三角恒等變換的幾種常見技巧

三角恒等變換是三角函數(shù)部分的重點內(nèi)容.《考試說明》明確指出對三角公式和三角恒等變換的考查通常與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)相結合，或直接化簡求值.化簡求值的問題，不僅考查學生對相關公式掌握的熟練程度，更重要的是以三角公式（倍、半、和差、誘導等）為素材，重點考查相關的數(shù)學思想和方法，比如函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，等等.所以同學們熟練掌握三角恒等變換的一般方法和技巧是解決三角函數(shù)問題的關鍵.本文歸納了幾種三角恒等變換的常用技巧，僅供參考.

雖然三角變換的技巧多且靈活，但是萬變不離其宗，多是通過觀察角、名、形、冪之間的差異，進行差異分析，實現(xiàn)異角化同角、異名化同名、高次化底次、弦切互化等的變異求同.

1.變“角”

例1.設α∈（0，），β∈（，），cos（α-）=，sin（β+）=-，求sin（α+β）的值.

【分析】條件角是α-，β+，目標角是α+β，運用轉(zhuǎn)化與化歸思想得到α+β=（α-）+（β+）-.

【解答】由α∈（0，）得到α-∈（-，0），所以sin（α-）=-=-.

由β∈（，）得到β+∈（π，），所以cos（β+）=-=-.

所以sin（α+β）=sin[（α-）+（β+）-]=-cos[（α-）+（β+）]=.

【評析】本題可以直接利用和角、差角公式展開cos（α-）=，sin（β+）=-得到sinα，sinβ，cosα，cosβ.這也是一種思路，但是計算量太大.本題的解法通過配角化異求同，溝通已知角與未知角的關系，大大提高了解題效率.但是解題中要注意角的范圍，α-∈（-，0），β+∈（π，）是不可缺少的，忽視角的范圍限制，容易產(chǎn)生運算錯誤.

常用的角度變換有：α=（α+β）-β=（α-β）+β，2α=（α+β）+（α-β），（+α）+（-α）=，等等.

2.變“名”

例2.已知函數(shù)f（x）=tan（2x+），

（Ⅰ）求f（x）的定義域與最小正周期；

（II）設α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小.

【分析】解決三角函數(shù)問題要三看，即看角、看名、看式.由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，這里有復角α+，倍角2α，單角α，首先得消除角的差異，即α+，2α→α；其次函數(shù)化切化弦.

【解答】（I）易解得定義域為{x|x≠+，k∈Z}，最小正周期T=.

（II）解：由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，即=2（cosα-sinα），即=2（cosα+sinα）（cosα-sinα）.

因為α∈（0，），所以sinα+cosα≠0，所以（cosα-sinα）=，即sin2α=.

由α∈（0，），得2α∈（0，），所以2α=，α=.

【評析】弦切互化是化函數(shù)異名為同名的最常用方法.忽視角的范圍限制是產(chǎn)生錯誤的重要原因.

3.變“式”

例3.求值：tan17°+tan43°+tan17°tan43°.

【分析】非特殊角→特殊角，利用公式變形整體求解.

【解答】tan60°=tan（17°+43°）==，所以tan17°+tan43°=（1-tan17°tan43°），所以tan17°+tan43°+tan17°tan43°=.

【評析】在進行三角變換時，順用公式的情況比較普遍，但如果能根據(jù)題目的結構，聯(lián)想到公式的變形、逆用，那么就會“柳暗花明又一村”.本題的巧妙之處在于將兩角和的正切公式變形為tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）.

4.變“次”

例4.函數(shù)f（x）=sin（2x-）-2sinx的最小正周期是

？搖？搖？搖 ？搖.

【分析】已知條件中存在次數(shù)的差異，應先運用降次、升冪公式消除次數(shù)差異.

【解答】f（x）=sin（2x-）-2=sin2x-cos2x-+cos2x=sin2x+cos2x-=sin（2x+）-，所以最小正周期是π.

【評析】通過降次、升冪等手段，為使用公式創(chuàng)造條件，也是三角變換的一種重要策略.常見的降次公式有sinx=，cosx=；升冪公式有：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα.

5.“1”的妙用

例5.已知a，β均為銳角，且tanβ=，則tan（α+β）=

？搖？搖？搖 ？搖.

【分析】已知條件是sinα，cosα的齊一次式，聯(lián)想到化弦為切，轉(zhuǎn)化為tanα，tanβ的關系.

【解答】tanβ===tan（-α）.又因為α，β均為銳角，所以β=-α，即α+β=，所以tan（α+β）=1.

【評析】在三角變換中，“1”的妙用使問題迎刃而解.常見的有1=sinα+cosα，1=tan.

6.整體處理

例6.已知sinθ+cosθ=，且θ∈[，]，則cos2θ的值是

？搖？搖 ？搖？搖.

【分析】看到sinθ+cosθ=比較容易想到sinθ+cosθ=sin（θ+）=，那么2θ=2（θ+）-，這是一種思路.當然還可以從化同角的角度把單角變倍角，則只需平方即（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ；或者把倍角轉(zhuǎn)化為單角，則cos2θ=cosθ-sinθ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ），只要能求出cosθ-sinθ，這個問題就解決了.

【解答】法一：sinθ+cosθ=兩邊平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ=，即sin2θ=-.又因為θ∈[，]，所以2θ∈[π，]，所以cos2θ=-=-.

法二：sinθ+cosθ=兩邊平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=-，

又（cosθ-sinθ）=cosθ-2sinθcosθ+sinθ=1-2sinθcosθ=，又θ∈[，]，

所以cosθ-sinθ<0，即cosθ-sinθ=-.所以cos2θ=cosθ-sinθ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）=·（-）=-.

【評析】題目雖短，卻是三角函數(shù)中的一個非常典型的問題，它體現(xiàn)了三角函數(shù)解題的一些基本規(guī)律和基本方法，比如角的變換、函數(shù)名的變換、整體處理等.特別要熟悉sinθ+cosθ，sinθ·cosθ，sinθ-cosθ這三者之間的聯(lián)系，即知一求二.

總之，在三角恒等變換中要注意：（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)、結構之間的差異，進行“差異分析”；（2）尋找聯(lián)系：運用相關的公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系；（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇適當?shù)墓?，進行差異的轉(zhuǎn)化.從而實現(xiàn)“名”、“角”、“形”的統(tǒng)一，同時要注意角的取值范圍對轉(zhuǎn)化的影響.