瞬態(tài)曲線分段線性化方法研究及其程序實現(xiàn)

施 楊 祖洪彪

（上海核工程研究設計院 上海 200233）

瞬態(tài)曲線分段線性化方法研究及其程序實現(xiàn)

施 楊 祖洪彪

（上海核工程研究設計院 上海 200233）

核電廠的瞬態(tài)數(shù)據(jù)是相關設備應力分析和評定的必要輸入。然而，電廠實際運行記錄數(shù)據(jù)或設計瞬態(tài)計算數(shù)據(jù)通常由時間間隔很短的大量數(shù)據(jù)點構成，直接作為應力分析的輸入將會導致大量不必要的計算。為了簡化分析，一般需要將瞬態(tài)數(shù)據(jù)曲線進行分段線性化處理。本文基于最小二乘法，開發(fā)了一種瞬態(tài)曲線分段線性化的方法，并且通過編寫PLTC (Piecewise Linearization for Transient Curves)程序予以實現(xiàn)。分別采用標準正弦函數(shù)曲線和核電廠典型瞬態(tài)曲線對本文的方法進行了驗證，結果表明，本文的方法和程序能夠很好地實現(xiàn)瞬態(tài)曲線的分段線性化。本文的研究有助于提高核電廠瞬態(tài)曲線分段線性化的效率和精度。

瞬態(tài)，分段線性化，最小二乘法，程序

根據(jù)ASME鍋爐及壓力容器規(guī)范第III卷的相關要求，核電廠反應堆冷卻劑系統(tǒng)的核安全一級設備需進行疲勞分析。瞬態(tài)曲線（溫度、壓力等物理量隨時間的變化曲線）是疲勞分析所必需的輸入數(shù)據(jù)。然而，每一條瞬態(tài)曲線往往都包含成千上萬個數(shù)據(jù)點。為了簡化計算，一般需要對瞬態(tài)曲線作分段線性化處理，即用分段直線代替原始的由成千上萬個數(shù)據(jù)點組成的曲線。在此之前，這部分工作主要通過人工手動完成，耗費了大量的人力。

最小二乘法擬合是一種應用非常廣泛的數(shù)據(jù)分析方法，其基本思想是：按照殘差平方和最小的原則，尋找數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)關系式。最小二乘法擬合的絕大部分應用都是針對所有需要分析的數(shù)據(jù)，計算得到與之符合較好的統(tǒng)一的函數(shù)關系式。實測數(shù)據(jù)或曲線的擬合結果往往是高次多項式，高次項將帶來復雜的計算，不便于應用。分段擬合可以有效降低擬合函數(shù)的階次。然而，采用最小二乘法將數(shù)據(jù)或曲線分段擬合的研究工作相對較少。趙明富等[1]將熱電勢-溫度關系曲線分段擬合為二次函數(shù)。韓慶瑤等[2]將空間離散點進行了分段直線擬合。謝友寶[3]對曲線進行了分段直線擬合，通過直線傾斜角的變化確定分段點。這種分段方法的缺陷是：在擬合過程中不能很好地控制殘差，需要增加外部循環(huán)來得到滿足精度要求的分段擬合直線。

本文基于最小二乘法，開發(fā)一種瞬態(tài)曲線分段線性化的方法，通過計算機編程予以實現(xiàn)。本文的研究將使核電廠瞬態(tài)數(shù)據(jù)曲線分段線性化的工作從人工完成轉變?yōu)槌绦驅崿F(xiàn)，從而節(jié)省人力成本，同時可避免人工操作引入的誤差。

1 最小二乘法分段線性化

1.1 基本思想

本文對瞬態(tài)曲線進行分段線性化處理的基本思想是：從瞬態(tài)曲線的第一個數(shù)據(jù)點出發(fā)，作經過該點的直線。直線斜率不同，所有被擬合點與直線之間誤差的平方和也不同，因此可以采用最小二乘法來確定擬合直線的斜率。另外，被擬合的數(shù)據(jù)點越多，誤差也就越大。從兩個數(shù)據(jù)點的擬合（即連線）開始，逐漸增加點數(shù)，直到誤差超過限值，即完成當前曲線段的線性擬合。之后，從前一曲線段的最后一個數(shù)據(jù)點出發(fā)，開始下一段曲線的線性化處理。

