《勾股定理》教學反思

一、本課題教學的背景

我有幸獲得開課任務，上課內(nèi)容是《勾股定理》第一課時。經(jīng)歷了一次試上，一次正式上課和兩次反思，這次案例教學活動使我的教學觀念受到了極大的沖擊。以前我自認為有本科學歷，又有一定的教學能力，擔任初中數(shù)學教學應當沒有任何問題。《勾股定理》這堂課至少上過五遍，基本上都是按照書上的方法引導學生去想，并且證明給學生看。這是第一次嘗試尋找一種能讓學生自己“發(fā)現(xiàn)”并自己證明勾股定理的方法。經(jīng)過反思，我深切地體會到教學理念的重要性，必須以教學理念的提升指導和改進教學方法，規(guī)范課堂教學。

二、“勾股定理”教學設計說明

在數(shù)學教學過程中，學生的知識不應只是通過教師單純地講解與學生的簡單模仿獲得，而是通過數(shù)學活動，讓學生渴望新知識，經(jīng)歷知識的形成過程，體驗應用知識的快樂，從而使學生變被動接受為主動探究，增強學好數(shù)學的愿望和信心。為此，本節(jié)課主要設計了三個活動。

活動一：喚起學生對新知識的渴望。

學生為了解決現(xiàn)實生活中的一個樸實、可親、有趣的問題，不斷碰到困難，并不斷在發(fā)現(xiàn)中解決，思維探究活躍，好奇心和探索欲望被激起。

活動二：學生在探索中體驗快樂。

探索“勾股定理”是本節(jié)課的重點和難點。在整個探索過程中教師只是一個引導者、啟發(fā)者，引導學生動手、觀察、思考、實驗、探索與交流；學生在整個活動中切身體驗到發(fā)現(xiàn)“勾股定理”的快樂。從而培養(yǎng)了學生的探索精神和合作交流能力。

活動三：學生在問題設計中鞏固勾股定理。

本節(jié)課是勾股定理的第一課，知識的應用比較簡單，學生設計問題有一定的可行性。引導學生在掌握勾股定理的基礎上自己設計問題，完善問題，并從老師的高度進行變題，學生的主體性得到了充分的體現(xiàn)。

整個教學設計遵循“重視預設、期待生成”的原則。

三、教學過程與反思

1.第一次試上，由我獨立備課，從開始備課到上課結束，始終有兩個疑問沒有得到很好解決。

一是如何引出勾股定理。教學過程是讓學生在正方形網(wǎng)格上畫一個兩條直角邊a、b分別是3厘米和4厘米的直角三角形，量一下斜邊長c是多少？緊接著讓學生觀察直角三角形的三條邊在大小上有什么關系。事實上，由于缺乏足夠的材料，而且量得的結果可能不一定是整數(shù)，因此很難得出正確的結論。另外，也有學生在探究時，根據(jù)兩邊和大于第三邊得出a+b>c這個結論，認為這也是直角三角形三條邊之間的關系，這便偏離了教師預先設定的學習目標。

二是勾股定理的證明。解決的方案：采用教材提供的方法，即教參上所說的數(shù)形結合的方法。通過恒等變形（a+b）■=4×■ab+c■，在教師的引導下作出聯(lián)想，將四個全等的直角三角形拼在邊長為（a+b）的正方形當中，中間又是一個正方形，而它的面積正好是c■，從而得出a■+b■=c■。其中的難點在于，讓學生自己很自然地想到用拼圖證明，對于大多數(shù)學生來講，做到這一點幾乎是不可能的。教師只能帶領學生進行變形、聯(lián)想、拼圖等一系列的教學活動。教師的講授時間明顯多于學生的探究時間，盡管教師一直在講，但是其中的來龍去脈還是很難交代清楚。

第一次反思：

（1）教師的講授時間多于學生的探究時間原因在于：憑學生已有的知識尚無能力探究這個問題，學生“一路走來”只能回答“是”“對”，思維屢屢受阻，心智活動暴露在無所依托的危機之中。

（2）備課時，教師就發(fā)現(xiàn)了難點所在，但直到具體實施時仍束手無策，心有余而力不足，無法引導學生進行有意義的自主探究，這與教師自身的經(jīng)驗不足有很大關系。

