中學(xué)數(shù)學(xué)中復(fù)數(shù)與三角恒等式的研究
2013-12-31 00:00:00李發(fā)財
新課程·中旬 2013年10期
復(fù)數(shù)具有多種形式，如代數(shù)式、幾何式、三角式、指數(shù)式等，而每種形式符合各自的運算律，這就為我們利用各運算律特點研究三角恒等式問題提供了一個契機.特別說明：n，k∈N，當(dāng)k>n時，Ckn=0.
評注：上面的兩個定理是將棣莫佛定理：（cosθ±isinθ）n=cosnθ+isinnθ的左邊根據(jù)二項式定理展開后，通過兩邊實部與虛部的對比得到.
在《高中數(shù)學(xué)競賽專題講座：三角函數(shù)》 中，利用復(fù)數(shù)方程z2n+1
=1的求根過程推導(dǎo)出了一系列的三角恒等式如下：
那么當(dāng)復(fù)數(shù)方程為z2n+2=1時，通過推導(dǎo)就可以得到下面的定理：
在上面的三角恒等式推導(dǎo)過程中，充分利用復(fù)數(shù)知識中的棣莫佛定理：（cosθ±isinθ）n=cosnθ+isinnθ和其他運算律相結(jié)合，通過實部與虛部的對比得出了一系列的三角恒等式定理及相關(guān)推論，再通過對n，θ賦值得到了一大批結(jié)構(gòu)簡單、形式優(yōu)美的三角恒等式.
參考文獻(xiàn)：
沈虎躍.高中數(shù)學(xué)競賽專題講座：三角函數(shù)[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2007：31-35.
（作者單位 廣東省廣州市天河區(qū)天榮中學(xué)）
編輯 魯翠紅
