平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

平面向量數(shù)量積是新課程中平面向量的重要內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等章節(jié)知識的交匯點(diǎn)，因此受到高考命題者的青睞.但這也成為眾多學(xué)生眼里的知識難點(diǎn)，尤其在方法的選擇上存在著很大的盲目性.下面就最近幾年各地高考或模擬試卷上出現(xiàn)的題目做簡要的歸類，希望能給廣大考生提供參考.

一、定義法

所謂定義法，顧名思義就是利用平面向量數(shù)量積的定義·=||·||·cosθ（其中與之間的夾角）直接進(jìn)行運(yùn)算.

例1：（2005湖南）已知直線ax+by+c=0與圓O：x+y=1相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=，則·？搖？搖？搖？搖.

解析：易知和的模即為圓的半徑1，而根據(jù)直線與圓相交的性質(zhì)，可以得到兩向量之間的夾角為120°，因此·=1×1×cos120°=-.

例2：（2004浙江）已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足||=3，||=4，||=5，則·+·+·的值等于？搖？搖？搖？搖.

解析：盡管該題目的解法較多，但是從定義入手還是比較直觀明朗的：

·=||×||×cos（π-B）=-12cosB=-12×=0

·=||×||×cos（π-C）=-20cosC=-20×=-16

·=||×||×cos（π-A）=-15cosA=-15×=-9

最后，三者相加為-25.需要提醒學(xué)生的是本題中各個向量之間的夾角，一定要平移到“共起點(diǎn)”再運(yùn)算.

小結(jié)：用定義來計(jì)算平面向量的數(shù)量積，思維較為單一，目標(biāo)十分明確，該類題目的關(guān)鍵是要明確兩個向量各自的模跟兩者夾角的大小.但是，參照近幾年全國各地的高考試題，很多考查數(shù)量積的題目，其涉及的模和夾角并不明朗.因此，處理平面向量數(shù)量積的另一個重要手段便呼之欲出.

二、分解轉(zhuǎn)化法

所謂分解轉(zhuǎn)化法，即在具體問題中，根據(jù)原有圖形對所求問題中涉及的向量進(jìn)行分解，化為用一組基底表示的向量處理.如果能合理地選擇基底，該方法便能大大減少運(yùn)算量，達(dá)到事半功倍之效果.

但是，筆者在日常的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對分解轉(zhuǎn)化較為生疏，尤其在基底的選擇上存在著很大的困惑.下面就近幾年來各地?？季砑案呖荚囶}中出現(xiàn)的數(shù)量積問題作簡要分析.

例3：在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn)，則·=？搖？搖？搖 ？搖.

解析：本題中無論是還是的模都不清楚，兩者的夾角也不明確，因此用定義法顯然是不合適的.但是根據(jù)向量加法的定義，可以得到=+=+，=+，這樣，所求數(shù)量積中涉及的兩個向量都與已知條件中的AB和AD產(chǎn)生了聯(lián)系，問題自然就能輕松解決：·=--·=1-2-×1×2×cos50°=-.

例4：如圖，扇形AOB的弧的中點(diǎn)為M，動點(diǎn)C，D分別在線段OA，OB上，且OC=BD.若OA=1，∠AOB=120°，則·的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

解析：本題中已知的量是半徑MO，因此盡可能把所求的和向靠攏.根據(jù)向量加法，易得到·=（+）（+）=+·+·+·，設(shè)OC=x，則OD=1-x，·=1+（1-x）cos120°+xcos120°+x（1-x）cos120°=x-x+，由x∈[0，1]得·的取值范圍為[，].

例5：（2008年蘇州市一模）已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，點(diǎn)A，B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為，

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)E（3，0），設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，滿足EP⊥EQ，求·的取值范圍.

解析：（1）略，橢圓方程為+=1.

