擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)可靠性中的誤差分析①

胡江華，孟松鶴，陳德江，周 瑋

(1．中國(guó)空氣動(dòng)力學(xué)研究與發(fā)展中心超高空氣動(dòng)力研究所，綿陽(yáng) 621000;2．哈爾濱工業(yè)大學(xué)復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所，哈爾濱 150001)

0 引言

在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)殼體、噴管和藥柱等復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠性分析中，工程上往往只考慮參數(shù)離散性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響［1－5］，而忽略實(shí)際存在的諸多誤差帶來(lái)的不確定性影響。忽略誤差帶來(lái)的不確定性影響是不科學(xué)的，不僅給噴管結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)帶來(lái)風(fēng)險(xiǎn)，而且給經(jīng)濟(jì)和生命安全造成重大損失。國(guó)外近幾年已經(jīng)開展了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中誤差對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響［6－9］，并取得了一系列的研究成果，國(guó)內(nèi)還未見相關(guān)報(bào)道。由于誤差的不可預(yù)知性和不可控性，對(duì)誤差的主要來(lái)源和分布規(guī)律研究較困難，對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響就更需要深入研究。本文正是基于此，初步探討分析噴管擴(kuò)張段中主要誤差來(lái)源、分布規(guī)律及對(duì)擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)可靠性產(chǎn)生的影響。

1 誤差的主要來(lái)源

一般來(lái)說，擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)可靠性分析中不確定性來(lái)源可分為2類:一類是參數(shù)的離散性，它具有很強(qiáng)的隨機(jī)性和偶然性;另一類是誤差，誤差主要是由于認(rèn)知上的不足造成的，通過改進(jìn)計(jì)算模型、計(jì)算方法以及精確的測(cè)試，可減少誤差，但不能消除誤差。工程上應(yīng)用的參數(shù)離散性，大多是在大量的測(cè)試和分析基礎(chǔ)上獲得的。因此，該離散性不僅包括參數(shù)本身真實(shí)存在的離散性，而且還包括測(cè)試和分析中的誤差，即測(cè)試的參數(shù)離散性與真實(shí)的參數(shù)離散性存在一定誤差。

在擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)的可靠性分析中，由于擴(kuò)張段服役環(huán)境復(fù)雜、材料選擇、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和生產(chǎn)工藝局限性，誤差處處存在，但主要的誤差來(lái)源歸納起來(lái)可分為7個(gè)方面:

(1)材料性能參數(shù)誤差

在先進(jìn)的擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，由于大量復(fù)合材料的應(yīng)用和復(fù)雜的結(jié)構(gòu)外形，擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)可靠性受復(fù)合材料性能影響非常明顯，但并不是材料所有的性能參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性都具有顯著性影響，起決定作用的往往是少數(shù)幾個(gè)材料性能參數(shù)，分析所有材料性能參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響，既不科學(xué)也不經(jīng)濟(jì)。

通過有限元數(shù)值計(jì)算分析，可獲得擴(kuò)張段在工作狀態(tài)下的某一熱結(jié)構(gòu)響應(yīng)(如應(yīng)力、應(yīng)變等)與材料性能之間的關(guān)系，并可獲得對(duì)該響應(yīng)起顯著性影響的性能參數(shù)［10］。在不考慮誤差對(duì)可靠性影響的條件下，分析起顯著性影響的材料性能參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響，而忽略不起顯著性影響的材料性能參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響，是可滿足工程要求的。

文中從材料性能影響的顯著性程度上，可將材料性能參數(shù)誤差分為2個(gè)部分:一是起顯著性影響的材料性能參數(shù)測(cè)試誤差;另一個(gè)是不起顯著性影響的材料性能參數(shù)離散性和測(cè)試誤差。不起顯著性影響的材料性能參數(shù)由于對(duì)擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)失效影響很小，故在進(jìn)行誤差分析時(shí)，把不起顯著性影響的材料性能參數(shù)的不確定性作為誤差處理。主要材料性能的測(cè)試誤差包括兩點(diǎn):一是每次測(cè)試時(shí)，讀取值與真實(shí)值的誤差，這部分誤差主要與測(cè)試儀器的精度和測(cè)試者的能力水平有關(guān)，隨著測(cè)試儀器精度和測(cè)試者水平的提高，該誤差可降低，但不能消除;二是在工程中，獲得每一個(gè)材料的性能參數(shù)，都是通過測(cè)量若干個(gè)試件，獲得每一個(gè)試件的性能值，然后進(jìn)行平均，以平均值作為材料性能的真實(shí)值，但由于測(cè)試數(shù)量有限，平均值作為材料性能的真實(shí)值也存在一定誤差，該誤差可通過增加測(cè)試試件的數(shù)量來(lái)降低。文中由于誤差的不可預(yù)知性，只考慮誤差對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，設(shè)材料性能參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)帶來(lái)的誤差以em表示。

