小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知分析、模擬及其教學(xué)啟示

[摘 要] 問題解決認(rèn)知過程分析是提高問題解決能力的有效途徑和數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)問題解決是復(fù)雜的認(rèn)知過程，認(rèn)知分析和模擬提供了研究學(xué)習(xí)過程的新視角。文章分析了認(rèn)知模擬的相關(guān)研究，綜合心理學(xué)、教育學(xué)、腦科學(xué)、認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)、人工智能等相關(guān)學(xué)科研究成果，以小學(xué)數(shù)學(xué)“異分母相加”問題為例，分析了問題解決認(rèn)知過程，實(shí)現(xiàn)了認(rèn)知模擬及可視化，在此基礎(chǔ)上討論了認(rèn)知分析與模擬對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué)； 問題解決； 認(rèn)知分析； 認(rèn)知模擬

[中圖分類號(hào)] G434 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A

[作者簡(jiǎn)介] 魏雪峰（1981—），男，山東萊蕪人。講師，博士，主要從事問題解決認(rèn)知模擬研究。E-mail：weixfeng@gmail.com。

一、引 言

認(rèn)知研究已成為世界大國(guó)國(guó)家科技戰(zhàn)略特別關(guān)注的領(lǐng)域之一?！秶?guó)家中長(zhǎng)期科學(xué)和技術(shù)發(fā)展規(guī)劃綱要（2006—2020年）》將“腦科學(xué)與認(rèn)知科學(xué)”列為我國(guó)科技中長(zhǎng)期發(fā)展規(guī)劃的八大前沿科技領(lǐng)域之一 。認(rèn)知科學(xué)就是要“說明和解釋人在完成認(rèn)知活動(dòng)時(shí)是如何進(jìn)行信息加工的”，[1]通過在心智、腦科學(xué)和教育（Mind， Brain and Education）之間建立橋梁，將最新成果應(yīng)用于學(xué)習(xí)和教育過程。隨著學(xué)習(xí)科學(xué)的發(fā)展，許多研究者關(guān)注學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)過程。我國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也指出，“課程內(nèi)容要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法”。[2]數(shù)學(xué)問題解決是典型的學(xué)習(xí)活動(dòng)，分析問題解決認(rèn)知過程有助于深入了解學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律。本文分析了認(rèn)知模擬的相關(guān)研究，綜合心理學(xué)、教育學(xué)、腦科學(xué)、認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)、人工智能等相關(guān)學(xué)科研究成果，以小學(xué)數(shù)學(xué)程序性知識(shí)典型問題為例，分析問題解決認(rèn)知過程，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知模擬及可視化顯示，并討論對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示。

二、認(rèn)知模擬相關(guān)研究

許多研究者使用計(jì)算機(jī)模擬的方法來研究問題解決的內(nèi)部過程。紐厄爾和西蒙編寫了第一個(gè)模擬人類解決問題的計(jì)算機(jī)程序——邏輯理論家（Logic Theorist，簡(jiǎn)稱LT），成功模擬了人證明符號(hào)邏輯定理的認(rèn)知過程[3]。LT證明了Whitehead所著數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)原理》中的全部52條定理，實(shí)現(xiàn)了對(duì)人類啟發(fā)式搜索的問題解決過程的模擬。紐厄爾和西蒙開發(fā)了通用問題解決者（General Problem Solver，簡(jiǎn)稱GPS）程序[4]。該程序主要是依據(jù)“手段—目的分析”方法編寫而成，成功模擬了定理證明、河內(nèi)塔（Tower of Hanoi）、傳教士和野人過河等多種不同類型的問題。Hiller等人開發(fā)了模擬人譜寫樂曲的計(jì)算機(jī)程序[5]；紐厄爾等人開發(fā)了模擬人下棋的程序[6]；紐厄爾等人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)修改其自身許多方面，進(jìn)而達(dá)到“學(xué)習(xí)”的計(jì)算機(jī)程序[7]。西蒙對(duì)頓悟、理解等思維和問題解決的行為進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬，他認(rèn)為計(jì)算機(jī)模擬是一個(gè)預(yù)測(cè)和解釋大量思維現(xiàn)象的強(qiáng)有力工具[8]。