（2）由于P，Q兩點(diǎn)都是動點(diǎn)，很顯然無法通過定義直接表示·.這時要抓住EP⊥EQ這一核心條件，將向量轉(zhuǎn)化成跟與有關(guān)的結(jié)果，即·=（+）=，從而將所求的量轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間的距離的運(yùn)算.設(shè)P（x，y），則=（x-3）+y，由y=9-x得·=x-6x+18=（x-4）+6，由于-6≤x≤6，因此·的取值范圍為[6，197e19a2a74dae14317cf76162257064a9e451b50ffe054cb2dfadf7c269b3d181].

例6：（2012年上海高考）在平行四邊形ABCD中，∠A=，邊AB、AD的長分別為2、1.若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足=，則||·||的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

解析：本題中與已知條件有關(guān)的向量是和，因此就找到了、的化簡方向.記==λ（0≤λ≤1），則 =λ，=（1-λ）.結(jié)合向量的加法得到·=（+）（+）=（+λ）[+（1-λ）]=（1-λ）+λ+[1+λ（1-λ）]·.再由向量數(shù)量積的定義得到·=1，經(jīng)整理，·=λ-2λ+5（0≤λ≤1），所以當(dāng)λ分別等于0和1時，·取得最大值5和最小值2.

小結(jié)：該方法的實(shí)質(zhì)就是化歸思想的體現(xiàn).根據(jù)上述幾例不難發(fā)現(xiàn)，基底的選擇往往與題目中的已知條件有著密切的聯(lián)系.因此處理該類問題時，可以根據(jù)向量加法及數(shù)乘等知識，將所求數(shù)量積中的向量跟已知量（通常是某些圖形的邊長）聯(lián)系起來，再通過一系列展開化簡，問題便能迎刃而解.

三、解析法

解析法是基于向量的坐標(biāo)表示、通過建立合適的直角坐標(biāo)系來求數(shù)量積的方法.由于該方法不用太多轉(zhuǎn)化，因此很多學(xué)生在解決平面向量數(shù)量積的時候比較傾向于這一方法.

例7：在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點(diǎn)M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)，求·的范圍.

解析：雖然易求得||=，但||、與的夾角不易求得，由于△ABC是等腰直角三角形，故可建立平面直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)A，B，C，M，N用坐標(biāo)表示即可.

具體如下：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在的直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則C（0，0），A（1，0），B（0，1），M（，），N（0，）.

設(shè)P（x，y），則x≥0y≥0x+y≤1.

∴=（-1，），=（x-，y-），

∴·=-1×（x-）+×（y-）=-x+y+.

由線性規(guī)劃的知識可得·的范圍為[-，].

例8：（2012年江蘇高考）如圖，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·的值是，則·的值是？搖？搖 ？搖？搖.

解析：本題中矩形背景為建立直角坐標(biāo)系提供了便利條件，具體如下：分別以AB、AD在直線為x軸和y軸，則A（0，0），B（，0），C（，），D（0，2），E（，1）.設(shè)F（x，2），其中0≤x≤，則·=（，0）·（x，0）=x=，解得x=1，則·=（，1）·（1-，2）=（1-）+2=.

小結(jié)：坐標(biāo)法體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，在解決向量問題的時候有著廣泛的應(yīng)用，但此類方法也有一定的局限性，確切地說只適合于圖形背景較容易建立直角坐標(biāo)系（如直角三角形、等腰三角形、圓、扇形等）的題目.否則，不僅僅會帶來計(jì)算上的麻煩，甚至可能會走進(jìn)運(yùn)算的死胡同.這一點(diǎn)應(yīng)引起廣大考生的重視.

當(dāng)然，考生在利用上述方法解題時，應(yīng)注意到各方法之間的聯(lián)系互通，而不應(yīng)將各個方法孤立起來.譬如例4，也可以通過建立直角坐標(biāo)系后采用坐標(biāo)法來解決，而2012年江蘇高考題的第7題，同樣也可以避免建系而改用定義結(jié)合三角函數(shù)的知識求解.因此，也只有學(xué)生認(rèn)識到各個方法適用的題型，才能對該類問題了然于心，從而選擇最合適的方法獲解.