實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法

【摘 要】化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法——初等變換法、配方法、正交變換法。

【關(guān)鍵詞】實(shí)二次型 標(biāo)準(zhǔn)形 初等變換法 配方法 正交變換法

二次型是高等代數(shù)中一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，而將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形又是二次型中的一個(gè)重要問題。我們知道，任何一個(gè)實(shí)二次型都惟一對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，而實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化，因此每一個(gè)實(shí)二次型都可以化成標(biāo)準(zhǔn)形。結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐與體會(huì)，總結(jié)出以下三種將實(shí)二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形的方法。

一、用初等變換法化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

用非退化線性變換X=CY化二次型f=X′AX為標(biāo)準(zhǔn)形。相當(dāng)于對(duì)對(duì)稱矩陣A找一個(gè)可逆的矩陣C，使C′AC=D 為對(duì)角矩陣。由于可逆矩陣C可以寫成若干初等矩陣的積，即，于是有，即相當(dāng)于對(duì)矩陣A做初等行變換或初等列變換，由此可得到用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟如下：

（一）寫出二次型f=X′AX的矩陣A，并構(gòu)造矩陣；

（二）對(duì)A進(jìn)行初等行變換和同樣的初等列變換，把A化為對(duì)角矩陣D，并對(duì)E施行與A相同的初等列變換化為矩陣C；

（三）寫出用非退化線性變換X=CY化二次型為f=Y′DY。

注意：行和列的初等變換必須是相同類的初等變換，而且行和列的變換次序是緊挨著，中間不能隔開，對(duì)E的部分只能進(jìn)行列的初等變換。

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作者簡(jiǎn)介：段桂花（1982—），女，云南省鶴慶人，講師，麗江師范高等?？茖W(xué)校數(shù)計(jì)系，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育及代數(shù)學(xué)。