關于數(shù)學高考中函數(shù)圖像的識別問題的探究

蘇旭景

眾所周知，函數(shù)圖像的識別問題是高考中常見的題型，觀察函數(shù)圖像并能正確解讀出圖像所反映出的函數(shù)性質是“數(shù)形結合法”的基本要求，這也是“數(shù)形結合”的本質所在。

那么如何快速有效地解決此類問題呢？下面結合近幾年的高考題談一談此類問題的常用解決方法。

一、利用函數(shù)的性質解決

要注意挖掘所給函數(shù)解析式本身的隱含條件，即函數(shù)性質如定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期性、正負性、極值點等，同時對于單調性不好識別的函數(shù)有時還要注意導數(shù)的應用。

例1，2013新課標（1）文第9題：函數(shù)f（x）=（1-cosx）sinx在-π，π的圖像大致為（ ）

解析：首先因為f（-x）=-f（x）可知函數(shù)為奇函數(shù)，排除B。

其次只考慮x∈0，π的情形即可，又當x∈0，π時，f（x）≥0，于是排除A。

選項C，D的差別是單調區(qū)間或極值點位置不同，所以可以利用導數(shù)研究。

又因為f'（x）=sin■x-cos■x+cosx=-2cos■x+cosx+1，

由f'（x）=0得cosx=-■或cosx=1即x=■或x=0即為函數(shù)的極值點，故選C。

本例利用了函數(shù)的奇偶性、值域、極值（利用導數(shù)）等性質。

例2，2013 福建文5：函數(shù)f（x）=ln（x■+1）的圖象大致是（ ）

【解析】根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)的定義域為R，故排除B選項

依題意得f（-x）=ln（x■+1）=f（x），即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，

即函數(shù)f（x）的圖像關于y軸對稱，故排除C；

又函數(shù)的值域為點0，+∞，排除D.故選A.

本例通過利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性輕松解決。

二、利用特殊點和極限思想解決

求解已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像的題目的另一有效手段是利用特殊值進行判斷，即在已知函數(shù)的圖像上選取特殊點，判斷選項中的圖像是否過這些點，若不滿足則排除；注意特殊值的選定，一要典型，能定性說明問題；二要簡單，便于推理運算。

當然有時利用函數(shù)的變化趨勢也可以進行選項的排除與篩選。

例3，2011山東：函數(shù)y=■-2sinx的圖象大致是（ ）.

解析：首先因為f（-x）=-f（x）可知函數(shù)為奇函數(shù)，排除A。

因為f（2π）=π，排除B。

在x→+∞時，函數(shù)值選項分別趨于正無窮，排除D，故選C。

本例通過利用函數(shù)的奇偶性，特殊值，極限思想輕松解決。

三、利用圖像變換解決

例4，2012湖北6：已知定義在區(qū)間0，2上的函數(shù)y=f（x）的圖像如圖所示，

則y=-f（2-x）的圖像為（ ）

答案B。解析：f（x）與-f（2-x）的圖像的變換關系是

f（x）關于y軸對稱f（-x）向右平移2個單位長度，

f（2-x）關于x軸對稱-f（2-x）。

當然此題也可用特殊值法解決：當x=0時，y=-f（2）=-1；排除A，D。

當x=1時，y=-f（1）=-1排除C，故選B。

本例利用了函數(shù)圖像的變換或特殊值。

通過上述舉例可見，要想解決好此類識圖問題，應抓住圖像基本的特征并結合相關的性質或利用特殊值、極限思想、函數(shù)圖像變換等才能更好地識別圖像解決問題，

【責編 張景賢】