(2)結(jié)構(gòu)尺寸誤差

擴(kuò)張段的結(jié)構(gòu)尺寸包括擴(kuò)張段的沿母線方向厚度、母線長(zhǎng)度和環(huán)向直徑等，由有限元分析可知，這些參數(shù)的微量變化對(duì)擴(kuò)張段的應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)產(chǎn)生的影響非常小，可作為誤差處理。設(shè)結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)帶來(lái)的誤差以es表示。

(3)載荷誤差

在擴(kuò)張段的結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)中，需對(duì)擴(kuò)張段進(jìn)行大量的有限元數(shù)值計(jì)算，在有限元建模中，擴(kuò)張段上的載荷主要有擴(kuò)張段內(nèi)壁面上的熱流、壓強(qiáng)和壁面剪切力，而這些載荷的大小主要與固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室內(nèi)的總溫、總壓、擴(kuò)張段內(nèi)壁面的熱交換系數(shù)和噴管內(nèi)流場(chǎng)的計(jì)算精度有關(guān)。在很多情況下，載荷誤差往往是影響結(jié)構(gòu)可靠性的主要因素。設(shè)載荷對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)帶來(lái)的誤差以el表示。

(4)邊界條件誤差

在擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)有限元建模中，邊界條件由于缺乏足夠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如擴(kuò)張段各部件之間的接觸、背壁隔熱材料的高溫?zé)岱纸夂屯饨绛h(huán)境條件等，不能夠建立精確的邊界條件，往往做一些簡(jiǎn)化處理，簡(jiǎn)化邊界條件會(huì)帶來(lái)有限元計(jì)算結(jié)果不夠精確，具有一定的誤差。設(shè)邊界條件對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)帶來(lái)的誤差以em表示。

(5)有限元計(jì)算誤差

在擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算中，由于網(wǎng)格密度、單元類型和網(wǎng)格屬性等一些有限元模型設(shè)置和有限元計(jì)算的特點(diǎn)，決定了在有限元計(jì)算中始終存在一定誤差。設(shè)有限元計(jì)算對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)帶來(lái)的誤差以ec表示。

(6)數(shù)據(jù)處理誤差

在本文的可靠性分析中，擴(kuò)張段的失效應(yīng)力極值是通過有限元分析獲得其與部分顯著性材料性能參數(shù)的關(guān)系，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合處理，獲得響應(yīng)值與輸入材料性能參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，在數(shù)據(jù)處理過程中始終存在一定誤差。設(shè)數(shù)據(jù)處理對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)帶來(lái)的誤差以ef表示。

(7)失效準(zhǔn)則誤差

對(duì)于擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)而言，判斷結(jié)構(gòu)是否失效，大多是通過強(qiáng)度準(zhǔn)則來(lái)判別的。類似于擴(kuò)張段材料性能誤差，擴(kuò)張段的強(qiáng)度值誤差主要來(lái)源于4個(gè)方面:一是每一個(gè)試件測(cè)試時(shí)，存在一定誤差;二是測(cè)試試件的數(shù)量有限，存在一定誤差;三是由于擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)沿母線方向厚度和結(jié)構(gòu)特征具有很大的變化，所以以局部材料的測(cè)試性能代替整個(gè)不均勻的材料性能，也存在一定誤差;四是由試件測(cè)試值代替擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)的真實(shí)值，也存在一定誤差。在設(shè)計(jì)過程中，由于復(fù)合材料的破壞模式復(fù)雜，采取簡(jiǎn)單的失效準(zhǔn)則，如最大應(yīng)力失效準(zhǔn)則，往往也會(huì)帶來(lái)一定誤差。

文中以單向失效來(lái)表示擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)失效，參考文獻(xiàn)［6］中的方法，可建立擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)單向強(qiáng)度值σea與材料試件相應(yīng)方向的許用應(yīng)力值σca之間的關(guān)系如式(1)所示:

這里eef所代表的誤差包括上述強(qiáng)度值誤差分析中的后3項(xiàng)。

材料試件水平的許用應(yīng)力值σca可由試件水平計(jì)算的平均失效應(yīng)力值(σ－cf)calc乘以折損因子來(lái)獲得，如式(2)所示:

式中的折損因子kd是許用應(yīng)力設(shè)計(jì)中，表示一個(gè)保守的材料性質(zhì)。對(duì)于正態(tài)分布而言，折損因子kd取決于試件測(cè)試的數(shù)量和測(cè)試失效應(yīng)力的變異系數(shù)，如式(3)所示:

