探析初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題

摘 要：隨著新課標(biāo)的全面實施，人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)已深入人心。近幾年來，動點問題頻頻頻出現(xiàn)在各地中考、競賽試卷中。這類試題突出了對學(xué)生基本數(shù)學(xué)素質(zhì)的測試，加強了探究和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)了學(xué)生靈活運用知識解決實際問題能力，對學(xué)生思維能力的提高有較大幫助，解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；幾何問題；新課程

動點運動型問題一般就是在三角形、四邊形等一些幾何圖形上或函數(shù)圖象上，設(shè)計一個或幾個動點，并對這些點在運動變化的過程中相伴隨著的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究考察，動點運動型問題常常集幾何、代數(shù)知識于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強的綜合性。

動點運動型問題有時把函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系起來.當(dāng)一個問題是求有關(guān)圖形的變量之間關(guān)系時，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解；當(dāng)求圖形之間的特殊位置關(guān)系和一些特殊的值時，通常建立方程模型去求解。

一、點動問題，主要從幾個方面來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果。常見有探究與動點相關(guān)的線與確定的線之間的關(guān)系。如位置關(guān)系（平行或垂直，其中平行、相等有可能融合在平行四邊形、等腰梯形中）、數(shù)量關(guān)系（相等或函數(shù)關(guān)系）和動點相關(guān)的三角形是否為等腰三角形或相似三角形等。

二、線動問題，主要以某一條特征線在運動時作為主線，涉及相關(guān)幾何圖形的截取，圖形的確定（特別是平行四邊形的確定），多邊形的割補，面積的變換（特別是結(jié)合平移變換），它主要的功能是考查學(xué)生的想象能力、連續(xù)的分段思想、數(shù)學(xué)建模思想。

例1. 如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D。

（1）當(dāng)∠BQD=30°時，求AP的長；

（2）當(dāng)運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由。

【考點】動點問題，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。

【分析】（1）由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°，設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=■QC，即6﹣x=■（6+x），求出x的值即可。

（2）作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=■AB，由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3，故當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變。

例2. 如圖，已知一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與x軸相交于點A，與反比例函數(shù)y2=■的圖象相交于B（-1，5）、C（■，d）兩點，點P（m，n）是一次函數(shù)y1=kx+b的圖象上的動點。

（1）求k、b的值；

（2）設(shè)-1

（3）設(shè)m=1-a，如果在兩個實數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，實數(shù)a的取值范圍。

【考點】反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合問題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式組的應(yīng)用。

【分析】（1）根據(jù)曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，由B的坐標(biāo)求得c=-5，從而得到y(tǒng)2=-■ 由點C在y2=-■上求得d=-2，即得點C的坐標(biāo)；由點B、C在y1=kx+b上，得方程組，解出即可求得k、b的值。

（2）求出△PAD的面積S關(guān)于n的二次函數(shù)（也可求出關(guān)于m），應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理即可求得面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)。

（3）由m≠n得到a≠0。分a>0和a<0兩種情況求解。

例3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（m，m），點B的坐標(biāo)為（n，﹣n），拋物線經(jīng)過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C。已知實數(shù)m、n（m

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側(cè)），連接OD、BD。

①當(dāng)△OPC為等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；

②求△BOD 面積的最大值，并寫出此時點D的坐標(biāo)。

【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解一元二次方程，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值。

【分析】（1）首先解方程得出A，B兩點的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可。

（2）①首先求出AB的直線解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出當(dāng)OC=OP時，當(dāng)OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，當(dāng)OC=PC時分別求出x的值即可。

②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù)，從而得出最值即可。

解這類問題的基本策略是：

1.動中覓靜：這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動中覓靜就是在運動變化中探索問題中的不變性。

2.動靜互化：“靜”只是“動”的瞬間，是運動的一種特殊形式，動靜互化就是抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動”與“靜”的關(guān)系。

3.以動制動：以動制動就是建立圖形中兩個變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運動函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點來研究變動元素的關(guān)系。

具體做法是：全面閱讀題目，了解運動的方式與形式，全方位考察運動中的變與不變的量及其位置關(guān)系；應(yīng)用分類討論思想，將在運動過程中導(dǎo)致圖形本質(zhì)發(fā)生變化的各種時刻的圖形分類畫出，變“動”為“靜”；在各類“靜態(tài)圖形”中運用相關(guān)的知識和方法（如方程、相似等）進(jìn)行探索，尋找各個相關(guān)幾何量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

總之，解決動態(tài)幾何問題的關(guān)鍵是要善于運用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住變化中的不變，以不變應(yīng)萬變。