（3）教師不僅要抓住教學中的難點，更要找到化解難點的辦法。為學生向既定的探究目標邁進鋪設適當?shù)闹R階梯，當憑自己的能力無法做到時，應向?qū)＜艺埥?，及時有效地解決教學中存在的問題，使自己在教法上能有所改進。

2.第二次上課通過集體備課，大家集思廣益，針對前面兩個難點重點設計，基本上解決了原有的問題。

設計方案是：將整個教學過程分成八節(jié)，每一節(jié)都清晰地展現(xiàn)在學生面前。

（1）創(chuàng)設問題情境，設疑鋪墊。情景展示：小強家正在裝修新房，周日，小強家買了一批邊長為2.1米的正方形木板，想搬進寬1.5米，高2米的大門，小強橫著放，豎著放都沒能將木板搬進屋內(nèi)，你能幫他解決這個問題嗎？

（2）以1955年發(fā)行的畢達哥拉斯紀念郵票為背景，觀察圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？并說說你的理由。

圖一 圖二

（3）以小方格背景，任意畫一個頂點在格點上的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向外作正方形，剛才你發(fā)現(xiàn)的結論還成立嗎？其中斜放的正方形面積如何求，由學生探討。（介紹割與補的方法）（圖一）

（4）如圖二，任意直角三角形ABC為邊向外作正方形，上面的猜想仍成立嗎？用四個全等的直角三角形拼圖驗證。

（5）介紹一些有關勾股定理的史料（趙爽的弦圖、世界數(shù)學家大會會標、華羅庚建議用“勾股定理”的圖作為與外星人聯(lián)系的信號等），讓學生感受到勾股定理的歷史之悠久，激起學生的民族自豪感。

（6）應用新知，解決問題。

①解決剛才“門”的問題，前后呼應；

②直角三角形兩邊為3和4，則第三邊長是？搖 ？搖。

例：一塊長約120步，寬約50步的長方形草地，被不自覺的學生沿對角線踏出了一條斜路，類似的現(xiàn)象時有發(fā)生，請問同學們回答：①走“斜路”的客觀原因是什么？為什么？②“斜路”比正路近多少？這么幾步近路，值得用我們的聲譽作為代價換取嗎？

（7）設計問題，揭示本質(zhì)。請學生概括用上述勾股定理解決問題的實質(zhì)：已知兩邊求第三邊長，并請學生設計能用勾股定理解決的簡單問題。

（8）感情收獲，鞏固拓展。

①本節(jié)課你有哪些收獲？

②本節(jié)課你最感興趣的是什么地方？

③你還想進一步研究什么問題？

說明：（1）通過具體的生活情景，激起了學生對本節(jié)課的學習興趣，使他們急于想知道直角三角形的三邊到底存在著怎樣的數(shù)量關系，激發(fā)了他們的好奇心和求知欲。

（2）學會了在小方格的背景下，用割補法求出郵票中斜放的正方形R的面積，同時為勾股定理的引出做好了充分的準備，為學生進行有意義的探究做好了鋪墊。

（3）證明方法可以說已經(jīng)擺在這里，但由于前面的教學中計算強調(diào)過多，而忽略了計算原理，致使撤去小方格背景時，學生在證明時出現(xiàn)障礙，想不到補4個直角三角形，或割成四個直角三角形和一個正方形計算斜放的正方形面積。為了解決這個問題，本節(jié)課在定理證明時有意用拼圖的方法再次驗證勾股定理。

（4）由于是勾股定理的第一課，應用較簡單，學生設計具有一定的可行。引導學生在掌握定理的基礎上自己設計問題，完善問題，并從老師的高度變題，學生的主體性得到了最好的發(fā)揮。

第二次反思：

（1）當猜想出直角三角形三邊數(shù)量關系時，是不足以讓學生信服的，因為猜想時直角三角形的三邊均為整數(shù)，學生可能還存在疑慮：當直角邊的長不是整數(shù)時，情況又如何呢？所以讓學生從理性上確信這個猜想是必不可少的環(huán)節(jié)。為此，設計了任意三邊的直角三角形是否存在這個問題。

