“銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”的教學(xué)實(shí)錄及反思

“銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”是蘇科版教材第七章第六節(jié)的內(nèi)容，它是在學(xué)生掌握了銳角三角函數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值和解直角三角形的基礎(chǔ)上展開的一節(jié)應(yīng)用，是解決生活中實(shí)際問題的需要，同時(shí)也是學(xué)生深刻理解銳角三角函數(shù)知識(shí)的需要.研究銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，其目的是讓學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中的問題，感受生活與數(shù)學(xué)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力.這節(jié)課的學(xué)習(xí)不僅是對(duì)已學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用和深化，而且是培養(yǎng)學(xué)生理性思維和創(chuàng)新思維的有效途徑.

同時(shí)，在研究銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用時(shí)，需要學(xué)生對(duì)圖形結(jié)構(gòu)相互關(guān)系進(jìn)行觀察和分析，對(duì)圖形整體或部分進(jìn)行必要的變換.有了前面的知識(shí)做鋪墊，學(xué)生已經(jīng)建立了各種解直角三角形的知識(shí)儲(chǔ)備和一定的推理能力基礎(chǔ)，有能力采用直觀與理性相結(jié)合的方式學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容.

一、教學(xué)實(shí)錄

上課開始，屏幕上以動(dòng)畫形式播放一個(gè)氣球在天空停留，一學(xué)生站在A點(diǎn)處觀測(cè)氣球，測(cè)得仰角為30°，然后他向著氣球的方向前進(jìn)了100m，此時(shí)小明再次觀測(cè)氣球，仰角為45°，若小明的眼睛離地面1.6m，小明如何計(jì)算氣球的高度呢？（精確到0.1m）

教師與學(xué)生一起畫出草圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，學(xué)生一起看圖，逐一說出問題中的已知量與未知量.

師：要計(jì)算CD，可以利用Rt△CBE和Rt△CAE，先找出BE、CE與已知量的關(guān)系？

生：可以設(shè)CE長(zhǎng)為xm，則在Rt△CBE中，由“等角對(duì)等邊”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，然后在Rt△CAE中，利用tan30°=，算出x+1.6的值，即為旗桿的高度.

師：根據(jù)上述方程，大家以最快的速度解這個(gè)方程，不會(huì)的相互幫忙一下.

點(diǎn)評(píng)：以上的分析過程簡(jiǎn)潔明了，根據(jù)30°角的正切值列出方程也很容易理解，但是具體在解這個(gè)方程的過程中，學(xué)生卻遇到了很大的麻煩。有很多學(xué)生不會(huì)解決此類方程，因?yàn)榉匠讨衳的系數(shù)帶有根號(hào)，而且要先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，最后還要經(jīng)歷分母有理化的過程，分母有理化本身是書本上的選修內(nèi)容，中間還滲透了平方差公式，對(duì)于一些對(duì)平方差公式不熟練的學(xué)生而言，這是解此類方程的一個(gè)難點(diǎn).

教師邊引導(dǎo)學(xué)生解方程的一般步驟，邊引導(dǎo)學(xué)生找出分母的有理化因式，從而保證結(jié)果的最簡(jiǎn)，師生一起努力共同完成解答過程.

生：解：設(shè)CE長(zhǎng)為xm，在Rt△CBE中，

∵∠CEB=90°，∠CBE=45°，

∴∠CBE=∠BCE=45°，

由“等角對(duì)等邊”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，

在Rt△CAE中，∠CEA=90°，tan∠CAE=，

∴tan30°=，

即=

∴3x=100+x

∴（3-）x=100

∴x===50（+1）

∴CD=CE+DE=50（+1）+1.6≈138.2m.

教師點(diǎn)評(píng)：這一種方案是先在Rt△CBE中設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)“邊角關(guān)系”用的代數(shù)式表示BE，從而表示AE，最后在Rt△ACE中利用tan30°的函數(shù)值列出方程，從而達(dá)到解決問題的目的.除了用以上方法解決問題外，同學(xué)們觀察一下圖形的特點(diǎn)，能否找出已知線段與未知線段之間存在的相等關(guān)系？

生：AE-BE=AB.

師：能否根據(jù)這一相等關(guān)系列方程呢？大家先獨(dú)立研究，然后把自己的研究成果與同組同學(xué)交流.