具體步驟如下：

(1) 對于需要處理的n個數(shù)據(jù)點(t1, f1)、(t2, f2)、……、(tn, fn)，首先給定一個誤差限值ε。

（2） 取起始2個點(t1, f1)和(t2, f2)，采用最小二乘法計算經過點(t1, f1)的擬合直線(初始時即兩點連線)。加入第3個點(t3, f3)，采用最小二乘法重新計算經過點(t1, f1)的擬合直線。若這三個點與直線對應縱坐標的最大誤差emax≤ε，則將(t3, f3)包含在擬合直線中。繼續(xù)加入第3、第4……第p個點，直到加入第p+1個點時對應的emax>ε，第一條擬合直線L1得以確定（即為前p個點的擬合直線）。

(3) 以點(tp, fp)為起始點，重復第(2)步的過程，計算經過點(tp, fp)的第二條擬合直線。

(4) 重復上述過程，直到處理完所有n個數(shù)據(jù)點，得到全部擬合直線L1、L2、……、Lm。

(5) 對相鄰兩條直線的過渡時刻進行處理。例如，直線L1、L2的過渡時刻為tp，這一時刻對應的物理量f存在兩個值1Lf和2Lf。

1.2 計算方法

本文采用最小二乘法，確定經過某一固定點的擬合直線的斜率。本節(jié)以經過點(t1, f1)的直線L1的斜率的確定過程為例，對具體計算方法進行介紹。

經過點(t1, f1)的直線方程為：

點(ti, fi)對應的殘差平方為：

于是，所有p個點的殘差平方和為斜率k的函數(shù)：

令

則

于是

當g(k)取得最小值時，必定有g'(k)=0，解得

可見，對于點(t1, f1)-(tp, fp)，只需要通過式(4)計算a和b的值，并代入式(7)計算擬合直線的斜率k。最后通過式(1)即可得到擬合直線的表達式。

1.3 程序實現(xiàn)

本文根據(jù)上述方法和步驟編寫了PLTC程序，程序流程如圖1所示。

圖1 PLTC程序流程圖Fig.1 Flow chart of the PLTC program.

1.4 誤差分析

本文在對瞬態(tài)曲線進行分段線性化處理的過程中引入了一些誤差，主要包括：采用最小二乘法進行分段線性擬合的誤差；將分段直線進行連接所引入的誤差。

第一部分誤差在計算中進行了嚴格控制

式中，f(t)為原始瞬態(tài)曲線；f '(t)為進行連接處理前的分段線性化結果；ε為人為設定的誤差限值。

第二部分誤差如圖2所示。圖中實線為進行連接處理前的分段擬合直線，虛線為做了連接處理后的最終分段線性化結果。點A-D表示瞬態(tài)曲線上的原始數(shù)據(jù)點，點B'和C'為擬合直線段的末尾端點，B"和C"為連接點，且有

由式(8)可知：

于是有

不失一般性，對擬合直線BC'變換為B"C"的過程進行分析。主要存在兩種情況：如圖2(a)所示，BC'與B"C"不相交，則連接處理的誤差范圍為如圖2(b)所示，BC'和 B"C"相交，在這種情況下，連接處理的誤差范圍為由式(13)和(14)可知，無論上述哪種情況，這部分誤差均不超過0.5ε。

整體誤差不超過上述兩部分誤差之和，即1.5ε?？梢?，只要給定ε值，整體誤差就是可控的，因此不需要增加外部循環(huán)來控制整體誤差。

圖2 分段直線連接處理示意圖Fig.2 Structure of piecewise lines.

2 應用實例

本節(jié)采用PLTC程序分別對標準正弦函數(shù)曲線和核電廠典型瞬態(tài)曲線進行分段線性化處理，將處理后的曲線與原始曲線進行比較，驗證PLTC程序的正確性。

給定誤差限值ε=2(fmax-fmin)/300，即程序整體計算最大誤差不超過(fmax-fmin)/100(即1.5ε)。計算結果如圖3-5所示，分段線性化結果與原始曲線基本重合?？梢?，通過PLTC程序可以得到滿足計算精度要求的分段線性化的瞬態(tài)曲線。在實際應用中，可以根據(jù)需要適當降低精度要求，以減少擬合點數(shù)。

圖3 標準正弦函數(shù)曲線Fig.3 Standard sine curve.

