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    第二大特征值不超過1的一些積圖

    2013-12-31 00:00:00譚榮
    中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊 2013年22期

    摘 要:在這篇文章里,我們討論了一些第二大特征值不超過1的一些特殊積圖類型。涉及到的相關(guān)概念:特征值、積圖、幾種特殊類型的圖,會在序言中詳細給出。

    關(guān)鍵詞:積圖 第二大特征值

    中圖分類號:G420 文獻標識碼:A 文章編號:1673-9795(2013)08(a)-0148-02

    1 序言

    為了方便下述工作的進行,先介紹一些基本概念。我們將圖G通常寫成的形式,這里,分別表示圖G的點集和邊集。如果在點和之間有一條屬于的邊連接,則稱點和點是相鄰的,或稱點是點的一個鄰點,也稱邊與點和點是關(guān)聯(lián)的。和點關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目稱為點的度。設(shè)是的一個任意的頂點集,即,那么由導(dǎo)出的G的子圖指的是以為頂點集,在中任意兩點的鄰接關(guān)系與這兩個點在作為中點時的鄰接關(guān)系保持一致的圖。令是一個頂點集為的圖,它的鄰接矩陣記為,定義如下:如果與相鄰,那么;否則。圖的特征多項式是,記作。矩陣是實對稱矩陣,我們假設(shè)≥≥…≥是的全部特征值,并且這些特征值與圖的頂點的排列順序無關(guān),即它們不依賴于的頂點順序。我們也記(),則稱為圖的譜。其中稱為圖的鄰接矩陣的第大特征值,顯然,是圖的鄰接矩陣的最大特征值,(有時也被稱為指數(shù)),并且我們將它稱為圖的譜半徑,是第二大特征值。

    設(shè)X和Y是兩個簡單圖,它們的積圖具有頂點集,且積圖中的點與相鄰當且僅當或者或者,這里。

    下面介紹幾種特殊類型的圖:若中每個頂點的度均為2,則稱為圈。長為的路表示一個起于終于的個相異點的序列,并且連續(xù)的點之間是相鄰的。一個圖中每一對不同的頂點都有一條邊相連,稱為完全圖。二部圖是指一個圖,它的頂點集可以分解成兩個子集X和Y,使得任何一條邊都有一個端點在X 中,而另一個端點在Y中。(我們把這樣一種分類稱為圖的一個二分類)。完全二部圖是指具有二分類的簡單二部圖,其中X 的每個頂點都與Y的每個頂點相連,若,,我們將這樣的完全二部圖記為。接下來,我們將用和分別表示有個點的圈,路,完全圖,用表示兩部分分別為的完全二部圖。

    Cvetkovic在1981年提出了這樣一個問題:是否有可能確定所有第二大特征值不超過1的圖類?在隨后的一些年里,人們已經(jīng)得到了關(guān)于這個問題的一些結(jié)果。其中,Y.Hong在文獻[4]中確定了所有的樹;J.L.Shu在文獻[5]中確定了所有≤1的樹,G.H.Xu在文獻[6]中確定了所有≤1的單圈圖;S.G.Guo在文獻[3]中確定了所有≤1的雙圈圖。

    在這篇文章里,我們分別取X和Y為,,進而確定了一些第二大特征值不超過1的一些特殊的積圖類型。

    2 主要結(jié)果

    引理1:令,如果并且,

    則。

    由引理1我們可以看出,若是的導(dǎo)出子圖,則。

    引理2:圈的譜是,路的譜是。

    根據(jù)引理1和2,我們有以下結(jié)論:對于≤1的簡單圖,它既不包含長大于6的導(dǎo)出圈,也不包含長大于4的導(dǎo)出路。

    設(shè)是的一個劃分,,如果中的任意一點在中的鄰點的個數(shù)都是恒定的,則稱是的一個等價劃分。用的這個元素作為個點,用表示中連接第個元素到第個元素的邊的條數(shù),我們按這種方法做出的圖叫做在上的商集,且該商集的鄰接矩陣為。