在數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模擬領(lǐng)域，安德森等人使用ACT-R模擬了代數(shù)方程式“7x+3=38”的解題過程[9]，魏雪峰對(duì)典型陳述性知識(shí)小學(xué)五年級(jí)“眾數(shù)”問題實(shí)現(xiàn)了認(rèn)知模擬[10]。幾何證明是重要的數(shù)學(xué)問題，Gelernter等人開發(fā)了模擬人證明幾何定理的計(jì)算機(jī)程序——幾何機(jī)器（Geometry Machine）[11]，李莉等人使用ACT-R實(shí)現(xiàn)了平行證明幾何問題的認(rèn)知模擬[12]。我國(guó)學(xué)者吳文俊院士提出了一種幾何定理機(jī)器證明的數(shù)學(xué)算法，被稱為“吳方法”[13]。張景中院士等人在“吳方法”的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，使新的算法實(shí)現(xiàn)了幾乎所有幾何證明題的自動(dòng)解題[14]。

綜合以上分析可知，現(xiàn)有的數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模擬主要存在以下不足。

（1）數(shù)學(xué)問題的計(jì)算機(jī)自動(dòng)解答，雖然取得了巨大進(jìn)展，但僅從機(jī)器角度實(shí)現(xiàn)，和數(shù)學(xué)課程所要求的解答有很大的不同，沒有考慮學(xué)生問題解決的過程，解題所用的方法也常常超出學(xué)生所掌握的知識(shí)范圍[15]，不能對(duì)教學(xué)提供幫助和指導(dǎo)。

（2）卡耐基梅隆大學(xué)安德森（Anderson J. R.）教授帶領(lǐng)的研究團(tuán)隊(duì)對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的認(rèn)知過程進(jìn)行了研究，并提出了用于指導(dǎo)模擬和理解人類認(rèn)知的ACT-R理論，但沒有給出如何分析小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知過程。

（3）已有研究?jī)H從各自視角對(duì)數(shù)學(xué)問題解決進(jìn)行了分析，未能綜合相關(guān)學(xué)科的研究成果，缺乏實(shí)質(zhì)性的學(xué)科交叉研究。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模擬

（一）典型問題

研究過程中分析的內(nèi)容是小學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第四單元“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”中的“異分母相加”知識(shí)點(diǎn)。[16]“異分母相加”知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)目標(biāo)是學(xué)會(huì)計(jì)算兩個(gè)異分母相加，是小學(xué)數(shù)學(xué)程序性知識(shí)典型問題。

在學(xué)習(xí)“異分母相加”之前，學(xué)生已經(jīng)知道自然數(shù)2、3、5的倍數(shù)特征，了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。在1～ 100的自然數(shù)中，能找出10以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)，能找出10以內(nèi)兩個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。

根據(jù)“異分母相加”知識(shí)點(diǎn)和學(xué)生的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了以下題目：

“請(qǐng)給長(zhǎng)方形紙張涂顏色，整張紙的1/3涂成黃色，整張紙的2/5涂成黑色，顏色不能相重（即涂黃色的位置不能涂黑色，涂黑色的地方不能涂黃色），黃色和黑色共占整張紙的幾分之幾？”

（二）認(rèn)知過程分析

認(rèn)知模型是分析問題解決認(rèn)知過程的依據(jù)。以小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模型（A Cognitive Model of Mathematical Problem Solving，CMMPS）[17]為分析框架，該認(rèn)知模型包括視覺模塊（Visual Module）、產(chǎn)生式模塊（Production Module）、提取模塊（Retrieval Module）、目標(biāo)模塊（Goal Module）、問題狀態(tài)或問題空間模塊（Problem State Module，也稱為Imaginal Module）、輸出模塊（Manual Module）等六個(gè)模塊。“異分母相加”問題解決的認(rèn)知過程可描述為：

（1）學(xué)生看到問題，視覺編碼后，激活長(zhǎng)時(shí)陳述性記憶中相關(guān)對(duì)象，實(shí)現(xiàn)題意理解，將目標(biāo)確定為異分母相加，即“1/3+2/5 =？”，完成了從應(yīng)用問題到計(jì)算問題的轉(zhuǎn)換；

