導(dǎo)數(shù)在高考解題中的應(yīng)用

摘 要：導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)必考的內(nèi)容，近年來高考加大了對以導(dǎo)數(shù)為載體的知識問題的考查，題型在難度、深度和廣度上不斷地加大、加深，從而使得導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識愈發(fā)顯得重要。從導(dǎo)數(shù)在函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等四個(gè)方面來探討導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；不等式；數(shù)列；解析幾何

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，是聯(lián)系多個(gè)章節(jié)內(nèi)容以及解決相關(guān)問題的重要工具。導(dǎo)數(shù)為解決函數(shù)的最值、函數(shù)極值、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)圖像等問題提供更有效的途徑、更易行的方法和更簡便的手段。

一、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)的單調(diào)性、最值中的應(yīng)用

利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最值的一般步驟是：（1）先根據(jù)求導(dǎo)公式對函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）解出令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0的自變量；（3）從導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）通過定義域從單調(diào)區(qū)間中求出函數(shù)最值。

2.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值中的應(yīng)用

利用導(dǎo)數(shù)的知識來求函數(shù)極值是高中數(shù)學(xué)問題比較常見的類型。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟是：（1）首先根據(jù)求導(dǎo)法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0，從而解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)；（3）從導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)來分區(qū)間討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）根據(jù)極值點(diǎn)的定義來判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，最后再求出函數(shù)的極值。

3.導(dǎo)數(shù)在求參數(shù)的取值范圍時(shí)的應(yīng)用

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中的某些參數(shù)的取值范圍，成為近年來高考的熱點(diǎn)。在一般函數(shù)含參數(shù)的題中，通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來化簡函數(shù)，可以更快速地求出參數(shù)的取值范圍。

（2011年·江蘇高考·T19）已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f （x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f ′（x）和g ′（x）分別是f （x）和g （x）的導(dǎo)函數(shù)，若f ′（x）g ′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f （x）和g （x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致。（1）設(shè)a>0，若f （x）和g （x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）設(shè)a<0且a≠b，若函數(shù)f （x）和g （x）在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求a-b的最大值。

【思路】本題考查的是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合知識，在解決本題時(shí)要注意挖掘已知的信息，注意條件的轉(zhuǎn)化，函數(shù)f （x）和g （x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致，可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)之積恒為正來處理。

二、導(dǎo)數(shù)在不等式證明方面的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在不等式證明方面的應(yīng)用關(guān)鍵在于從不等式的結(jié)構(gòu)特征中，聯(lián)想出與不等式對應(yīng)的函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，最后將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。再接著求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而得到滿足不等式的自變量的取值范圍或利用函數(shù)的單調(diào)性得到所證明的不等式。

三、導(dǎo)數(shù)在數(shù)列、解析幾何方面的應(yīng)用

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識點(diǎn)，也是個(gè)難點(diǎn)。利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問題的關(guān)鍵在于結(jié)合數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)求導(dǎo)公式聯(lián)想與之相對應(yīng)的函數(shù)再構(gòu)造函數(shù)，然后再通過導(dǎo)數(shù)來解決相關(guān)的數(shù)列問題。而導(dǎo)數(shù)在解析幾何方面的應(yīng)用所利用的知識點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，而導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)y=f （x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0），就是曲線y=f （x）在點(diǎn)（x0，f （x0））處的切線方程的斜率。下面結(jié)合某些高考題介紹導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)列問題的基本方法與思路。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳裕軍.導(dǎo)數(shù)在高考試題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2010（3）：38-39.

[2]李大明.導(dǎo)數(shù)在高考中的熱點(diǎn)問題[J].中學(xué)生數(shù)理化，2006（21）：78-81.

[3]馮國東.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析[J].新課程研究，2008（113）：25-26.

[4]張紅雅.淺談導(dǎo)數(shù)在高中階段的應(yīng)用[J].教學(xué)研究，2010（2）：113-114.

（作者單位 湖北工業(yè)大學(xué)商貿(mào)學(xué)院基礎(chǔ)課部）

編輯 劉青梅