    引理3:如果是圖上的一個等價劃分,則的特征多項式整除的特征多項式。

    根據(jù)上述定義和引理,我們將逐步得出下面的主要結(jié)果。

    定理4:設(shè)和是兩個完全圖,其≥≥中。那么≤1當且僅當。

    證明:令,。為了記法簡單,我們將積圖中的點記為,其中1≤i≤3,1≤j≤m。容易看出,有一個由以下3個部分構(gòu)成的等價劃分。

    ,,

    因此,。

    容易看出(二重根)是的三個特征值,根據(jù)引理3我們知道,也是的特征值,并且≥。這樣,只有=3時,才有可能不大于1。又由MATLAB知道,。

    從而,我們知道:結(jié)論成立。

    定理5:設(shè)是一個≥3階的完全圖,是一個≥4長的圈。那么。

    證明:我們考察的情形。

    令,。為了記法簡單,我們將積圖中的點記為,其中1≤i≤4,1≤j≤n。容易看出,有一個由以下4個部分構(gòu)成的等價劃分。

    因此,

    容易得出,,(二重根),是的四個特征值,根據(jù)引理3我們知道,,,也是的特征值,并且≥。容易看出,當n≥3時,≥2。由MATLAB知道,。這樣根據(jù)引理3,我們有。類似地可以證明,。于是根據(jù)引理2,我們知道結(jié)論成立。

    定理6:設(shè)是一個完全圖,是一條路,其中n≥3,m≥3。那么≤1當且僅當。

    證明:我們考察。

    令,,為了記法簡單,我們將積圖中的點記為,其中1≤i≤3,1≤j≤n。容易看出,有一個由以下3個部分構(gòu)成的等價劃分。

    因此,

    容易得出,,,是的三個特征值,根據(jù)引理3,我們知道,,,也是的特征值,并且≥。容易看出,n≥3時,≥2。

    這樣根據(jù),引理3,我們有。又由MATLAB,知道。

    從而,我們知道結(jié)論成立。

    定理7:≤1當且僅當。

    證明:由MATLAB可知,,,,,

    。于是由引理2知道,結(jié)論成立。

    定理8:設(shè)n≥2,m≥2。那么≤1當且僅當或3。

    證明:根據(jù)MATLAB,我們知道,,。由引理1知道,結(jié)論成立。

    定理9:設(shè)n≥2,2≤≤。那么≤1當且僅當。

    證明:根據(jù)MATLAB,,,。這樣根據(jù)引理1,我們知道結(jié)論成立。

    定理10:設(shè)2≤≤。那么。

    證明:我們考察。令 ,。我們將積圖中的點(x,y)記為的形式。容易看出,有一個由以下6個部分構(gòu)成的等價劃分。

    因此,

    通過計算,我們得出(其中,均為二重根),0是的特征值,根據(jù)引理3我們知道,這些根也是的特征值,并且≥。當時,,這樣根據(jù)引理3我們有。同樣地可以證明,,。于是由引理2,結(jié)論成立。

    定理11:設(shè)2≤≤。那么。

    證明:我們考察。令, ,將積圖中的點(x,y)記為的形式。容易看出,有一個由以下8個部分構(gòu)成的等價劃分。

    因此,

    通過計算,我們可以得出,0,1,-1為的5個特征值。由此我們斷定。根據(jù)引理3,。于是由引理1,我們知道,結(jié)論成立。

    至此,我們確定了積圖中由所構(gòu)成的所有滿足第二大特征值不超過1的圖類。

    參考文獻

    [1]D.Cvetkovic.On graphs whose second largest eigenvalue does not exceed 1[J].Pub1.Inst.Math(Beograd),1982,31(45):15-20.

    [2]C.Godsil, Gordon Royle.Algebraic Graph Theory[M].New York:Springer Verlag,2001.

    [3]Shu-Guang Guo.On bicyclic graphs whose second largest eigenvalue does not exceed 1[J].Linear Algebra and its Applications,2005(407):201-210.

    [4]Y.Hong.Sharp low bounds on the eigenvalues of tree[J]. Linear Algebra And Its Apllication,1980(113):101-105.

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    [6]G.H.Xu.On uncyclic graph whose second largest eigenvalue does not exceed 1[J].Discrete Application Mathematics,2004(136):117-124.

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