混合Gamma拖尾Rayleigh分布的高分辨SAR圖像建模

王 燦，蘇衛(wèi)民，顧 紅，邵 華

南京理工大學(xué) 電光學(xué)院，江蘇 南京210094

WANG Can，SU Weimin，GU Hong，SHAO Hua

School of Electronic and Optical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China

1 引 言

SAR圖像統(tǒng)計(jì)建模是SAR圖像研究的重要內(nèi)容，它旨在通過統(tǒng)計(jì)的方法描述SAR圖像數(shù)據(jù)，以解釋SAR圖像的統(tǒng)計(jì)特性［1－2］。SAR 圖像統(tǒng)計(jì)特性不僅有助于深入了解地物的散射機(jī)理，而且合理的SAR圖像統(tǒng)計(jì)特性可以有效地提高SAR圖像相干斑抑制、分割，RCS重構(gòu)以及目標(biāo)檢測和識別能力［3－5］。

多年來，多種統(tǒng)計(jì)模型相繼提出用于刻畫SAR圖像的統(tǒng)計(jì)特征。文獻(xiàn)［6］首先提出了廣泛使用的相干斑模型。但是因?yàn)橄喔砂吣Ｐ鸵蠓直鎲卧慕y(tǒng)計(jì)特性和均勻區(qū)域的統(tǒng)計(jì)特性相同，所以只適用于描述均勻雜波背景下SAR圖像的統(tǒng)計(jì)特性。在相干斑模型的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［7］認(rèn)為SAR圖像后向散射系數(shù)是地形散射系數(shù)受乘性的相干斑噪聲的調(diào)制而成。因此在這個(gè)框架下，SAR圖像的統(tǒng)計(jì)特性可視為兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量的復(fù)合過程。但是服從中心極限定理的乘積模型在假設(shè)條件方面受到局限，它只包括了對一般不均勻區(qū)域和均勻區(qū)域的SAR圖像建模。對于異質(zhì)混合區(qū)域或者城市區(qū)域等較高不均勻區(qū)域，這種分布模型建模有一定的局限性。

針對高分辨率合成孔徑雷達(dá)SAR圖像不再滿足中心極限定理的問題，文獻(xiàn)［8］在對稱α穩(wěn)態(tài)分布的基礎(chǔ)上，提出了拖尾Rayleigh幅度分布。拖尾Rayleigh分布具有代數(shù)拖尾，因此它們具有異質(zhì)混合區(qū)域或者城市區(qū)域SAR圖像尖峰和厚尾的統(tǒng)計(jì)特性。2006年，文獻(xiàn)［9］提出了乘性模型下的拖尾Rayleigh分布模型，并利用新的模型對SAR圖像進(jìn)行相干斑抑制。但是前面提到的模型都忽略了RCS分布模型中的參數(shù)［10－12］，而這些參數(shù)在高分辨率合成孔徑雷達(dá)SAR圖像統(tǒng)計(jì)建模中有很重要的作用。

在本文中，混合Gamma拖尾Rayleigh分布是由乘積模型推導(dǎo)而得。筆者分別推導(dǎo)出相干斑服從統(tǒng)計(jì)模型拖尾Rayleigh分布模型和RCS服從統(tǒng)計(jì)模型混合Gamma分布模型。拖尾Rayleigh分布突破了中心極限定理的限制，適合于描述高分辨率SAR相干斑的尖峰厚尾的統(tǒng)計(jì)特性［13］；高分辨率合成孔徑雷達(dá)SAR圖像的RCS起伏衰落特性更加的復(fù)雜，混合Gamma分布作為不同均值的Gamma分布的線性組合對高分辨率合成孔徑雷達(dá)SAR圖像RCS進(jìn)行擬合，突破了利用某一種概率分布函數(shù)描述RCS的局限性。

SAR圖像統(tǒng)計(jì)建模的一個(gè)重要步驟是參數(shù)估計(jì)，在本文中，筆者使用的方法是文獻(xiàn)［14—16］提出的由Mellin變換為基礎(chǔ)的第二類統(tǒng)計(jì)量參數(shù)估計(jì)方法。相對于傳統(tǒng)的矩估計(jì)方法，這種方法更簡單、有效。

