巧添輔助線多解三角形

題目如圖1所示，在△ABC中，∠A = 2∠B，CD平分∠ACB，則下列關(guān)系式成立的是（）

A. AD = CD

B. BC > AC + AD

C. BC = AC + AD

D. BC < AC + AD

解法1：如圖2所示，延長CA到E，使AE = AD，

∴∠E =∠ADE，

∴∠CAD = 2∠E.

∵∠CAD = 2∠B，

∴∠E =∠B.

∴△CED≌△CBD，

∴BC = CE.

∴BC = AC + AD.故應(yīng)選C.

解法2：如圖3所示，延長BA到E，使

∴∠E =∠ECA，

∴∠CAD = 2∠E.

∵∠CAD = 2∠B，

∴∠E =∠B，

∴CE = BC.

∴∠ECD =∠ECA +∠ACD，∠CDE=∠B +∠BCD，∠ACD =∠BCD，

∴∠ECD =∠EDC，

∴CE = DE.

∴BC = DE = AE + AD = AC + AD.

故應(yīng)選C.

解法3：如圖4所示.

∵∠A >∠B，

∴BC > AC.

在BC上截取CE = AC，

∴△ACD≌△ECD，

∴AD = DE.

∴∠B =∠EDB，

∴DE = BE.

∴BC = CE + EB = AC + AD.

故應(yīng)選C.

解法4：如圖5所示，作DB的中垂線交BC于E，則有DE = BE.∴∠EDB =∠B，∴∠DEC = 2∠B.∵∠A = 2∠B，∠DEC =∠A，

∴△CAD≌△CED，

∴CE = AC，DE = AD.

∴BC = CE + EB = AC + DE = AC + AD.

故應(yīng)選C.

以下再給出五種解題思路，求解過程請同學(xué)們試著完成.

如圖6所示，作∠A的平分線交BC于E，交CD于F，則有AE = BE.因為EF < AE，所以在EB上截取EG = EF，根據(jù)角的關(guān)系可得AF = AD，以及△ACF≌△GCF，進(jìn)而得AC = CG，所以BC = BE + CE = AE + CE = AF + FE + CE = AD + CG = AD + AC，得解.如圖7所示，作∠ABE =∠ABC，且使BE = BC，不難得CD = DE，∠2 =∠3 =∠1，在BE上截取EF = AC，則有△ACD≌△EFD，于是AD = DF，∠A =∠DFE，據(jù)∠A = 2∠B，∠DFE =∠FBD +∠FDB，可得DF = BF，進(jìn)而得AD = BF，所以BC = BE = EF + BF = AC + AD.如圖8所示，作∠CBE =∠ABC，且使BD = BE，不難得CD = CE，∠1 =∠2=∠3，在CB上截取CF = CA，則有

△ACD≌△FCE，從而得到AD = EF，∠A =∠CFE，利用角的關(guān)系，得EF = BF，從而有BC = CF + BF = AC + EF = AC + AD.

如圖9所示，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，因∠1 =∠2，得DE = DF，CE = CF，因為BF > AE，所以在FB上取FG= AE，從而有Rt△AED≌Rt△DFG，從而有AD = DG，∠A =∠FGD，利用∠A = 2∠B和外角∠FGD =∠B +∠GDB，可得DG = BG，從而得BC = CF + FG + BG = CE + AE + AD= AC + AD.

如圖10所示，用特殊值法，因為∠A = 2∠B，不妨設(shè)∠A = 60°，∠B = 30°，作DE⊥AC，DF⊥BC，∠1 =∠2，有DE = DF，CE = CF.設(shè)AE = k，則AD = 2k，DE =DF =3姨 k，BF =3 k，BC= CF + BF = 3k + CF，AC + AD = CE + AE + AD = 3k + CE，即BC = AC + AD.

綜上所述，通過一題多解，從不同角度、不同方位進(jìn)行思考，可提高同學(xué)們的思維能力和創(chuàng)新能力，提高解題技能與技巧.

（作者單位：安徽省靈璧縣黃灣中學(xué)）