關(guān)于二次函數(shù)的學(xué)習與運用

由于學(xué)生在初中階段的接受能力有限，數(shù)學(xué)方面的知識基礎(chǔ)較為薄弱。所以雖然二次函數(shù)在初中教材中有較為詳細的研究，但是機械化的學(xué)習是很難理解這部分知識細節(jié)的。進入高中階段的學(xué)習以后，尤其是在高三的復(fù)習階段，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)，即圖象以及奇偶性、單調(diào)性、有界性，進行靈活應(yīng)用，對二次函數(shù)還需再深入學(xué)習。

一、深化理解函數(shù)

函數(shù)的定義在以前的學(xué)習中已經(jīng)了解了，而在高中階段，學(xué)生在完成集合的學(xué)習的前提下接觸到了映射，繼而再次深化理解了函數(shù)的概念，也就是利用映射的知識點來解釋分析函數(shù)。我們可以把二次函數(shù)作為特例，這樣就可以讓學(xué)生在所有的知識的基礎(chǔ)上，更加深入的了解函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+ bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應(yīng)，記為：？（x）= ax2+ bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進一步處理如下問題：

類型I：已知？（x）= 2x2+x+2，求？（x+1）

這里不能把？（x+1）理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

類型Ⅱ：設(shè)（x+1）=x2-4x+1，求？（x）

這個問題理解為，已知對應(yīng)法則？下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。

（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x2-6x+6

（2） 變量代換：它的適應(yīng)性強，對一般函數(shù)都可適用。

令t=x+1，則x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6從而？（x）= x2-6x+6

二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象

在我們學(xué)習二次函數(shù)的過程中，必須要讓我們的學(xué)生對于函數(shù)y=ax2+bx+c在（-∞，-b2a ]及[-b2a ，+∞）區(qū)間上的單調(diào)性的結(jié)論進行仔細嚴謹?shù)恼撌鲎C明，使它建立在嚴密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當?shù)木毩?，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。

（1）y=x2+2|x-1|-1

（2）y=|x2-1|

（3）= x2+2|x|-1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ設(shè)？（x）=x2-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并畫出 y=g（t）的圖象

解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時取最小值-2

當1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2

當t>1時，g（t）=f（t）=t2-2t-1

當t<0時，g（t）=f（t+1）=t2-2

t2-2， （t<0）

g（t）= -2，（0≤t≤1）

t2-2t-1， （t>1）

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補充一些練習。

如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數(shù)的值域。

三、二次函數(shù)的知識，可以準確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：

類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0

（Ⅰ）當X∈（0，x1）時，證明X

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明x0< x2 .

解題思路：

本題要證明的是x

（Ⅰ）先證明x

因為00，又a>0，因此f（x） >0，即f（x）-x>0.至此，證得x

根據(jù)韋達定理，有 x1x2=ca ∵ 0？（0），所以當x∈（0，x1）時？（x）<？（x1）=x1，

即x<？（x）

（Ⅱ） ∵？（x）=ax2+bx+c=a（x+-b2a ）2+（c- ），（a>0）

函數(shù)？（x）的圖象的對稱軸為直線x=- b2a ，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b2a ，因為x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)違達定理得，x1+x2=-b-1a ，∵x2-1a <0，

∴x0=-b2a =12 （x1+x2-1a ）

二次函數(shù)，是所學(xué)過的最基礎(chǔ)的冪函數(shù)，其內(nèi)容多姿多彩，拓展面也廣。我們可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。

通過對這些問題的探究，懂得在學(xué)習過程中的一些發(fā)現(xiàn)為今后的生活實踐積累一定的經(jīng)驗。最后對學(xué)生多方面地評價，多多鼓勵學(xué)生，適當對學(xué)生加強訓(xùn)練同時發(fā)動學(xué)生互相檢查，共同討論交流學(xué)習先進經(jīng)驗，一同排除前進路上的障礙這樣才能促進學(xué)生全面和諧發(fā)展，讓我們感到自己能夠在知識的大海上暢游，是學(xué)習的主人，是戰(zhàn)勝困難的強者。

二次函數(shù)的范圍廣闊，筆者簡述至此，望各位研究教學(xué)者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識，使我們對它的研究更深入。高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“有效性”，就是在有效的教學(xué)時間內(nèi)體現(xiàn)出的教學(xué)效果和教學(xué)效率。教學(xué)要講求效率，教學(xué)方法要講求效果。面對新課改，教師要盡最大可能采用效果最好、效率最高的教學(xué)方法，讓課堂的每一分鐘都體現(xiàn)出價值！