（2）要解決問題“1/3+2/5 =？”，激活產(chǎn)生式“異分母相加→求最小公倍數(shù)”，將目標(biāo)確定為求3和5的最小公倍數(shù)；

（3）要求3和5的最小公倍數(shù)，激活產(chǎn)生式“3和5的最小公倍數(shù)→3×5”，提取長(zhǎng)時(shí)陳述性記憶中的事實(shí)“3×5=15”；

（4）求得最小公倍數(shù)之后，要將異分母化為同分母，即通分，“1/3”和“2/5”分別通分為“5/15”、“6/15”；

（5）通分后，異分母相加問題轉(zhuǎn)化為同分母相加，激活產(chǎn)生式“同分母相加→分母不變，分子相加”；

（6）提取長(zhǎng)時(shí)陳述性記憶中的事實(shí)“5+6=11”，結(jié)果為“11/15”，解題過程結(jié)束。

為了形象直觀的表示“異分母相加”這一問題解決認(rèn)知過程，分析結(jié)果以認(rèn)知矩陣形式表示，見表1。

表1中最左側(cè)的一列數(shù)字表示行號(hào)，每一列表示問題解決過程中每個(gè)模塊在不同時(shí)刻的內(nèi)容；每行代表認(rèn)知邏輯步驟（Cognitive Logic Step），并非與實(shí)際解題步驟完全一致，最后一行表示認(rèn)知過程結(jié)束，即問題解決過程結(jié)束。

（三）認(rèn)知模擬

認(rèn)知模擬工具是美國(guó)卡耐基梅隆大學(xué)著名認(rèn)知心理學(xué)家安德森（Anderson， John R.）教授研究團(tuán)隊(duì)開發(fā)的ACT-R 6.0（Adaptive Control of Thought - Rational，簡(jiǎn)稱ACT-R），其內(nèi)部架構(gòu)、參數(shù)設(shè)定都是依據(jù)大量的心理學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的，很多數(shù)據(jù)是通過核磁共振實(shí)驗(yàn)精確驗(yàn)證過的，具有一定的認(rèn)知神經(jīng)學(xué)基礎(chǔ)。它已經(jīng)被廣泛使用來模擬人類認(rèn)知行為的不同方面，例如漢諾塔問題（Tower of Hanoi）、語言理解、模式識(shí)別、記憶、簡(jiǎn)單幾何證明等[18]。

對(duì)于不同的任務(wù)，研究者可以結(jié)合ACT-R的認(rèn)知觀，增加自己對(duì)特定任務(wù)的假設(shè)，建立具體問題的ACT-R模型。研究中根據(jù)以上對(duì)“異分母相加”問題解決認(rèn)知過程的分析，構(gòu)建“異分母相加”ACT-R模型，使用Common Lisp語言編寫認(rèn)知程序，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知模擬?！爱惙帜赶嗉印眴栴}解決認(rèn)知過程模擬如圖2所示，最小時(shí)間間隔為0.05秒（默認(rèn)值）。

從模擬過程可以看出，問題解決過程中設(shè)定目標(biāo)是關(guān)鍵一步，從確定目標(biāo)開始，中間過程是問題狀態(tài)的不斷轉(zhuǎn)換，最終以達(dá)到目標(biāo)結(jié)束。

（四）激活腦區(qū)

ACT-R中的模塊映射到腦區(qū)，這種映射可以使用功能性磁共振成像（Functional Magnetic Resonanceimaging，fMRI）方法來記錄“異分母相加”問題解決過程中大腦的血氧水平依賴（Blood Oxygen Level Dependent Response，BOLD）相應(yīng)數(shù)據(jù)。

圖1以三維圖的形式在大腦模型中顯示了“異分母相加”問題解決過程某時(shí)刻大腦激活區(qū)。圖1中“0.0～1.0”表示的是亮度值?！?”是最小值，表示沒有被激活，區(qū)域是黑色的；值越接近“1”，表示激活的越多，區(qū)域亮度越高。圖的左側(cè)以不同顏色標(biāo)示了緩沖區(qū)，緩沖區(qū)右側(cè)數(shù)字是激活程度。圖的右側(cè)是大腦激活區(qū)域，用與左側(cè)模塊相同的顏色顯示。