學(xué)生開始探究，教師巡視.巡視過程中發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)能利用第一種方案中的兩個(gè)直角三角形展開思維，也有的同學(xué)在“AE-BE=AB”的基礎(chǔ)上重新設(shè)未知數(shù)，結(jié)果得出的方程與第一種方案一致.

師：請(qǐng)想出不同方案的同學(xué)把你的研究成果寫在黑板上，其他小組進(jìn)行補(bǔ)充.

全體同學(xué)一起努力，最后得到如下結(jié)果：

設(shè)CE=xm，在Rt△ACE中，∠AEC=90°，

∵tan30°=，∴AE==x.

在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∵tan45°=，∴BE==x，由AE-BE=AB可知，x-x=100，∴（-1）x=100，∴x===50（+1）.

教師總結(jié)：以上給出了兩種方案，從解題的技巧和解題方法來(lái)看，第一種方案利用小Rt△BEC的邊角關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再由大Rt△AEC的邊角關(guān)系列方程，由內(nèi)而外地展開大家很容易理解，但是得出方程后解此方程有一定的困難.第二種方案由兩個(gè)直角三角形同時(shí)進(jìn)行，利用邊角關(guān)系表示AE，BE，再根據(jù)“AE-BE=AB”直接列出方程，而且這個(gè)方程比第一種方案中的方程容易解，由此評(píng)價(jià)方案二比較可行，但是方案二中表示AE，BE時(shí)必須注意方式方法.

師：將問題中的特殊角改為27°與40°，其他數(shù)據(jù)不變，求氣球的高度，選擇一種你認(rèn)為比較合適的方案，自己先試一試.

（在巡視的過程中，選兩位用不同方法解答完成的學(xué)生上黑板板演.）

生甲：設(shè)CE=xm，

在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∵tan40°=，∴BE==.

在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∵tan27°=，∴AE==.

∵AE-BE=100，∴-=100.

∴tan40°x-tan27°x=100·tan27°·tan40°.

∴x=.

生乙：設(shè)CE=xm，

在Rt△BEC中，∠BEC=90°，

∵tan40°=，∴BE==.

在Rt△AEC中，∠AEC=90°，

∵tan27°=，∴tan27°=.

∴100·tan27°+=x.

∴100·tan27°·tan40°+tan27°·x=tan40°·x.

∴x=.

教師與學(xué)生一起點(diǎn)評(píng)，生甲的方案是建立在“AE-BE=100”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，方程比較簡(jiǎn)單，解題的過程簡(jiǎn)潔明了.生乙的方案是由內(nèi)而外展開，由小Rt△BEC內(nèi)的邊角關(guān)系設(shè)未知數(shù)，由大Rt△AEC的邊角關(guān)系列方程，所列方程稍微有點(diǎn)復(fù)雜，但是只要細(xì)心，照樣可以解出答案.

師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)直角三角形有著一條公共的邊呢？

生：有，是線段CE.

師：能否根據(jù)公共邊相等列方程呢？此時(shí)設(shè)哪條線段為未知數(shù)比較合適呢？

生：設(shè)BE=xm，則AE=（100+x）m，在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∵tan40°=，∴CE=BE·tan40°=x·tan40°.

在Rt△AEC中，∠AEC=90°，

∵tan27°=，

∴CE=AE·tan27°=（100+x）·tan27°，

∴x·tan40°=（100+x）·tan27°.

解得x=.

∴CE=·tan40°=.

最后求出氣球的高度即可.

教師總結(jié)：本節(jié)課我們主要研究了銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，學(xué)會(huì)了從各種不同的角度分析問題，抓住問題的突破口，步步逼近.今天我們一起探究了解決銳角三角函數(shù)的三種方案：方案一，由內(nèi)而外，利用三角函數(shù)列方程求解；方案二，根據(jù)兩線段之差等于已知線段列方程求解；方案三，抓住兩個(gè)三角形的公共邊列方程.這三種方案各有千秋，平時(shí)解題時(shí)我們要具體問題具體對(duì)待.

二、總評(píng)

1.本節(jié)課最大的“亮點(diǎn)”：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生自主探索，合作交流，注重培養(yǎng)學(xué)生理性思維的習(xí)慣和方法，求解過程不必統(tǒng)一，鼓勵(lì)多樣化的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

2.需要進(jìn)一步思考的問題：學(xué)生在探究的過程中，圖形語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言相結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，這一過程需要時(shí)間的保證，因此教學(xué)內(nèi)容還需要精簡(jiǎn)，教學(xué)語(yǔ)言還需要精練.