外形尺寸和形狀控制因子，用于實現(xiàn)對設計空間的大范圍搜索;底層為權(quán)重因子 bi，j、bt，根據(jù)其維數(shù)大小，提供不同程度的局部控制和調(diào)整能力。兩層設計空間優(yōu)化能夠在較好地保持原飛行器外形復雜度的同時，降低優(yōu)化難度，并減少優(yōu)化時間，從而提高氣動優(yōu)化效率。

兩層設計空間按頂層到底層的順序進行分層優(yōu)化設計，基于三維CST建模方法的兩層氣動外形優(yōu)化執(zhí)行流程如圖6所示。

圖6 兩層設計空間氣動外形優(yōu)化流程Fig．6 Aerodynamic shape optimization flowchart of two-level design space

4 應用實例

以X-33高超聲速飛行器為設計對象，分別采用兩層設計空間優(yōu)化方法和常規(guī)的單層優(yōu)化方法進行氣動外形優(yōu)化。X-33高超聲速飛行器的氣動外形基本尺寸如圖7所示。建模時，將其簡化為頭身組合體、水平翼和雙垂尾三部分。采用三維CST建模方法建立的X-33高超聲速飛行器簡化氣動外形見圖9(a)，其主要幾何外形控制參數(shù)見表1。

表1 氣動外形控制參數(shù)Table 1 Aerodynamic shape control parameters

圖7 X-33高超聲速飛行器氣動外形布局Fig．7 X-33 hypersonic aircraft aerodynamic shape configuration

采用基于牛頓流理論的面元估算方法作為氣動分析求解器。其中，迎風面計算使用修正牛頓理論，背風面計算使用Prandtl-Meyer法，并引入基于參考溫度法的粘性修正來考慮摩擦阻力的影響，面元估算方法的具體實現(xiàn)詳見文獻［20］。氣動分析所需的面元網(wǎng)格通過直接離散CST參數(shù)化模型得到。

氣動計算狀態(tài)選擇為Ma=6，攻角20°，為標準狀態(tài)下X-33高超聲速飛行器的最大升阻比點。此時，X-33高超聲速飛行器的升阻比約為1．25，面元估算方法得到的升阻比為1．3。不同攻角下的升阻比和文獻［21］中的試驗數(shù)據(jù)對比如圖8所示。雖然外形建模誤差和氣動估算精度帶來了一定的計算精度影響，但升阻比的整體趨勢和試驗數(shù)據(jù)吻合較好。

圖8 不同攻角下試驗和估算升阻比對比Fig．8 Lift-drag ratio comparisons between experiment and estimation of different attack angles

以最大升阻比為優(yōu)化目標，同時考慮容積利用率約束限制，X-33高超聲速飛行器氣動外形優(yōu)化的數(shù)學模型如下:

式中 Cl/Cd為升阻比;X為設計變量，對應于表1中的頂層設計參數(shù)和底層設計參數(shù);T為容積利用率;V為飛行器容積;S為飛行器表面濕面積。

選擇序列二次規(guī)劃算法SNOPT作為優(yōu)化求解器，分別采用兩層設計空間優(yōu)化和單層優(yōu)化2種方法進行X-33高超聲速飛行器氣動外形設計。其中，底層設計參數(shù)Bu和Bl都定義為［1×4］的參數(shù)矩陣，即在飛行器上下表面沿X軸方向各分布4個權(quán)重控制因子，其上下邊界都設置為［0．6，1．5］。為保證氣動外形平滑過渡，計算時對上述權(quán)重因子進行線性插值處理。

設計變量的最優(yōu)值詳見表2。兩層優(yōu)化中頂層設計參數(shù)優(yōu)化后的最大升阻比為1．409，此時的氣動外形見圖9(b)，底層優(yōu)化后的X-33高超聲速飛行器的最優(yōu)氣動外形見圖9(c)，最大升阻比達到1．429，比基準狀態(tài)提高了9．9%，兩層氣動外形優(yōu)化過程共花費1．85 h的優(yōu)化時間;單層優(yōu)化方法得到的升阻比為1．431，與兩層優(yōu)化的結(jié)果差距很小，但耗時長達10 h，單層優(yōu)化的X-33高超聲速飛行器最優(yōu)氣動外形見圖9(d)。兩層設計空間氣動優(yōu)化根據(jù)氣動外形控制參數(shù)的特點，將設計空間劃分為頂層和底層進行串聯(lián)優(yōu)化設計，合理地縮減了設計空間。相比于常規(guī)的單層優(yōu)化方法，優(yōu)化結(jié)果差異不大，但可顯著地提高氣動外形優(yōu)化效率。

圖9 初始和優(yōu)化后的X-33高超聲速飛行器氣動外形Fig．9 X-33 hypersonic aircraft aerodynamic shapes on before and after optimization

表2 兩層優(yōu)化與單層優(yōu)化的優(yōu)化結(jié)果比較Table 2 Result comparisons between two-level optimization and original optimization

5 結(jié)論

(1)提出了一種基于CST技術(shù)的通用三維飛行器氣動外形建模方法，結(jié)合部件組合的思想，能以較少的設計參數(shù)，快速、穩(wěn)定地建立各類飛行器的氣動外形，具有很強的幾何外形表達能力。

(2)通過增減B樣條的權(quán)重系數(shù)維數(shù)，可快速、動態(tài)地調(diào)整飛行器氣動外形的設計復雜度，從而適應于不同的設計階段和設計目標。

(3)結(jié)合CST和B樣條的參數(shù)化特點，建立了基于兩層設計空間的分層氣動優(yōu)化策略。兩層氣動外形優(yōu)化策略采用頂層優(yōu)化-底層優(yōu)化的串行流程，來實現(xiàn)優(yōu)化過程;通過犧牲少量的設計空間，來達到快速優(yōu)化求解目的。

(4)優(yōu)化算例結(jié)果表明，兩層氣動優(yōu)化策略的結(jié)果與單層優(yōu)化的結(jié)果非常接近，但花費的時間遠少于單層優(yōu)化方法。因此，實際使用中，可通過兩層設計空間氣動外形優(yōu)化，來達到節(jié)省優(yōu)化時間、降低求解難度的目的。

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