從圖1中可以看出，“異分母相加”問題解決過程中目標(biāo)、提取、產(chǎn)生式緩沖區(qū)均有不同程度激活，其中目標(biāo)緩沖區(qū)激活程度最大，值為0.981，接近最大值。緩沖區(qū)與大腦區(qū)域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從圖1中可以明顯看出，圖像緩沖區(qū)（Imaginal）中內(nèi)容（主要是數(shù)字）的提取與頂葉皮層（Parietal Cortex）的激活密切相關(guān)，這一結(jié)論與Pinel等人[19]、Eger等人[20]、張紅川等人[21]關(guān)于被試在看到數(shù)字或進(jìn)行數(shù)字加工時(shí)頂葉皮層顯著激活的研究結(jié)論一致。提取（Retrieval）緩沖區(qū)負(fù)責(zé)提取陳述性記憶，與前額葉皮層（Prefrontal Cortex）激活相關(guān)，這一結(jié)論與秦裕林等人[22]、安德森等人[23]、Sohn等人[24][25]研究結(jié)論相一致，即前額葉（The Prefrontal）而不是頂葉（The Parietal）與個(gè)人知識(shí)提取相關(guān)。程序性（Procedural）緩沖區(qū)負(fù)責(zé)程序性知識(shí)的提取，與基底節(jié)激活密切聯(lián)系，這一結(jié)論與Hikosaka等人[26]的研究結(jié)論一致。

四、實(shí) 驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖潜容^“異分母相加”問題解決認(rèn)知過程模擬和學(xué)生實(shí)際問題解決過程的一致性。

（一）研究對(duì)象

選取河北省高陽縣某小學(xué)五年級(jí)5班6名學(xué)生為被試，其中男、女各半，平時(shí)數(shù)學(xué)綜合成績(jī)優(yōu)、中、差各2名，平均年齡133個(gè)月，年齡范圍在128～138個(gè)月之間。

（二）材料

實(shí)驗(yàn)材料為根據(jù)本研究目的專門設(shè)計(jì)的兩道問題。

（1）五年級(jí)2班進(jìn)行跳繩測(cè)驗(yàn)，第1組7名同學(xué)1分鐘跳繩成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

172 145 135 142 139 140 138

你認(rèn)為用什么數(shù)表示這個(gè)小組同學(xué)跳繩的一般水平合適？

（2）請(qǐng)給長(zhǎng)方形紙張涂顏色，整張紙的1/3涂成黃色，整張紙的2/5涂成黑色，顏色不能相重（涂黃色的位置不能涂黑色，涂黑色的地方不能涂黃色），黃色和黑色共占整張紙的幾分之幾？

其中，第1題是用于訓(xùn)練學(xué)生出聲思維的練習(xí)題，第2題為“異分母相加”知識(shí)點(diǎn)題目。

（三）數(shù)據(jù)收集與編碼

實(shí)驗(yàn)過程中使用口語報(bào)告法收集資料。指導(dǎo)語為：“請(qǐng)大聲讀題，在解題過程中自己怎么想就怎么說。也就是說，在做題過程中一邊想一邊說。把自己的思考過程大聲說出來，以便知道你是怎么做題的?！弊鲱}開始前，主試（研究者本人）先簡(jiǎn)單說明指導(dǎo)語的要求，之后以第1題為例，主試示范并說明在做題過程中如何出聲思考。在被試學(xué)會(huì)出聲思考后，開始做第2題，并同時(shí)錄像，記錄學(xué)生解題過程。

收集的資料包括口語報(bào)告資料和解題作業(yè)兩部分。對(duì)于口語報(bào)告資料，首先由專業(yè)人員轉(zhuǎn)譯成文本，再結(jié)合學(xué)生的解題作業(yè)進(jìn)行編碼分析。編碼工作由兩位專業(yè)人員負(fù)責(zé)，對(duì)于編碼中少量不一致的地方，經(jīng)討論后達(dá)成一致。口語報(bào)告記錄通常所提供的直觀信息是有關(guān)解決問題時(shí)所需要的知識(shí)和信息，并不是實(shí)際的加工過程。[27]因此，編碼過程中有必要從口語報(bào)告記錄的信息中推論出內(nèi)部加工過程而不是嘗試直接編碼這一加工過程。