這里的(CVcf)calc表示通過試件測(cè)試獲得失效應(yīng)力的變異系數(shù)，kB稱為公差極限因子。公差極限因子kB是試件測(cè)試數(shù)量nc的函數(shù)，如式(4)所示:

公差極限因子kB隨試件測(cè)試數(shù)量的變化規(guī)律如圖1所示，可發(fā)現(xiàn)kB的減小(或者kd的增大)，對(duì)于大數(shù)量的試件測(cè)試來(lái)說相對(duì)較小，但對(duì)于小數(shù)量的試件測(cè)試，kB的減少就非常明顯了。

圖1 公差系數(shù)隨試件測(cè)試數(shù)量變化Fig．1 Variation of the tolerance coefficient with the number of coupon tests

結(jié)合式(1)和式(2)，可獲得擴(kuò)張段單向強(qiáng)度值與試件測(cè)試的平均失效應(yīng)力值之間的關(guān)系如式(5)所示:

2 誤差的分布特征

由前面的誤差來(lái)源分析可知，誤差真實(shí)值大小是無(wú)法獲知的，只能結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和依據(jù)最大熵原理［11－13］，估計(jì)出誤差可能的分布特征。最大熵原理可簡(jiǎn)述為:在提供信息不足或概率空間不完備的情況下進(jìn)行概率估計(jì)時(shí)，應(yīng)充分利用現(xiàn)有信息，選擇出具有熵最大的那一種概率分布，作為概率估計(jì)的結(jié)果，因?yàn)殪刈畲笠馕吨S機(jī)性最強(qiáng)、人的主觀偏見最小，所以這種以熵最大為準(zhǔn)則的估計(jì)是隨機(jī)性最強(qiáng)、主觀偏見最小的估計(jì)。這種估計(jì)是與任何丟失(未知)數(shù)據(jù)最大程度無(wú)關(guān)的，而且同時(shí)受所有測(cè)得(已知)數(shù)據(jù)的約束，它既充分利用了隨機(jī)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，又避免了引進(jìn)人為的附加信息。對(duì)于誤差而言，一般依據(jù)經(jīng)驗(yàn)可認(rèn)為誤差在某一界限范圍內(nèi)，依據(jù)最大熵原理可知，在誤差服從均勻分布時(shí)，熵能達(dá)到最大值［13］。文中依據(jù)最大熵原理，假設(shè)各誤差均服從均勻分布，分布的均值和上下界限如表1所示。

表1 誤差的均值和界限Table 1 Error means and bounds

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3．1 不考慮誤差時(shí)的可靠性分析

文中以擴(kuò)張段層間剪切失效分析為例，引起層間分層的主要原因是層間剪切應(yīng)力極值超過了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的層間剪切強(qiáng)度，擴(kuò)張段層間剪切失效的極限狀態(tài)方程可表示為

式中 τR為層間剪切應(yīng)力極值，即極限狀態(tài)方程中的響應(yīng)值;τC為層間剪切強(qiáng)度，即極限狀態(tài)方程中的能力值。

通過有限元分析，可獲得層間剪切應(yīng)力極值τR與顯著性材料性能參數(shù)軸向熱膨脹系數(shù)α之間的關(guān)系如圖2所示。為方便可靠性分析，文中在建立應(yīng)力極值與主要影響因素之間的關(guān)系時(shí)，不進(jìn)行單位之間的換算，只建立數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便于數(shù)值擬合分析。建立保守的線性關(guān)系式為

這里假設(shè)層間剪切應(yīng)力極值τR與軸向熱膨脹系數(shù)α均服從正態(tài)分布，分布特征如表2所示。由正態(tài)分布性質(zhì)可容易計(jì)算出層間分層失效概率為0．048 63。在響應(yīng)和能力的樣本數(shù)為1×106條件下，采用蒙特卡洛數(shù)值模擬，經(jīng)過1 000次重復(fù)模擬計(jì)算，可獲得層間剪切失效概率靈敏度、無(wú)量綱化處理以及與解析解的對(duì)比，如表3所示?？煽闯?，軸向熱膨脹系數(shù)α的標(biāo)準(zhǔn)差靈敏度最大，且對(duì)失效概率的影響是正的，即參數(shù)α的標(biāo)準(zhǔn)差增大，失效概率也增大;對(duì)于參數(shù)τ的均值而言，由于其靈敏度為負(fù)，即表示均值增大，失效概率反而降低。

