淺析高等數(shù)學(xué)函數(shù)的條件極值教學(xué)

【摘 要】條件極值是解決問題的有效方法，在我們?nèi)粘Ｉ钪?，很多問題都可以通過條件極值把問題簡單化，從而有效地解決它，可以提高我們解決實際問題的效率。筆者在本文主要對求解條件極值的方法進行探究，并通過一些實例來加以闡述。希望能得到教學(xué)一線的教學(xué)能手的指導(dǎo)。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 梯度法 標準量代換法

高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)條件極值不僅在理論上有著重要的作用，而且在解決實際數(shù)學(xué)方面也起著非常重要的作用。筆者在本文主要對求解條件極值的方法進行探究，并通過一些實例來加以闡述。希望能得到教學(xué)一線的教學(xué)能手的指導(dǎo)。

條件極值是解決問題的有效方法，在我們?nèi)粘Ｉ钪?，很多問題都可以通過條件極值把問題簡單化，從而有效地解決它，可以提高我們解決實際問題的效率。

我國學(xué)者對條件極值的研究也有很長的時間了，并且取得了一定的效果。2000年，王延源闡述了解決條件極值問題的幾種有效方法。2009年，侯亞紅通過例題詳細介紹了判定多元函數(shù)條件極值的幾種方法。 2010年，趙德勤、殷明討論了如何用構(gòu)建函數(shù)條件極值的方法證明不等式。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，極值問題和生活當中的最值問題密切相關(guān)，它受到數(shù)學(xué)當中的條件的限制，因此分為兩大類：無條件極值和條件極值。本文略談其求解方法。

一、拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日乘數(shù)法是求條件極值最常見的方法之一。但是在使用這一方法時，一定要符合以下步驟：

務(wù)必要構(gòu)建拉格朗日乘數(shù)法的輔助函數(shù)；2。在輔助函數(shù)構(gòu)建后，找出它的穩(wěn)定點就成為解題的關(guān)鍵之處，從而求得滿足方程組的的穩(wěn)定點；3。要考慮實際問題的意義，如果條件極值存在，那么該方程組的穩(wěn)定點就是該函數(shù)的極值點。

例如：拋物面被平面截得一橢圓，求該橢圓上的點與坐標原點的最短和最長距離。

在使用拉格朗日乘數(shù)法去求解時，首先要構(gòu)建它的輔導(dǎo)函數(shù)：

在應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值時應(yīng)注意，拉格朗日乘數(shù)法只是取得條件極值的必要條件。上述問題是在利用拉格朗日乘數(shù)法求出穩(wěn)定點后，根據(jù)問題的實際意義來判斷所求的穩(wěn)定點是否為極值點。

二、梯度法

三、標準量代換法

求某些有多個變量的條件極值時，我們務(wù)必要選擇一個量作為不變量，作為其它變量的參照量，我們也可稱之為標準量，稱其余各量為比較量，除了此兩種量之外，輔助量也是必不可少的，輔助量在計算時起著不可替代的作用。在所用的量確定后，將比較量用標準量與另外選取的輔助量表示出來，這樣就將其變?yōu)檠芯繕藴柿颗c輔助量間的關(guān)系了。如果給定條件是幾個變量之和的形式，一般設(shè)這幾個量的算術(shù)平均數(shù)為標準量.。

參考文獻：

[1]王延源. 再談條件極值的初等解法[J]. 臨沂師范學(xué)院學(xué)報，2000，22（6）： 71-72

[2]侯亞紅. 多元函數(shù)條件極值的幾種判別方法[J]. 山西經(jīng)濟管理干部學(xué)院學(xué)報，2009，17（2）： 118-120

[3]趙德勤，殷明. 一個有趣不等式的新證明方法及推論[J].大學(xué)數(shù)學(xué)2010，26（1）：202.

作者簡介：張環(huán)理（1963-），男，河南西平人，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用、信息系統(tǒng)理論與應(yīng)用。