2 SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型

設(shè)SAR圖像的測量值y是兩個(gè)變量x和η的乘積，這里x為地物RCS分量，η為相干斑噪聲分量。根據(jù)乘積模型，SAR圖像的測量值可表示為

式中，“·”表示乘積，乘積模型同時(shí)考慮到相干斑噪聲和RCS對SAR圖像測量值的影響。通過假設(shè)這兩個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)模型，可以得到不同的SAR圖像分布模型?；诔朔e模型，已發(fā)展了很多著名的SAR圖像統(tǒng)計(jì)模型，例如K分布、Betaprime分布等，但是對于較高分辨率合成孔徑雷達(dá)SAR圖像的建模，這些模型是有局限性的［9］。在本文中，針對高分辨率合成孔徑雷達(dá)SAR圖像的建模問題，筆者設(shè)相干斑噪聲隨機(jī)變量服從拖尾Rayleigh分布，RCS隨機(jī)變量服從混合Gamma分布。

2.1 相干斑模型

對于高分辨SAR圖像，一個(gè)分辨單元內(nèi)含有的散射粒子數(shù)目足夠大的假設(shè)不成立。此時(shí)，中心極限定理得不到滿足，Rayleigh分布模型也不再適合高分辨城區(qū)圖像統(tǒng)計(jì)分布建模。在本文中引入廣義中心極限定理下的α穩(wěn)定模型［17－18］。相比較中心極限定理下的高斯假設(shè)，α穩(wěn)定假設(shè)是一種更有效的模型。

α穩(wěn)定分布沒有解析的概率密度函數(shù)表達(dá)式，由它的特征函數(shù)描述［19］，其表達(dá)式如下

式中，0＜α≤2是特征參數(shù)，它決定了穩(wěn)定分布尖峰和厚尾的程度，α越小穩(wěn)定分布顯示出尾部較厚的特征。是對稱參數(shù)，當(dāng)β＜0時(shí)，穩(wěn)定分布向左傾斜；當(dāng)β＞0時(shí)，穩(wěn)定分布向右傾斜；當(dāng)β＝0時(shí)，穩(wěn)定分布關(guān)于位置參數(shù)對稱，此時(shí)，穩(wěn)定分布稱為對稱穩(wěn)定分布。σ＞0是尺度參數(shù)，它類似于高斯分布的方差代表分布的離散程度，μ∈R是位置參數(shù)，它表示在橫坐標(biāo)上的偏移，sign（·）是符號函數(shù)。α穩(wěn)定分布由4個(gè)參數(shù)決定，它是描述尖峰厚尾分布良好的統(tǒng)計(jì)模型，通過改變其特征參數(shù)能夠描述很廣范圍的非高斯特性。文獻(xiàn)［20］使用特殊位置的對稱穩(wěn)定分布，即μ＝0，β＝0，來描述SAR系統(tǒng)接收信號的實(shí)部和虛部，其特征函數(shù)如下

由此推導(dǎo)出SAR相干斑概率密度函數(shù)積分等式

稱為拖尾Rayleigh分布。其中0＜α＜2是特征指數(shù)，它描述穩(wěn)定分布尖峰和厚尾的統(tǒng)計(jì)特征；σ＞0是尺度參數(shù)；J0（·）是第一類零階Bessel函數(shù)。

圖1為拖尾Rayleigh分布在α取不同值時(shí)的概率密度函數(shù)。由圖可見，拖尾Rayleigh分布有明顯的尖峰和厚尾的統(tǒng)計(jì)特征，并且α越小，尖峰和厚尾越明顯。

2.2 RCS模型

SAR圖像RCS的起伏特性隨著圖像分辨率提高變得更加的復(fù)雜。筆者提出使用混合Gamma作為高分辨率合成孔徑雷達(dá)SAR圖像RCS的分布模型。相對通常Gamma分布模型具有單一的形式參數(shù)，混合Gamma分布擁有多個(gè)參數(shù)，提供了更多的靈活性，能夠模擬更大范圍的概率密度，并且具有單峰多模式的特點(diǎn)。