（四）結(jié)果分析

紐厄爾和西蒙實(shí)現(xiàn)了人類思維的計(jì)算機(jī)模擬，并通過口語報(bào)告與機(jī)器模擬結(jié)果比較來推斷機(jī)器模擬的有效性。[28]本實(shí)驗(yàn)也采用此方法以驗(yàn)證模擬的有效性。

分析“異分母相加”問題解決口語報(bào)告可以發(fā)現(xiàn)，WangZY、ChenHY和XingYR等同學(xué)解題過程都包括了通分、求最小公倍數(shù)、同分母相加等環(huán)節(jié)，但在求最小公倍數(shù)環(huán)節(jié)，WangZY提到了“3和5為互質(zhì)數(shù)，最小公倍數(shù)為3×5=15”，而ChenHY和XingYR直接說出了“最小公倍數(shù)為3×5=15”。LiL同學(xué)解題錯(cuò)誤，因?yàn)榻忸}過程中使用了錯(cuò)誤的產(chǎn)生式。

“異分母相加”問題解決認(rèn)知模擬與口語報(bào)告比較如圖2所示。左側(cè)是認(rèn)知模擬的結(jié)果，右側(cè)是口語報(bào)告的內(nèi)容。比較后發(fā)現(xiàn)，兩者一致。

五、對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

（一）對(duì)同一道題，不同的學(xué)生采取不同的解題方法

關(guān)于“異分母相加”問題，WangZY、ChenHY和XingYR雖然都正確解題，但細(xì)節(jié)還是存在差異。在求最小公倍數(shù)環(huán)節(jié)，WangZY提到了“3和5為互質(zhì)數(shù)，最小公倍數(shù)為3×5=15”，激活了長(zhǎng)時(shí)陳述性記憶中“互質(zhì)數(shù)”的概念。求最小公倍數(shù)時(shí)，根據(jù)互質(zhì)數(shù)的性質(zhì)，最小公倍數(shù)為兩數(shù)相乘，激活了長(zhǎng)時(shí)程序性記憶。而ChenHY和XingYR則直接說出了“最小公倍數(shù)為3×5=15”，激活了長(zhǎng)時(shí)程序性記憶。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)考慮學(xué)生解題策略的不同，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度解決問題，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（二）學(xué)生解題過程中，存在不同程度的“自動(dòng)化”現(xiàn)象

在“異分母相加”問題求“3和5的最小公倍數(shù)”時(shí)，WangZY說“3和5是互質(zhì)數(shù)，最小公倍數(shù)是3×5=15”，而ChenHY則直接說“3和5的最小公倍數(shù)是15”，直接給出了計(jì)算結(jié)果。這一現(xiàn)象說明了學(xué)生在解題過程中，內(nèi)部認(rèn)知操作可以壓縮，經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的訓(xùn)練，幾個(gè)簡(jiǎn)單的認(rèn)知操作可能會(huì)壓縮為一個(gè)，形成“組塊”。如兩個(gè)產(chǎn)生式規(guī)則P1：A→B；P2：B→C，P1和P2經(jīng)常同時(shí)激活，會(huì)產(chǎn)生新的產(chǎn)生式規(guī)則P3：A→C。安德森研究解代數(shù)方程問題時(shí)發(fā)現(xiàn)同樣存在“自動(dòng)化”（Speed Up）現(xiàn)象，認(rèn)為經(jīng)過充分的訓(xùn)練可能會(huì)將解方程簡(jiǎn)化為一系列的視覺編碼和輸出操作。[29] 匈菲爾德研究表明，要成為某個(gè)領(lǐng)域的專家，一般需要在長(zhǎng)時(shí)記憶中擁有大約50000個(gè)知識(shí)塊，這些知識(shí)塊是該領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行思維操作的具體對(duì)象，而且，在許多情況下看似在運(yùn)用策略，實(shí)際上是在運(yùn)用這類已相當(dāng)完善的知識(shí)塊。[30]以上研究結(jié)論與本研究分析一致，這也在一定程度上解釋了數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生和數(shù)學(xué)成績(jī)差的學(xué)生在解決問題時(shí)的差異，前者具有較多的“自動(dòng)化”知識(shí)，而后者則較少。