（2）去掉背景和具體數(shù)值，在證明字母為邊的直角三角形的勾股定理時，主要是沒有了正方形網(wǎng)格作背景，學生不能快速產(chǎn)生正確的思維遷移，不易想到用割補法證勾股定理。但是前面有了郵票問題做鋪墊，學生很自然地會聯(lián)想到用割或補的方法計算以斜邊為邊長的正方形的面積，從而得出了一般的直角三角形的情況，獲得了勾股定理。

如此設計，對于執(zhí)教者來講，最大的好處在于可以使學生的思維過程顯性化，有利于教師對學生進行過程性評價，有利于及時指導學生在思維過程中存在的細節(jié)問題，還有利于教師進行教學過程的改進。

（3）在做勾股定理練習時，采用開放式教學法，由學生自己出題自己解決，既鞏固新知識，又提高他們的學習興趣。但由于學生在已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊時，不知道一個數(shù)開平方這一知識，會出現(xiàn)第三邊不會算的情況。關于這點，我課前早有預料：如果有這種情況出現(xiàn)，就為下堂課做好鋪墊；如果沒出現(xiàn)這種情況，老師上課時也不提。

（4）在課堂小結時一改先前一貫做法，三個問題結束本節(jié)課。特別是后兩個問題，當時學生是這么回答的：我最感興趣的地方是割補法證明勾股定理；畢達哥拉斯怎么會從地磚上發(fā)現(xiàn)勾股定理的，我們平時也要多觀察生活；我想知道勾股定理還有/vYXfasfKs571Lfm2DIfIQ==哪些證明方法；我想知道我的這副三角板中，如果已知一條邊，能不能求出另外兩條邊。聽課的老師們深深地被學生的這些問題感染了，情不自禁地給予了贊揚。這樣的總結設計，把所學的知識形成了一個知識鏈，為每位學生都創(chuàng)造了獲得成功體驗的機會，并為不同程度的學生提供了充分展示自己的機會，尊重了學生的個體差異，滿足了學生多樣化的學習需要。特別是最后一個問題，把本課知識從課內(nèi)延伸到了課外，真正使不同的人得到了不同的發(fā)展。

（5）學生在學習過程中舊問題解決，而新問題產(chǎn)生，使我真正認識到上好勾股定理這一堂課是不容易的。課改幾年來雖然理念上有所轉(zhuǎn)變，但要真正在課堂上能運用自如，還需要不斷實踐。

幾個問題間的過渡語言，也是不斷地修改，甚至一個問題要怎么問，問了后學生可能會出現(xiàn)哪些想法都做好了預設準備，更制定了應急方案。

四、教學理念的升華

開設一堂公開課，對我來說是提升教學水平的極好機會，也可以說是完成了一次認識的飛躍。

1.問題情境的創(chuàng)設，是引起學生興趣的關鍵。

數(shù)學源于問題，源于實際問題解決的需要，學習也是如此。正如張奠宙先生所言：“沒有問題的數(shù)學教學，不會有火熱的思考。”問題是思維的起點，任何有效的數(shù)學教學必須以問題為起點，以問題為驅(qū)動，激發(fā)學生學習的欲望。

2.探究式學習是教學的最高境界。

傳統(tǒng)的教學方法是灌輸，是牽著學生的鼻子走。民族創(chuàng)新精神的形成，就要從青少年抓起。從這點上說，讓學生自己學會探究知識的方法，養(yǎng)成探究的習慣，關系重大，教育者責任重大。

3.學會鋪墊是教學藝術的精華所在。

對學生而言，學習是不斷地從已知到未知的過程。從已知到未知之間存在一個“潛在距離”，如何把握這個“潛在距離”，并且為學生走過這個距離設置合適的階梯，讓學生“跳一跳”就能摘到“果子”，這是教學藝術的精華所在。本堂課“郵票中正方形的面積的計算”這一情境設計，就是十分成功的鋪墊。

4.教學工作是一項創(chuàng)造性勞動。

要讓學生進行探究性學習，首先教師要有對教材的再創(chuàng)造意識。在第一次上課時，我雖然努力“吃透教材”“緊扣教材”，但仍然上得很別扭，很吃力。在以后的開課中，我對教材作了大膽的變革，上課一次比一次順手，效果一次比一次好。在今后教學中，我們要牢記以學生發(fā)展為本，關注學生能力的提高，在學生促進發(fā)展的同時也實現(xiàn)教師自身的發(fā)展。