巧妙構(gòu)造左右逢“圓”

圓是中學(xué)數(shù)學(xué)一種簡單卻又重要的圖形，也是中考的熱點(diǎn)內(nèi)容.在數(shù)學(xué)問題中，若能充分利用已知條件，把符合圓特征的命題通過構(gòu)造圓來解決，常?？梢员芊本秃?、化難為易，從而收到意想不到的效果，本文現(xiàn)舉例如下，供同學(xué)們參考.

例1.（2012年湖北鄂州中考）如圖1，OA=OB=OC且∠ACB=30°，則∠AOB的大小是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

解：∵OA=OB=OC，

∴A、B、C在以O(shè)為圓心OA為半徑的圓上.作⊙O.

∵∠ACB和∠AOB是同弧AB所對的圓周角和圓心角，且∠ACB=30°，

∴根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半的性質(zhì)，得∠AOB=60°.故選C.

例2.（2013年3月份棗莊市聯(lián)賽題）如圖2，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且∠OPB=45°， PA∶PB=5∶14，則PB=____cm.

解：∵∠OPB=∠OAB=45°.

∴ABOP四點(diǎn)共圓（同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點(diǎn)共圓）.

∴∠APB=∠AOB=90°.

在Rt△APB中，設(shè)PA為5x，則PB是14x.

∴（5x）2+（14x）2=1989.

解得x=3，14x=42.

∴PB=42 （cm）.

例3.（2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題）如圖3，在四邊形ABCD中，已知

∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，對角線AC，BD交于點(diǎn)S，且DS=2SB.求證：AD=DC.

證明：由已知得∠ADC=90°，從而A， B，C，D四點(diǎn)共圓，AC為直徑.

設(shè)P為AC的中點(diǎn)，則P為四邊形ABCD的外接圓的圓心.

例4.平面上兩點(diǎn)A， B間的距離為a+b，其中a、b>0為定值.現(xiàn)平面上共有x條直線，使點(diǎn)A、B到它們的距離分別為a、b，則x等于（）.

解析：如圖4，分別以A、B為圓圓心，a、b為半徑作圓，則⊙A與⊙B相外切，因圓心A、B到同一條直線L的距離分別為a、b，故直線L必為兩圓的公切線.從而滿足條件的直線共有3條，選擇答案B.

解：如圖5，設(shè)△ABC內(nèi)切圓為⊙I，半徑為r，⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接IA，IB，IC，ID，IE，IF.