圖1 拖尾Rayleigh分布在特征指數(shù)α取不同值時(shí)的概率密度函數(shù)Fig.1 Heavy－tailed Rayleigh distribution probability density functions for different values of the characteristic exponentα

設(shè)SAR圖像表示為L視強(qiáng)度平均的形式，那么RCS隨機(jī)變量x服從混合Gamma分布，其概率密度函數(shù)表達(dá)式為

式中，λ≥0，λ′≥0，且λ＋λ′＝1，G［L］（x）表示均值為1，方差為1／L的Gamma分布概率密度函數(shù)，Gρ，［L］（x）表示均值為ρ，方差為1／L的Gamma分布概率密度函數(shù)。在本模型中，兩個(gè)Gamma分布概率密度函數(shù)的L取值相同。其中Gamma分布概率密度函數(shù)Gμ，［L］（x）的表達(dá)式為

通過變量代換關(guān)系

可以推導(dǎo)出幅度概率密度函數(shù)

混合Gamma拖尾Rayleigh分布是由乘積模型推導(dǎo)而得，設(shè)（x，η）是二維隨機(jī)變量，其中，x表示RCS隨機(jī)變量，η表示相干斑隨機(jī)變量，并且x與η是相互獨(dú)立的。設(shè)x與η的概率密度分別為px（x），pη（η），則高分辨率合成孔徑雷達(dá)SAR圖像的觀測值y＝x·η仍然是隨機(jī)變量，并且由概率論知識可以推導(dǎo)得到其概率密度函數(shù)為

將式（4）與式（8）代入式（9）得到基于混合Gamma拖尾Rayleigh分布模型的高分辨率合成孔徑雷達(dá)SAR圖像觀測值概率密度函數(shù)表達(dá)式

式中，α、γ、ρ是混合Gamma拖尾Rayleigh分布的參數(shù)，文中使用一種基于Mellin變換的參數(shù)估計(jì)方法對其進(jìn)行估計(jì)。

3 基于Mellin變換的參數(shù)估計(jì)

為了對SAR圖像精確建模，需要對模型參數(shù)精確估計(jì)。相比較于傳統(tǒng)的矩估計(jì)方法，文獻(xiàn)［14］提出的基于Mellin變換的第二類型統(tǒng)計(jì)量參數(shù)估計(jì)方法可以把相干斑噪聲分量視為Mellin卷積，這與SAR圖像的乘性噪聲特點(diǎn)相吻合，因此是一種更有效的參數(shù)估計(jì)方法。因而本文選擇Mellin變換進(jìn)行混合Gamma拖尾Rayleigh分布模型的參數(shù)估計(jì)。

對于定義于R＋上的函數(shù)f，其Mellin變換定義如下

變換Φ（s）存在當(dāng)且僅當(dāng)對任意k＞0，積分有界，對于SAR圖像的概率密度而言，條件是滿足的。

函數(shù)f和g的Mellin卷積為

由Mellin變換定義函數(shù)f的第二類第一特征函數(shù)

在第二類第一特征函數(shù)的基礎(chǔ)上，可以得到第二類第二特征函數(shù)和對數(shù)累積量分別為

由式（4）、（13）可以得到拖尾 Rayleigh分布對應(yīng)的第二類第一特征函數(shù)為

由式（15）、（16）得到拖尾 Rayleigh分布推得各階二類特征矩為

式中，ψ是DiGamma函數(shù)，它表示先對Gamma函數(shù)取對數(shù)然后求導(dǎo)；ψ（r， ·）是PolyGamma函數(shù)，表示DiGamma函數(shù)的第r階導(dǎo)數(shù)。由式（8）、（13），得到混合Gamma分布的第二類第一特征函數(shù)