圖4 某設計瞬態(tài)下溫度變化量的時程曲線Fig.4 Time history curve of temperature variation under some design transient.

圖5 某設計瞬態(tài)下壓力變化量的時程曲線Fig.5 Time history curve of pressure variation under some design transient.

在以往的核電廠一回路主設備應力分析過程中，瞬態(tài)數(shù)據(jù)曲線分段線性化工作主要通過人工手動完成。首先將核電廠實際記錄數(shù)據(jù)或設計瞬態(tài)計算數(shù)據(jù)畫成曲線，之后通過人工取點的方式得到分段線性化結果。人工取點過程有較大的主觀性，無法保證精度，而且效率很低，完成一個設備應力分析和評定所需的瞬態(tài)數(shù)據(jù)分段線性化處理耗時3-4個月。采用本文的PLTC程序，則可快速完成瞬態(tài)數(shù)據(jù)曲線的分段線性化工作，可節(jié)約70%的時間成本，同時精度也可以得到保證。

3 結語

本文基于最小二乘法，開發(fā)了一種計算簡單，易于編程實現(xiàn)的瞬態(tài)曲線分段線性化方法?；谠摲椒ň帉懥薖LTC程序，并通過標準正弦函數(shù)曲線和核電廠典型瞬態(tài)曲線對本文的方法進行了驗證。結果表明，本文的方法和程序能夠很好地實現(xiàn)瞬態(tài)曲線的分段線性化。本文的研究將大大節(jié)省核電廠瞬態(tài)曲線分段線性化工作的人力成本，同時避免人工操作帶來的誤差。

1 趙明富, 廖強, 鐘連超, 等. 熱電偶最優(yōu)化分段最小二乘擬合線性化處理方法[J]. 計量技術, 2004, 1: 18-20

ZHAO Mingfu, LIAO Qiang, ZHONG Lianchao, et al. Thermocouple optimization piecewise least square linearization method[J]. Measurement Technique, 2004, 1: 18-20

2 韓慶瑤, 肖強, 樂英. 空間離散點最小二乘法分段直線擬合的研究[J]. 工業(yè)儀表與自動化裝置, 2012, 4: 107-109

HAN Qingyao, XIAO Qiang, YUE Ying. Study of space discrete point’s piecewise linear fitting on least square method[J]. Industrial Instrumentation & Automation, 2012, 4: 107-109

3 謝友寶. 最小二乘法分段直線擬合[J]. 南昌航空工業(yè)學院學報, 1992, 1: 19-25

XIE Youbao. Sectional line fitting by means of least square method[J]. Journal of Nanchang Institute of Aeronautical Technology, 1992, 1: 19-25

CLCTL364+.2

Study and program implementation of transient curves’ piecewise linearization

SHI Yang ZU Hongbiao
(Shanghai Nuclear Engineering Research & Design Institute, Shanghai 200233, China)

Background: Transient curves are essential for the stress analysis of related equipments in nuclear power plant (NPP). The actually operating data or the design transient data of a NPP usually consist of a large number of data points with very short time intervals. To simplify the analysis, transient curves are generally piecewise linearized in advance. Up to now, the piecewise linearization of transient curves is accomplished manually. Purpose: The aim is to develop a method for the piecewise linearization of transient curves, and to implement it by programming. Methods: First of all, the fitting line of a number of data points was obtained by the least square method. The segment of the fitting line is set while the accumulation error of linearization exceeds the preset limit with the increasing number of points. Then, the linearization of subsequent data points was begun from the last point of the preceding curve segment to get the next segment in the same way, and continue until the final data point involved. Finally, averageing of junction points is taken for the segment connection. Results: A computer program named PLTC (Piecewise Linearization for Transient Curves) was implemented and verified by the linearization of the standard sine curve and typical transient curves of a NPP. Conclusion: The method and the PLTC program can be well used to the piecewise linearization of transient curves, with improving efficiency and precision.

Transient curves, Piecewise linearization, Least square method, Program

TL364+.2

10.11889/j.0253-3219.2014.hjs.37.010604

施楊，男，1984年出生，2012年于浙江大學獲博士學位，現(xiàn)從事的專業(yè)為反應堆結構力學

2013-11-13，

2013-12-10