表2 材料性能參數(shù)分布特征Table 2 Distribution of material performance parameter

表3 層間剪切失效概率靈敏度Table 3 Sensitivity of interlaminar shear failure probability

圖2 層間剪切應(yīng)力隨熱膨脹系數(shù)變化Fig．2 Interlaminar shear stress changes with thermal expansion coefficient

3．2 考慮誤差時(shí)的可靠性分析

依據(jù)誤差對(duì)擴(kuò)張段剪切應(yīng)力極值的影響，建立層間剪切應(yīng)力極值與軸向熱膨脹系數(shù)和誤差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式，如式(8)所示。其中，誤差前面的“+”表示正的誤差，正的誤差在響應(yīng)表達(dá)式中表示保守的估計(jì)。

擴(kuò)張段層間剪切強(qiáng)度由于失效準(zhǔn)則、測(cè)試數(shù)量有限、測(cè)試方法不足和測(cè)試誤差的存在，假設(shè)測(cè)試的數(shù)量為50，故 kB=1．645，在變異系數(shù)為5%條件下，kd=0．92。依據(jù)前面的分析，可建立擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)中的層間剪切強(qiáng)度與試件測(cè)試強(qiáng)度的關(guān)系式，如式(9)所示。其中，誤差前面的“－”表示負(fù)的誤差，負(fù)的誤差在能力表達(dá)式中也表示保守的估計(jì)。

故層間剪切失效的極限狀態(tài)方程可表示為

在式(10)的極限狀態(tài)方程中，可通過條件期望法對(duì)擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度計(jì)算。條件期望法(CE)［14－16］是指如果已知能力值(響應(yīng)值也是類似的)的分布函數(shù)FC(x)，對(duì)與任意給定的一個(gè)響應(yīng)值Ri，可獲得在該響應(yīng)值下的結(jié)構(gòu)失效概率值FC(Ri)。故在響應(yīng)樣本為N的條件下，結(jié)構(gòu)的失效概率可表示為

與普通的蒙特卡洛方法(CMC)相比，CMC方法中的N表示響應(yīng)和能力的樣本大小，而在CE方法中的N僅表示響應(yīng)(或能力)的樣本。

CE估計(jì)的期望如式(12)所示:

CE估計(jì)的方差如式(13)所示:

通過分析可知，CE方法的方差要小于CMC方法的方差。也就是說，CE方法的失效概率估計(jì)精度要優(yōu)于CMC方法的失效概率估計(jì)精度。另外，從CE方法的特點(diǎn)可看出，其應(yīng)用前提是響應(yīng)或能力的分布函數(shù)的解析表達(dá)式是已知的，而對(duì)于響應(yīng)或能力的分布函數(shù)是未知的情形，CE方法是無(wú)法應(yīng)用的。

將層間剪切失效的極限狀態(tài)方程進(jìn)行調(diào)整，將能力值中的誤差項(xiàng)移動(dòng)到響應(yīng)這邊，可得到式(14)。此時(shí)，從失效概率計(jì)算角度看，與未調(diào)整前是一致的。

在響應(yīng)的樣本數(shù)為1×106條件下，通過CE方法經(jīng)過1 000次重復(fù)運(yùn)算，可獲得層間剪切失效的失效概率為0．287 34。在響應(yīng)和能力的樣本數(shù)為1×106條件下，采用CMC方法，對(duì)式(10)經(jīng)過1 000次重復(fù)模擬計(jì)算，獲得的失效概率靈敏度和無(wú)量綱化處理結(jié)果如表4～表6所示。

3．3 結(jié)果對(duì)比分析

從上述擴(kuò)張段可靠性的計(jì)算結(jié)果對(duì)比可看出，在考慮誤差的條件下，擴(kuò)張段的失效概率明顯增大。從表3～表5的靈敏度無(wú)量綱化可看出，相比于誤差對(duì)失效概率的影響，材料性能參數(shù)對(duì)失效概率的影響更明顯，靈敏度更高;另外，從各誤差的靈敏度可看出，誤差的分布范圍越大，靈敏度越高，在響應(yīng)表達(dá)式中的誤差靈敏度為正，在能力表達(dá)式中的誤差靈敏度為負(fù)。從同一誤差的上下邊界來(lái)說，在響應(yīng)表達(dá)式中，誤差上邊界的靈敏度比下邊界靈敏度大，而在能力表達(dá)式中，誤差上邊界的靈敏度比下邊界靈敏度小。

對(duì)比表2和3可發(fā)現(xiàn)，在失效概率分析中引入誤差，可大大降低材料性能參數(shù)的靈敏度。另外，從各誤差界限和靈敏度無(wú)量綱化處理結(jié)果對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，各誤差在靈敏度計(jì)算中的地位是相等的，靈敏度的大小只與誤差上下界限有關(guān)，界限越大，靈敏度越高。