由式（15）、（18）得到混合 Gamma分布各階對數(shù)累積量

設(shè)y1、y2、…、yN為N個(gè)樣本觀測值，樣本的第1、2、3階第二類累積量估計(jì)值為

由式（12）可知混合Gamma拖尾Rayleigh分布的概率密度函數(shù)是混合Gamma函數(shù)與拖尾Rayleigh函數(shù)的Mellin卷積。因此SAR圖像幅度觀測值y的對數(shù)累積量可以表示為SAR圖像RCS值x和SAR圖像相干斑η的對數(shù)累積量之和

把式（22）稱為對數(shù)累積量估計(jì)器，已知SAR圖像樣本觀測值，它能夠獲得參數(shù)估計(jì)值，從而得到SAR圖像的統(tǒng)計(jì)模型。

4 混合Gamma拖尾Rayleigh分布的性質(zhì)

本節(jié)討論該分布的性質(zhì)，以解釋該分布能對高分辨SAR圖像建模的原因。形狀參數(shù)α本質(zhì)上反映了被測區(qū)域的尖峰、厚尾的特征，α越小，對應(yīng)的圖像區(qū)域越不均勻。圖2給出了固定參數(shù)γ＝1時(shí)，混合Gamma分布的變化曲線，由圖2可知，隨著α的減小，尖峰、厚尾特征越明顯。但是其他值不變時(shí)，峰值的位置隨著α的值移動(dòng)。圖3給出了固定參數(shù)α、γ，混合Gamma分布隨著ρ增加的變化曲線，從圖中看出通過改變?chǔ)芽梢哉{(diào)解峰值和拖尾的厚度而不改變峰值的位置，相比較已有模型混合Gamma拖尾Rayleigh分布模型，因?yàn)樵黾恿艘粋€(gè)參數(shù)ρ，自由度增加，因此可以更好地適應(yīng)不同高分辨率SAR圖像場景。

圖2 γ＝1，ρ＝1時(shí)，α取不同值時(shí)的混合Gamma分布Fig.2 Mixture Gamma distribution forα，whenγ、ρ is kept constant 1

圖3 α＝1，γ＝1，ρ取不同值時(shí)的混合Gamma分布Fig.3 Mixture gamma distribution forρ，when α、γis kept constant 1

5 高分辨率SAR圖像建模實(shí)例

為驗(yàn)證本文提出的混合Gamma拖尾Rayleigh分布模型的有效性，筆者對實(shí)測機(jī)載條帶SAR圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用的是機(jī)載雷達(dá)X波段SAR成像的圖像數(shù)據(jù)，大小為1024像素×1024像素，圖像的分辨率為1m×1m，圖像區(qū)域包括草地、農(nóng)田、公路。本文分別利用Betaprime分布、拖尾Rayleigh分布、K分布和本文提出的混合Gamma拖尾Rayleigh分布分別對SAR圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并利用經(jīng)典的假設(shè)檢驗(yàn)K－S擬合檢驗(yàn)方法進(jìn)行測試。

圖5與圖6為分別利用Betaprime分布、拖尾Rayleigh分布、K分布和本文提出的混合Gamma拖尾Rayleigh分布對圖4中右面方框中的區(qū)域1中的SAR圖像和對圖4中左邊面方框中的區(qū)域2中的SAR圖像建模的擬合效果圖。表1與表2分別給出了不同分布的參數(shù)估計(jì)結(jié)果及K－S概率。K－S概率用來定量描述某一分布對圖像統(tǒng)計(jì)分布的接近程度，K－S概率越大，說明該分布越接近圖像的統(tǒng)計(jì)分布。結(jié)果表明，基于中心極限定理的Betaprime分布和K分布在一定程度上描述了圖像的拖尾特征，但是它們不能反映SAR圖像的尖峰特征。拖尾Rayleigh分布雖然能夠大致描述SAR圖像的尖峰拖尾特征，但是由于此模型假設(shè)SAR圖像RCS為常數(shù)，所以它還是不能準(zhǔn)確地描述高分辨率SAR圖像。由擬合效果圖和數(shù)據(jù)分析都可得到本文提出的混合Gamma拖尾Rayleigh分布能夠比較準(zhǔn)確地描述高分辨SAR圖像，這是因?yàn)榛旌螱amma拖尾Rayleigh分布不僅具有拖尾Rayleigh分布尖峰拖尾的特征，而且混合Gamma分布具有很好的靈活性，能夠模擬更大范圍的概率密度，模型的適應(yīng)性更強(qiáng)。

