三角函數(shù)創(chuàng)新試題透析

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：數(shù)學(xué)要突出創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的要求，關(guān)注生活實(shí)際的應(yīng)用，重視數(shù)學(xué)方法的考核，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.在近幾年的中考中，中考命題者不斷推陳出新，編擬了很多新穎靈活、具有一定的探索性、挑戰(zhàn)性、創(chuàng)新性，反映社會(huì)熱點(diǎn)的新試題，體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念.下面僅以與三角函數(shù)有關(guān)的中考試題為例說明.

一、規(guī)律探索啟迪智慧

則sin260°+ cos260°=____；③

……

觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A都有sin2A+cos2A=_________.④

（1）如圖1，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對(duì)∠A證明你的猜想；

（2）已知：∠A為銳角（cosA>0）且sinA= 3，求cosA.

分析：先將特殊角的三角函數(shù)值代入sin2A+ cos2A，然后再進(jìn)行猜想、歸納出結(jié)論；在證明猜想時(shí)，如圖2，需要過點(diǎn)B作BD⊥AC，將∠A放在直角三角形中，然后利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行證明；在求cosA時(shí)，可以直接利用歸納出的結(jié)論求解.

觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A，都有sin2A+cos2A=1.

點(diǎn)評(píng)：中考命題者以銳角三角函數(shù)為載體，讓考生先從特例入手，然后再進(jìn)行觀察、歸納、猜想、證明、應(yīng)用，既符合科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般過程，又符合新課程的理念.

二、滲透高中知識(shí)未雨綢繆

（2）在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7，

∴BE=DE·tan∠BDE=DE·tan75°.

∵tan15°=tan（45°+30°）

=1.62+14+7×1.732≈27.7（米）.

點(diǎn)評(píng)：本例以三角函數(shù)為載體，將高中兩數(shù)和、差的三角函數(shù)公式滲透其中，開闊了學(xué)生的視野，同時(shí)為學(xué)生進(jìn)入高中作好鋪墊.需要說明的是，在求tan75°的值時(shí)，除了可以把75°化為（45°+30°），由于tan15°的值已知，所以也可把75°化為（60°+15°）.

三、關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)關(guān)注實(shí)事

例3 （2013年山東濟(jì)寧）釣魚島及其附屬島嶼是中國(guó)固有領(lǐng)土（如圖5），A、B、C分別是釣魚島、南小島、黃尾嶼上的點(diǎn)（如圖6），點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東47°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東79°方向，且A、B兩點(diǎn)的距離約為5.5km；同時(shí)，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏西36°方向.若一艘中國(guó)漁船以30km/h的速度從點(diǎn)A駛向點(diǎn)C捕魚，需要多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）？（參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）

分析：過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)方向角分別求出∠DAB和∠DCB的度數(shù)，然后在Rt△ABD和Rt△BCD中，分別解直角三角形求出AD、CD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度即可求出需要的時(shí)間.

點(diǎn)評(píng)：釣魚島問題是中國(guó)人比較關(guān)心的一個(gè)社會(huì)熱點(diǎn)問題，本題以人們普遍關(guān)注的社會(huì)熱點(diǎn)問題命題，讓考生明白釣魚島及其附屬島嶼是中國(guó)固有領(lǐng)土，讓考生關(guān)注社會(huì)，同時(shí)也可以培養(yǎng)考生的愛國(guó)情懷.