對高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分“恒成立”問題的研究

摘 要：恒成立問題是高中數(shù)學(xué)的一類重要題型，很多函數(shù)問題都需轉(zhuǎn)化為恒成立的問題才可解決。該類問題有較高的綜合性和靈活性，往往通過一道綜合試題即可全面考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法的能力，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和敏捷性。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；恒成立；轉(zhuǎn)化；最值

恒成立問題是高中數(shù)學(xué)的一類重要題型，很多函數(shù)問題都需轉(zhuǎn)化為恒成立的問題才可解決。該類問題有較高的綜合性和靈活性，往往通過一道綜合試題即可全面考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法的能力，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和敏捷性。本文將探討解決恒成立問題的如下三種策略：二次函數(shù)法——轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的問題（利用數(shù)形結(jié)合的方法解決）；分離變量法——轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；構(gòu)造函數(shù)法——轉(zhuǎn)化為求含參函數(shù)的最值。

一、二次函數(shù)法——轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的問題（利用數(shù)形結(jié)合的方法解決）

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中解決函數(shù)問題最重要的工具之一，在恒成立問題中，有許多問題本身就是或可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于二次函數(shù)恒成立問題。所以二次函數(shù)恒成立問題是恒成立問題中的一個(gè)重點(diǎn)。而解決二次函數(shù)恒成立問題的專屬方法是利用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)已知畫二次函數(shù)圖象列代數(shù)式。雖然二次函數(shù)恒成立問題作為一類特殊的恒成立問題，也可以用后面總結(jié)的方法解決，但該方法體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想，所以在此將其作為一種方法介紹。

綜上所知，a的取值范圍是[-7，2]。

該方法的核心思想是數(shù)形結(jié)合，關(guān)鍵是根據(jù)已知畫出二次函數(shù)的圖象，而難點(diǎn)也是根據(jù)畫出二次函數(shù)的圖象，然后根據(jù)圖象一般從開口方向、判別式、對稱軸和特殊點(diǎn)函數(shù)值四個(gè)方面列式。要正確利用該方法解題，需做好以下兩方面：（1）畫圖一般要分類討論，而在分類時(shí)要做到“不重復(fù)，不遺漏”，即盡量避免重復(fù)，而絕不能少考慮情況；（2）數(shù)形結(jié)合要做利用好圖的直觀性和數(shù)的精確性，即畫圖要有代表性并且相對準(zhǔn)確。

二、分離變量法——轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

分離變量法是將主變量和參數(shù)分離，用主變量表示參數(shù)，一般將命題轉(zhuǎn)化為“在某個(gè)區(qū)間D上，a≤f（x）或a≥f（x）（其中x為主變量，a為參數(shù)）”的形式，從而將問題轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最大值或最小值”，則a小于等于函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最小值或a大于等于函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最大值。例如下題：

三、構(gòu)造函數(shù)法——轉(zhuǎn)化為求含參函數(shù)的最值

構(gòu)造函數(shù)法是通過構(gòu)造含參函數(shù)y=f（x），將命題轉(zhuǎn)化為“在某個(gè)區(qū)間D上，f（x）≥0或f（x）≤0”的形式，從而將問題轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最大值或最小值”，則通過解不等式“最小值大于等于0或最大值小于等于0”求解參數(shù)的范圍。

綜上所知，a的取值范圍是（-∞，e）

構(gòu)造函數(shù)法是解決此類問題的一般方法，在高中階段恒成立問題幾乎都可用構(gòu)造函數(shù)法解決，即通過構(gòu)造含參函數(shù)，求其最值，然后解不等式。一般情況下它不如分離參數(shù)法簡便，因?yàn)榍蠼庾钪禃r(shí)一般要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，操作更為復(fù)雜，例如例3，而例3也可用分離參數(shù)相對簡便一些。若將第（2）問的條件變?yōu)閤∈[-1，+∞），則分離參數(shù)就不易操作了，所以本方法更具一般性。

恒成立問題是高中數(shù)學(xué)的一類重要題型，對學(xué)生能力的要求較高。本文總結(jié)了解決函數(shù)恒成立問題的三種方法，意在在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中幫助學(xué)生建立解決此類問題的一般思路，領(lǐng)會(huì)其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的能力。

（作者單位 北京市第二中學(xué)亦莊學(xué)校）

編輯 劉青梅