圖4 X波段SAR圖像 分辨率1mFig.4 X－band SAR image，the resolution is 1m

圖5 對實(shí)測SAR圖像中的區(qū)域1的建模結(jié)果Fig.5 Modeling results of the area 1in the real SAR image

圖6 對實(shí)測SAR圖像中的區(qū)域2的建模結(jié)果Fig.6 Modeling results of the area 2in the real SAR image

表1 對圖4中區(qū)域1建模分布的參數(shù)估計(jì)結(jié)果和K－S概率Tab.1 Parameter estimation result of the distribution and K－S probabilities of region 1in figure 4

表2 對圖4中區(qū)域2建模分布的參數(shù)估計(jì)結(jié)果和K－S概率Tab.2 Parameter estimation result of the distribution and K－S probabilities of region 2in figure 4

6 結(jié)束語

利用拖尾Rayleigh分布尖峰拖尾和混合Gamma分布靈活性強(qiáng)的特點(diǎn)，本文提出了一種基于乘積模型的混合Gamma拖尾Rayleigh分布模型。針對已有模型不能很好地對高分辨SAR圖像進(jìn)行擬合的問題，該模型利用基于廣義中心極限定理的拖尾Rayleigh分布作為相干斑模型，反映了高分辨率SAR圖像相干斑尖峰和拖尾的特點(diǎn)；利用混合Gamma分布作為RCS模型，提高了RCS模型的靈活性，能很好地反映高分辨SAR圖像中的RCS的細(xì)微變化。并以Mellin變換為基礎(chǔ)，利用第二類統(tǒng)計(jì)量、第二類特征函數(shù)、第二類對數(shù)矩和第二類累積量，可以高效估計(jì)出混合Gamma拖尾Rayleigh分布的未知參數(shù)。利用實(shí)際的高分辨合成孔徑雷達(dá)SAR圖像進(jìn)行的試驗(yàn)結(jié)果證明了基于乘積模型的混合Gamma拖尾Rayleigh分布對高分辨SAR圖像建模更有效?；旌螱amma拖尾Rayleigh分布模型能夠?qū)铣煽讖嚼走_(dá)SAR圖像中地物的散射機(jī)理有更深入的理解，進(jìn)而指導(dǎo)研究有效的高分辨率合成孔徑雷達(dá)SAR圖像相干斑抑制、紋理提取、圖像分割與目標(biāo)識別算法。

［1］ HUANG Shiqi，LIU Daizhi.Research on Method and Application of Speckle Noise Reduction of SAR Image［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2006，35（3）：245－250.（黃世奇，劉代志.SAR 圖像斑點(diǎn)噪聲抑制方法與應(yīng)用研究［J］.測繪學(xué)報(bào)，2006，35（3）：245－250.）

［2］ SOUMEKH M.Synthetic Aperture Radar Signal Processing［M］.New York：Wiley，1999.

［3］ WU Yan，JIAO Jingmei，YANG Xiaoli，et al.Segmentation Algorithm for SAR Images Based on Fusion of HMT in the Contourlet Domain and D －S Theory of Evidence［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40（2）：148－155.（吳艷，焦驚眉，楊曉麗，等.基于 Contourlet域HMT和DS證據(jù)融合的SAR圖像分割［J］.測繪學(xué)報(bào)，2011，40（2）：148－155.）

［4］ ZHANG Zhongshan，YU Jie，YAN Qin，et al.Research on Polarimetric SAR Image Speckle Reduction Using Kernel Independent Component Analysis［J］. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40（3）：289－295.（張中山，余潔，燕琴，等.基于核獨(dú)立成分分析的極化SAR圖像相干斑抑制［J］.測繪學(xué)報(bào)，2011，40（3）：289－295.）

［5］ WAN Honglin，JIAO Licheng，WANG Guiting，et al.A Region－of－interest Level Method for Change Detection in SAR Imagery［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（2）：239－245.（萬紅林，焦李成，王桂婷，等.在感興趣的區(qū)域?qū)用嫔线M(jìn)行SAR圖像變化檢測的方法研究［J］.測繪學(xué)報(bào)，2012，41（2）：239－245.）

［6］ ARSENAULT H H，APRIL G.Properties of Speckle Integrated with a Finite Aperture and Logarithmically Transformed［J］.Journal of the Optical Society of America，1976，66（11）：1160－1163.

