導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

【摘 要】導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生有著直覺的起源，與曲線的切線和運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的速度有密切的關(guān)系導(dǎo)數(shù)用于描述函數(shù)變化率，刻畫函數(shù)的因變量隨自變量變化的快慢程度。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將數(shù)學(xué)問題系列化，能夠有效地提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 函數(shù) 不等式 中值定理

一、利用導(dǎo)數(shù)的定義證明不等式

定義1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)X0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，在點(diǎn)X0處給自變量以增量（點(diǎn)X0+仍在該領(lǐng)域內(nèi)），相應(yīng)地，函數(shù)有增量

如果當(dāng)時比值的極限

存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作，，.并稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo).

二、利用中值定理證明不等式

定理1：（拉格朗日中值定理）若函數(shù)滿足條件：（1） 在閉區(qū)間上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)， 使得.定理2：（柯西中值定理）設(shè)函數(shù)和滿足條件：（1）、在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）、在開區(qū)間可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使.

三、積分第二中值定理

四、用泰勒公式（Taylor公式）證明不等式

定理5：（泰勒定理）若在包含的某個區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對于此區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)，在此區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

通常 為拉格朗日余項。

從上面的討論中我們可以得知，導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的重要性.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用在歷年研究生入學(xué)考試及各種《高等數(shù)學(xué)》競賽中經(jīng)常出現(xiàn)。

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