（三）錯(cuò)誤的產(chǎn)生式是導(dǎo)致問題解決錯(cuò)誤的重要原因之一

“異分母相加”問題中，LiL求解“1/3+2/5”時(shí)，激活了錯(cuò)誤的產(chǎn)生式P1：異分母相加→分母、分子分別相乘，導(dǎo)致問題解決錯(cuò)誤。產(chǎn)生錯(cuò)誤產(chǎn)生式的原因可能有兩個(gè)。（1）LiL同學(xué)對(duì)分?jǐn)?shù)的意義不理解。長(zhǎng)時(shí)陳述性記憶中關(guān)于分?jǐn)?shù)的語義模型有問題。（2）對(duì)前面講過的通分策略沒有理解，不知道為什么通分，如何通分。安德森研究了學(xué)生學(xué)習(xí)解代數(shù)方程的認(rèn)知過程也認(rèn)為，學(xué)習(xí)發(fā)生在符號(hào)層級(jí)，創(chuàng)建（或生成）了新的產(chǎn)生式規(guī)則。[31] 因此，教師如何幫助學(xué)生形成正確的產(chǎn)生式規(guī)則是程序性知識(shí)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)。

（四）問題解決認(rèn)知過程分析為問題診斷及干預(yù)提供幫助

LiL在計(jì)算“異分母相加”時(shí)出現(xiàn)了典型錯(cuò)誤，分析口語報(bào)告可以發(fā)現(xiàn)：（1）LiL成功提取了陳述性知識(shí)3×5=15和1×2=2，說明兩數(shù)相乘沒有問題；（2）雖然直接分子、分母分別相乘，說明能正確識(shí)別分?jǐn)?shù)的分子、分母；（3）解題錯(cuò)誤關(guān)鍵是錯(cuò)誤的產(chǎn)生式“異分母相加→分子、分母分別相乘，作為和的分子、分母”。要幫助LiL同學(xué)改正錯(cuò)誤，就要考慮如何幫助他形成正確的產(chǎn)生式“異分母相加→求最小公倍數(shù)”及實(shí)現(xiàn)該產(chǎn)生式需要的教學(xué)干預(yù)。

六、總結(jié)與展望

本文以小學(xué)數(shù)學(xué)“異分母相加”這一程序性知識(shí)典型問題為例，綜合心理學(xué)、教育學(xué)、腦科學(xué)、認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)、人工智能等相關(guān)學(xué)科的研究成果，分析了問題解決的認(rèn)知過程，實(shí)現(xiàn)了認(rèn)知模擬及可視化顯示，并討論對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示。問題解決認(rèn)知分析與模擬有助于更好地理解學(xué)生的學(xué)習(xí)。然而，學(xué)生因已有知識(shí)、學(xué)習(xí)風(fēng)格、認(rèn)知特點(diǎn)、家庭環(huán)境等因素，對(duì)同一問題的解答可能不會(huì)完全一致，但總會(huì)有相似的地方。通過口語報(bào)告的方法來驗(yàn)證計(jì)算機(jī)模擬中不是所有人問題解決過程都是一樣的，但是有很多相似的地方，即共性的部分。[32]在本研究中也主要考慮其共性部分。

問題解決是一個(gè)非常復(fù)雜的認(rèn)知過程，計(jì)算機(jī)能否完全模擬人的問題解決過程，一直存在爭(zhēng)議。然而，計(jì)算機(jī)模擬把問題解決過程中的一些因素綜合起來，重建這個(gè)過程，克服了以往實(shí)驗(yàn)心理學(xué)以分析為主的做法，為從整體上了解問題解決的認(rèn)知過程開辟了一條道路 [33]。隨著認(rèn)知科學(xué)和人工智能的不斷發(fā)展，認(rèn)知分析和模擬為研究問題解決過程提供了新視角。對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)過程的分析，有利于數(shù)學(xué)教師更好地理解學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，為學(xué)習(xí)媒體選擇、典型問題設(shè)計(jì)、問題診斷等提供依據(jù)和參考；有利于設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)課程體系[34]，促進(jìn)新手教師向?qū)＜医處煱l(fā)展，提高數(shù)學(xué)教師的教學(xué)技能。

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