［7］ WARD K D.Compound Representation of High Resolution Sea Clutter［J］.Electronics Letters，1981，17（16）：561－563.

［8］ KURUOGLU E E，ZERUBIA J.Modeling SAR Images with a Generalization of the Rayleigh Distribution［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2004，13（4）：527－533.

［9］ ACHIM A，KURUOGLU E E，ZERUBIA J.SAR Image Filtering Based on the Heavy－Tailed Rayleigh Model［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2006，15（9）：2686－2693.

［10］ JAO J.Amplitude Distribution of Composite Terrain Radar Clutter and the K－distribution［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1984，32（10）：1049－1062.

［11］ LI H C，HONG W，WU Y R，et al.An Efficient and Flexible Statistical Model Based on Generalized Gamma Distribution for Amplitude SAR Images［J］.IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2010，48（6）：2711－2722.

［12］ HUANG Shiqi，LIU Daizhi，HU Mingxing，et al.Multitemporal SAR Image Change Detection Technique Based on Wavelet Transform［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2010，39（2）：180－186.（黃世奇，劉代志，胡明星，等.基于小波變換的多時(shí)相SAR圖像變化檢測技術(shù)［J］.測繪學(xué)報(bào)，2010，39（2）：180－186.）

［13］ ACHIM A，TSAKALIDES P，BEZERIANOS A.SAR Image Denoising via Bayesian Wavelet Shrinkage Based on Heavy－Tailed Modeling ［J］.IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2003，41（8）：1773－1784.

［14］ TISON C，NICOLAS J M，TUPIN F，et al.A New Statistical Model for Markovian Classification of Urban Areas in High－Resolution SAR Images［J］.IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2004，42（10）：2046－2057.

［15］ SHI Gongtao，ZHAO Lingjun，GUI Lin，et al.A Novel Parameter Estimation Method for the K Distribution Based on the Mellin Transform［J］.Acta Electronica Sinica，2010，38（009）：2083－2089.（時(shí) 公 濤，趙 凌 君，桂 琳，等.基 于Mellin變換的 K分布參數(shù)估計(jì)新方法［J］.電子學(xué)報(bào)，2010，38（009）：2083－2089.）

［16］ SUN Zengguo，HAN Chongzhao.Modeling High－Resolution Synthetic Aperture Radar Images with Heavy－tailed Distributions［J］.Acta Physica Sinica，2010，59（2）998－1008.（孫增國，韓崇昭.基于拖尾分布的高分辨率合成孔徑雷達(dá)圖像建模［J］.物理學(xué)報(bào)，2010，59（2）998－1008.）

［17］ OLIVER C，QUEGAN S.Understanding Synthetic Aperture Radar Images［M］.Herndon：SciTech Publishing，2004.

［18］ KUANG Gangyao，GAO Gui，JIANG Yongmei，et al.Synthetic Aperture Radar Target Detection Theory Algorithms and Applications［M］.Chang National University of Defense Technology Press，2007.（匡綱要，高貴，蔣詠梅，等.合成孔徑雷達(dá)目標(biāo)檢測理論，算法及應(yīng)用［M］.長沙：國防科技大學(xué)出版社，2007.）

［19］ NICOLAS J M.Introduction to Second Kind Statistics：Application of Log－Moments and Log－cumulants to SAR Image Law Analysis［J］.Traitement du Signal，2002，19（3）：139－168.

［20］ DELIGNON Y，PIECZYNSKI W.Modeling Non－Rayleigh Speckle Distribution in SAR Images［J］.IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2002，40（6）：1430－1435.