巧用“線段和最小”的結(jié)論解題

【引例呈現(xiàn)】在直線MN上有三個不同的點依次是A、B、C，如下圖所示，試在直線MN上找一點P，使點P到各點的距離和最小.

分析：三個點將直線分為四部分：射線AM，線段AB、BC，射線CN.分別求出點P在上述四段以及與A、B、C三點重合時，PA+PB+PC的表達(dá)式，通過比較得出結(jié)論.

解：當(dāng)點P在射線AM上、與點A重合；線段AB上、與點B重合；線段BC上、與點C重合；射線CN上時，設(shè)PA+PB+PC的值分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，則：

a1=PA+（PA+AB）+（PA+AB+BC）=3PA+2AB+BC；

a2=AB+（AB+BC）=2AB+BC；

a3=PA+PB+（PB+BC）=PB+AB+BC；a4=AB+BC；

a5=（AB+PB）+PB+PC=PB+AB+BC；a6=（AB+BC）+BC=AB+2BC；a7=（AB+BC+PC）+（BC+PC）+PC=3PC+AB+2BC.

顯然，a4最小，即當(dāng)點P與點B重合時，PA+PB+PC最小.

【乘勝追擊】在直線MN上有四個不同的點依次是A、B、C、D，試在直線MN上找一點P，使點P到各點的距離和最小.

仿照有三個點的情形，可以求出，當(dāng)點P在線段BC上時，點P到各點的距離和最小.

【窮追不舍】上面兩個問題是直線MN上分別有三個點、四個點的情形，當(dāng)直線上五個點、六個點、七個點……，情況又會怎樣呢？

如法炮制，若直線上依次有五個點A、B、C、D、E時，當(dāng)點P與點C重合時，點P到各點的距離和最小；若直線上依次有六個點A、B、C、D、E、F時，當(dāng)點P在線段CD上時，點P到各點的距離和最??；若直線上依次有七個點A、B、C、D、E、F、G時，當(dāng)點P與點D重合時，點P到各點的距離和最小……

【返璞歸真】通過上面的例子不難發(fā)現(xiàn)：若直線L上有奇數(shù)個點時，則點P與中間那個點重合時，點P到各點的距離和最小；若直線L上有偶數(shù)個點時，則點P在中間兩點確定的線段（包括線段端點）時，點P到各點的距離和最小，這是一個與線段有關(guān)的重要結(jié)論.

【學(xué)以致用】運用上面的結(jié)論，在解決

一類與之相關(guān)的問題時，常可化難為易，出奇制勝.

例1 （2012年湖南永州）境內(nèi)的瀟水河畔有朝陽巖、柳子廟和迥龍塔等三個名勝古跡（如圖所示）.其中柳子廟坐落在瀟水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民為紀(jì)念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建.現(xiàn)有三位游客分別參觀這三個景點，為了使這三位游客參觀完景點后步行返回旅游車上所走的路程總和最短.那么，旅游車等候這三位游客的最佳地點應(yīng)在（）

A.朝陽巖

B.柳子廟

C.迥龍塔

D.朝陽巖和迥龍塔這段路程的中間位置

解析：把朝陽巖、柳子廟和迥龍塔看成直線上的三個點，由上面的結(jié)論可知，當(dāng)旅游車等候這三位游客的地點選在柳子廟時，三位游客參觀完景點后步行返回旅游車上所走的路程總和最短.答案選B.

例2 （2003年湖北黃岡）如圖所示，某公司有三個住宅區(qū)，A、B、C各區(qū)分別住有職工30人，15人，10人，且這三點在一條大道上（A、B、C三點共線），已知AB=100米，BC=200米.為了方便職工上下班，該公司的接送車打算在此間只設(shè)一個停靠點，為使所有的人步行到?？奎c的路程之和最小，那么該停靠點的位置應(yīng)設(shè)在（）

A.點AB.點B

C.A、B之間D.B、C之間

解析：把大道看成直線，職工看成直線上有序排列的點，由于30+15+10=55是個奇數(shù)，利用上面的結(jié)論可知，當(dāng)?？奎c與第28個點重合時，所有的人步行到?？奎c的路程之和最小.由于A區(qū)共有職工30人，所以第28個點在A區(qū)，答案選A.

例3 （2007年山東威海）如圖，一條街道旁有A、B、C、D、E五幢居民樓.

某大桶水經(jīng)銷商統(tǒng)計各樓居民每周所需大桶水的數(shù)量如下表：

他們計劃在這五幢樓中租賃一間門市房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點.若僅考慮這五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小，可以選擇的地點應(yīng)在（）

A.B樓B.C樓

C.D樓D.E樓

解析：把街道看成直線，大桶水看成看成直線上有序排列的點.

由于38+55+50+72+85=300是個偶數(shù)，利用上面的結(jié)論可知，當(dāng)供應(yīng)點在第150與151個點之間時，這五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小.

而38+55+50=143，即第150與151個點都在D樓，因此大桶水供應(yīng)點應(yīng)設(shè)在D樓，答案選C.