基于非線性混合效應(yīng)模型的蘋果幼木生長規(guī)律的研究

摘 要：以蘋果幼木為例，描述其樹干周長隨時(shí)間變化的Logistic 模型，并運(yùn)用傳統(tǒng)的非線性最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建非線性混合效應(yīng)模型，并利用R軟件進(jìn)行分析及參數(shù)估計(jì)。然后，對兩種擬合效果進(jìn)行對比，結(jié)果表明，運(yùn)用非線性混合效應(yīng)模型得到的參數(shù)值精度要高，最終的預(yù)測值和實(shí)測值也具有良好的一致性，說明非線性混合效應(yīng)模型可以更加有效的處理生長數(shù)據(jù)，其建模思想及程序?qū)τ啄旧L規(guī)律的研究具有一定指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：蘋果幼木 Logistic 模型 非線性最小二乘法 非線性混合效應(yīng)模型

中圖分類號：S661 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-3973（2013）010-114-02

蘋果樹是目前栽培最廣的果樹之一，在中國也有2000多年的歷史。而其果實(shí)營養(yǎng)豐富，色、香、味俱全，在抗氧化、抗衰老、抗癌、防治心血管疾病方面也有很好的保健作用，深受廣大人民喜愛。蘋果幼木的生長數(shù)據(jù)為分類測量數(shù)據(jù)，為了研究蘋果幼木的生長規(guī)律，本文利用其樹干周長的生長數(shù)據(jù)，構(gòu)造了Logistic 模型，并運(yùn)用非線性最小二乘法求解，在此基礎(chǔ)上，建立了非線性混合效應(yīng)模型，利用R統(tǒng)計(jì)軟件中的nlme 程序包進(jìn)行求解，其建模思想及程序?qū)τ谟啄镜纳L數(shù)據(jù)研究開拓了新思路。

1 非線性混合效應(yīng)模型

1.1 模型基本結(jié)構(gòu)

。

2 實(shí)例分析

為了研究蘋果幼木的生長規(guī)律，隨機(jī)選取了6棵蘋果幼木，分別在6個(gè)時(shí)間點(diǎn)測量了其樹干周長，得到數(shù)據(jù)如表1。

我們分別運(yùn)用非線性回歸模型和非線性混合效應(yīng)模型來分析其生長規(guī)律。

首先，對于同一棵樹，在不同時(shí)間點(diǎn)通過測量得到的樹干周長，我們用直線連接，得到如圖1圖像，容易看到幼木的整體生長趨勢是一致的，但是不同的幼木之間卻存在著較大差異。

其中：為樹干的漸進(jìn)周長，為達(dá)到樹干的漸進(jìn)周長一半時(shí)所需時(shí)間，為生長幅度，其中：和是非線性的， ij相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布 ij～N（0， 2）。

在R統(tǒng)計(jì)軟件中，可以通過加載nlme程序包，運(yùn)用非線性nls方程來求解參數(shù)。由于需要設(shè)定初始值，在圖1中可以看出，樹干的平均漸進(jìn)周長是180，達(dá)到樹干的漸進(jìn)周長一半時(shí)所需平均時(shí)間為700，而從圖形中看出，大概要1150天幼木才達(dá)到漸進(jìn)周長的，故的初始值為450，將數(shù)據(jù)代入，從中可以得到各個(gè)參數(shù)的值=192.44，=759.18，=377.19，三個(gè)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別是17.65，106.16，74.62。不難發(fā)現(xiàn)，參數(shù)的估計(jì)值和我們最初設(shè)定的初始值是非常接近的，但是標(biāo)準(zhǔn)差偏大。從圖2可以看出，殘差的變化區(qū)間很大，位于-30到40之間，且殘差受不同樹的影響非常大。

一個(gè)比較簡單的方法可以解釋樹的效應(yīng)，即對每棵樹進(jìn)行nls函數(shù)擬合，產(chǎn)生不同的參數(shù)，也就是 nlslist 模型。這種方法將會導(dǎo)致參數(shù)的過量化，而使用非線性混合效應(yīng)模型將在簡單的nls模型和過量參數(shù)的nlslist 模型之間達(dá)到一個(gè)平衡，它包含了適當(dāng)?shù)膮?shù)，同時(shí)運(yùn)用隨機(jī)效應(yīng)來解釋不同樹生長的差異。

2.2 運(yùn)用非線性混合效應(yīng)模型求解參數(shù)

其中：，和和模型（3）的含義相同， 為固定效應(yīng)，bi為隨機(jī)效應(yīng)， ij相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布 ij～N（0， 2）。在這里，每個(gè)參數(shù)，和都看做是具有隨機(jī)效應(yīng)的。

R中的nlme程序包中自帶有求解函數(shù)，將數(shù)據(jù)代入，運(yùn)用nlme函數(shù)即可得到各個(gè)參數(shù)的值=190.75，=749.75，=368.85，和運(yùn)用最小二乘法算法得到的結(jié)果稍有一點(diǎn)差異。各個(gè)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別是14.32，25.40，28.14。

誤差標(biāo)準(zhǔn)差和殘差值則大大降低，說明運(yùn)用非線性混合效應(yīng)模型可以大大的降低誤差。是隨機(jī)效應(yīng)，可以解釋不同樹生長水平的差異。

與圖2相比，運(yùn)用非線性混合效應(yīng)模型得到的殘差大大降低，基本上位于-5到5之間，圖3顯示出殘差大致分布在0附近，且非常穩(wěn)定。顯然，組內(nèi)誤差是存在的。

圖4顯示了實(shí)際測量值和運(yùn)用nlme模型得到的預(yù)測值，可以看到，兩者的差異很小，具有較強(qiáng)的一致性，說明建立的非線性混合效應(yīng)模型能夠很好的處理幼木生長數(shù)據(jù)，反應(yīng)個(gè)體間差異。

3 結(jié)論

本文運(yùn)用蘋果幼木的生長數(shù)據(jù)，結(jié)合其生長規(guī)律，建立了Logistic模型，再分別使用非線性最小二乘法和非線性混合效應(yīng)模型來估計(jì)其中參數(shù)。結(jié)果表明，考慮個(gè)體效應(yīng)的非線性混合效應(yīng)模型，既能夠確定幼木生長的平均水平，也可以反應(yīng)生長水平受不同幼木影響，最后得到的參數(shù)值要精確，誤差也大大降低。同時(shí)，考慮到樣本量偏少，難以充分的分析固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)對群體參數(shù)的影響，這也是本文的不足之處。

R是免費(fèi)統(tǒng)計(jì)軟件，運(yùn)用其進(jìn)行生長數(shù)據(jù)的處理，求解非線性混合效應(yīng)模型中的參數(shù)，可以得到很好的結(jié)果。本研究為分類測量數(shù)據(jù)，包括果樹生長數(shù)據(jù)的分析提供了廣闊的應(yīng)用前景。

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