表4 含誤差的層間剪切失效概率材料性能參數(shù)靈敏度Table 4 Material performance parameter sensitivity of errors-in-interlaminar shear failure probability

表5 含誤差的層間剪切失效概率誤差下邊界靈敏度Table 5 Error lower bound sensitivity of errors-in-interlaminar shear failure probability

表6 含誤差的層間剪切失效概率誤差上邊界靈敏度Table 6 Error upper bound sensitivity of errors-in-interlaminar shear failure probability

4 結(jié)論

(1)在擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)可靠性分析中，誤差是無(wú)處不在的，忽略誤差對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響是不科學(xué)的，但誤差的來(lái)源和分布規(guī)律有待于進(jìn)一步研究。

(2)由于誤差真實(shí)值大小是無(wú)法獲知的，只能結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和依據(jù)最大熵原理，假設(shè)誤差服從均勻分布，此時(shí)熵能達(dá)到最大值。

(3)在擴(kuò)張段層間剪切失效分析中，不考慮誤差條件下，失效概率為0．048 63;考慮誤差條件下，失效概率為0．287 34?？梢?，誤差對(duì)層間剪切失效概率影響是十分明顯的。

(4)在擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)失效概率靈敏度分析中，響應(yīng)表達(dá)式中的誤差上邊界靈敏度比下邊界靈敏度大，而在能力表達(dá)式中的誤差上邊界靈敏度比下邊界靈敏度小。同時(shí)，引入誤差可大大降低材料性能參數(shù)的靈敏度。

(5)各誤差在靈敏度分析中的地位是相等的，靈敏度的大小只與誤差上下界限有關(guān)，界限越大，靈敏度越高。

［1］ 劉勇瓊，汪亮．隨機(jī)有限元法及噴管擴(kuò)張段結(jié)構(gòu)可靠性分析［J］．固體火箭技術(shù)，1997，20(1)．

［2］ 王錚．藥柱結(jié)構(gòu)完整性的可靠性分析［J］．固體火箭技術(shù)，2001，24(1)．

［3］ 張慶雅，汪亮，孫東．遺傳算法在固體發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算中的應(yīng)用［J］．固體火箭技術(shù)，2005，25(2)．

［4］ 強(qiáng)洪夫，關(guān)正西，張世英．固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性Monte-Carlo數(shù)字仿真［J］．固體火箭技術(shù)，1997，20(2)．

［5］ 郭秩維，白廣忱，高陽(yáng)．矢量噴管機(jī)構(gòu)強(qiáng)度可靠性分析［J］．航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2006，21(6)．

［6］ Raphael T Haftka，Nam-Ho Kim．Effects of structural tests on aircraft safety［R］．AIAA 2009-2265．

［7］ Bharani Ravishankar，Benjamin P Smarslok，Raphael T Haftka，et al．Error estimation and error reduction in separable Monte-Carlo method［J］．AIAA 2010，48(11)．

［8］ Acar E，Kale A，Haftka R T．Comparing effectiveness of measures that improve aircraft structural safety［J］．Journal of Aerospace Engineering，2007，20(3)．

［9］ Jungeun An，Erdem Acar，Raphael T Haftka，et al．Being conservative with a limited number of test results［J］．Journal of Aircraft，2008，45(6):1-2．

［10］ 胡江華，常新龍，孟松鶴，等．C/C擴(kuò)張段材料性能設(shè)計(jì)［J］．固體火箭技術(shù)，2012，35(2)．

［11］ 李建東，王永茂，胡林敏．最大熵原理及應(yīng)用［J］．硅谷，2009(4):42-43．

［12］ 呂震宙，宋述芳，李洪雙，等．結(jié)構(gòu)機(jī)構(gòu)可靠性及可靠性靈敏度分析［M］．北京:科學(xué)出版社，2009．

［13］ 周兆經(jīng)．估算測(cè)量不確定度的一種最大熵原理［M］．計(jì)量技術(shù)，1989(4):1-2．

［14］ Benjamin P Smarslok，Dylan Alexander，Raphael T Haftka．Separable monte carlo simulation applied to laminated composite plates reliability［R］．AIAA 2008-1751．

［15］ Bharani Ravishankar，Benjamin P Smarslok，Raphael T Haftka，et al．Separable sampling of the limit state for accurate Monte Carlo simulation［R］．AIAA 2009-2266．

［16］ Diane Villanueva，Raphael T Haftka，Bhavani V Sankar．Including future tests in the design of an integrated thermal protection system［R］．AIAA 2010-2597．