摘 要:經(jīng)濟(jì)、金融領(lǐng)域是近年來(lái)全世界最受人矚目的領(lǐng)域之一,從某種程度上講,這也是數(shù)學(xué)理論發(fā)展以及應(yīng)用的表現(xiàn)。從隨機(jī)過(guò)程方面入手,探討馬爾科夫預(yù)測(cè)模型上的應(yīng)用。展示金融經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中數(shù)學(xué)建模的重要性與必要性,為數(shù)學(xué)在金融與經(jīng)濟(jì)發(fā)展上的應(yīng)用給出理論基礎(chǔ)的介紹。
關(guān)鍵詞:馬爾科夫鏈 隨機(jī)過(guò)程 狀態(tài)分析
中圖分類號(hào):O211 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1007-3973(2013)010-116-02
1 研究背景
不確定性這一概念在1921年,由奈特在其經(jīng)典名著《風(fēng)險(xiǎn)、不確定性與利潤(rùn)》中提出。他明確地區(qū)分出了不確定性與風(fēng)險(xiǎn)的根本差異——前者是在面對(duì)各種的影響經(jīng)濟(jì)的活動(dòng)時(shí),經(jīng)濟(jì)行為人無(wú)法全面而準(zhǔn)確的觀察市場(chǎng)、分析波動(dòng)和得到未來(lái)預(yù)期的內(nèi)外因素。凱恩斯在此基礎(chǔ)上發(fā)展了不確定性這一概念:由于參與者自己對(duì)每一時(shí)刻的價(jià)格變化都是不確定的,因此行為人本身是不可能獲得關(guān)于價(jià)格均衡的全部情報(bào)的。歸根結(jié)底,在經(jīng)濟(jì)世界中,壓根就沒(méi)有所謂能讓預(yù)期全部得以實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定狀態(tài),所以在某種程度上來(lái)說(shuō)凱恩斯經(jīng)濟(jì)學(xué)就是研究,在一個(gè)模糊不確定的、無(wú)法用概率準(zhǔn)確描述的社會(huì)中,預(yù)期的產(chǎn)生與影響行為的途徑。
基于以上認(rèn)知,我們可以確定動(dòng)態(tài)不確定性分析較以往的靜態(tài)分析的優(yōu)越性,因而不斷朝著應(yīng)用動(dòng)態(tài)隨機(jī)模型發(fā)展的時(shí)代已經(jīng)到來(lái)。而從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看,由于模型中我們通常用隨機(jī)過(guò)程來(lái)表示其不確定性,因此實(shí)質(zhì)上不確定性問(wèn)題就是通過(guò)隨機(jī)過(guò)程表達(dá)不確定性、運(yùn)用隨機(jī)分析處理模型的問(wèn)題。而馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)法就是一種應(yīng)用性較強(qiáng)的隨機(jī)過(guò)程建模辦法,運(yùn)用其馬爾科夫鏈原理可以將收集的數(shù)據(jù)資料用概率轉(zhuǎn)移矩陣等數(shù)理方法來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)果。在實(shí)踐中,這一應(yīng)用已經(jīng)有了部分實(shí)例。
2 馬爾科夫鏈理論概要
2.1 Markov鏈與Markov過(guò)程
2.2 概率轉(zhuǎn)移矩陣
馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率,即當(dāng)給定的馬爾科夫鏈Xn在狀態(tài)i時(shí),Xn+1處于狀態(tài)j的條件概率,即隨機(jī)變量由當(dāng)前狀態(tài)變化到下一刻狀態(tài)之間的固定概率p{Xn+1=jXn-1}。其一步轉(zhuǎn)移矩陣為:
概率轉(zhuǎn)移矩陣的某一行代表在某一時(shí)期,隨機(jī)變量可能處于的各種狀態(tài)i1、i2、i3…,某一列代表下一時(shí)期,隨即變量可能變成的各種狀態(tài)j1、j2、j3…。矩陣的任何一個(gè)元素P表示某時(shí)期其變量由狀態(tài)i在下一時(shí)期變成狀態(tài)的概率。因?yàn)楦怕适欠秦?fù)的(0≤P≤1),并且概率必然存在(狀態(tài)不變也試做一種改變,例如從狀態(tài)i變成狀態(tài)i),所以,,j≥0,
以此類推,N步轉(zhuǎn)移概率矩陣就是,過(guò)程由初始狀態(tài)i,經(jīng)過(guò)n步變化后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率,記作P。N步概率轉(zhuǎn)移矩陣是以一個(gè)矩陣的形式反映出多步隨機(jī)轉(zhuǎn)移過(guò)程的概率,實(shí)質(zhì)上就是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的n次冪。
2.3 馬爾科夫鏈理論的應(yīng)用條件
(1)經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間后,如果變化過(guò)程比較平穩(wěn),系統(tǒng)將逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài),且該狀態(tài)與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。
(2)系統(tǒng)每一次變化后的狀態(tài)僅與變化前的狀態(tài)相關(guān),而與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。
例如隨機(jī)變量從狀態(tài)i3變化到i4,其中i4只與i3有關(guān),且P不斷趨近于一個(gè)穩(wěn)定值。
3 馬爾科夫預(yù)測(cè)方法
運(yùn)用基于馬爾科夫鏈理論的馬爾科夫預(yù)測(cè)法,當(dāng)代經(jīng)營(yíng)者可以預(yù)測(cè)出市場(chǎng)的占有率變化、銷售增長(zhǎng)或衰退、期望利潤(rùn)率等等。相較于現(xiàn)有的其他預(yù)測(cè)方法,馬爾科夫預(yù)測(cè)法無(wú)需連續(xù)的信息,只需一部分近期或者現(xiàn)在的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)(即離散的數(shù)據(jù))就可以進(jìn)行預(yù)測(cè),大大降低了對(duì)數(shù)據(jù)收集的要求。下面本文將簡(jiǎn)單介紹下通過(guò)馬爾科夫預(yù)測(cè)法進(jìn)行企業(yè)的銷售狀態(tài)預(yù)測(cè)的建模分析。
(1)初始狀態(tài)概率的建立。
狀態(tài):是指事物在某一時(shí)刻上所處的某種狀態(tài)。例如假定某商品暢銷為1,商品滯銷為2,那么該商品的狀態(tài)空間E=(1,2)。 (下轉(zhuǎn)第131頁(yè))(上接第116頁(yè))
狀態(tài)概率:指的是每種狀態(tài)出現(xiàn)的可能性。這里用 i(t)表示,i代表商品銷售狀態(tài),t代表當(dāng)前時(shí)間。例如某商品剛投入市場(chǎng)時(shí),暢銷可能性為0.5,則 1(0)=0.5。即 1(0)=0.5就是某商品的初始狀態(tài)概率。
概率向量:是指其中各元素非負(fù),且總和為1的行向量。即,j≥0,且,假定A=(0.2,0.3,0.5),B=(-0.5,0.7,0.8),則A是概率向量,B不是。
(2)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的建立。
所謂狀態(tài)轉(zhuǎn)移是指事物從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)。例如商品從滯銷轉(zhuǎn)變?yōu)闀充N;虧損變成盈利等等。例如某商品某月暢銷,下個(gè)月繼續(xù)暢銷可能性為0.8,變?yōu)闇N可能性為0.2;假如本月滯銷,下個(gè)月變?yōu)闀充N可能性為0.6,繼續(xù)滯銷可能性為0.4。則該商品的轉(zhuǎn)移概率矩陣為:
(3)預(yù)測(cè)實(shí)例。
從上述例子可見(jiàn),不管目前該商品狀態(tài)如何,經(jīng)過(guò)一段較長(zhǎng)時(shí)間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移后,暢銷與滯銷的概率將逐步趨于穩(wěn)定。這也滿足馬爾科夫鏈理論的應(yīng)用條件,即足夠大時(shí),假定轉(zhuǎn)移概率矩陣P不變,則狀態(tài)概率將達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),且當(dāng)前值與初始值無(wú)關(guān)。
4 結(jié)論
據(jù)上預(yù)測(cè)分析可看出,運(yùn)用馬爾柯夫鏈理論可以預(yù)測(cè)未來(lái)的商品銷售趨勢(shì)。通過(guò)改進(jìn)以下幾個(gè)方面,可以使建模分析更有效、更迅速地應(yīng)用于實(shí)踐:
(1)注意初始數(shù)據(jù)的收集。詳盡的初始數(shù)據(jù)能夠極大的幫助改善預(yù)測(cè)的可信度,同時(shí)也能夠充分體現(xiàn)市場(chǎng)變化的波動(dòng)與規(guī)律性,能夠幫助決策者做出更加有針對(duì)性的決策。
(2)豐富系統(tǒng)狀態(tài)。上述應(yīng)用中只舉了比較簡(jiǎn)單的例子,因此只設(shè)定了兩種系統(tǒng)狀態(tài),但實(shí)際應(yīng)用中,可以盡量詳細(xì)的根據(jù)情況設(shè)定多種狀態(tài),通過(guò)matlab等計(jì)算機(jī)軟件輔助,從而達(dá)到準(zhǔn)確、高效的預(yù)測(cè)出未來(lái)趨勢(shì),更符合商業(yè)化需求。
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