淺談與四邊形有關(guān)的動態(tài)問題

動態(tài)題是近年來中考的一種常見題型，各地中考越來越關(guān)注動態(tài)問題.動態(tài)問題在中考中大多以壓軸題出現(xiàn)，集代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等知識于一體.綜合性、探究性較強，有助于培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合、探究、邏輯推理能力和知識的整合能力，所以也備受關(guān)注.動態(tài)圖一般指題目圖形中存在一個或多個動點、動線、動圖，它們在折線、射線或弧線上運動的一類開放性題目.有關(guān)動態(tài)問題的綜合題要特別關(guān)注運動與變化中的不變量不變關(guān)系或特殊關(guān)系，注重在圖形形狀或位置的變化過程中尋求函數(shù)與方程、函數(shù)與幾何、函數(shù)與解直角三角形的聯(lián)系.下面主要探討與四邊形有關(guān)的動態(tài)問題.

—、動點問題

動點問題主要有兩種題型：一是尋找滿足條件的點的位置；二是由動點問題探究題目中變化的量之間的關(guān)系.

例1：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高為，動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，設(shè)運動的時間為（秒），

圖1

（1）當(dāng)MN//AB時，求t的值；

（2）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形.

思路分析1：第一小題是求滿足條件的值，首先要注意審題，明確題目提供哪些變量、哪些不變量.通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解.所以當(dāng)題中設(shè)定MN//AB時，其實是一個靜止問題.通過作輔助線腰的平行線便可將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時候的靜態(tài)問題，于是由平行得到相似，列出比例式建立變量與不變量之間的關(guān)系，很快可以求出滿足條件的值.

解：（1）由題意知，當(dāng)M、N運動到t秒時，如圖2，過D作DE//AB交BC于E點，則四邊形是平行四邊形.

圖2

∵AB//DE，AB//MN，

∴DE//MN.

∴=.

∴，解得t=.

思路分析2：由于我們平常見到的等腰三角形經(jīng)常是MN=NC這種狀態(tài).因此就漏掉了MN=MC，MC=CN這兩種情況.在中考中如果在動態(tài)問題當(dāng)中出現(xiàn)等腰三角形，就一定不要忘記分類討論的思想，任意兩邊都可以當(dāng)腰.具體分類以后，就成了較為簡單的解三角形問題，最后要提醒學(xué)生注意檢驗值是否符合題意.像這種題目一般先假設(shè)結(jié)論成立，再根據(jù)結(jié)論與已知條件進行合情推理，去偽存真，得到正確結(jié)論.

（2）分三種情況討論：

①當(dāng)MN=NC時，如圖3，作MF⊥BC交于F，則有MC=2FC，易得10-2t=2×，解得t=.

圖3

②當(dāng)MN=MC時，如圖4，過M作MH⊥CD于H，則CN=2CH，即t=2（10-2t）×，解得t=.

圖4

③當(dāng)MC=CN時，10-2t=t，解得t=.

綜上所述，當(dāng)t=、或時，△MNC為等腰三角形，

總結(jié)：例1中（2）小題由動點產(chǎn)生特殊三角形，此外，這種存在性問題還包括存在特殊四邊形、相似三角形、全等三角形、最值問題、對稱問題、距離之和最小問題等，這里就不一一介紹了.

二、動線問題

解動線問題時，也要特別關(guān)注運動與變化中的不變量，不變關(guān)系或特殊關(guān)系，綜合應(yīng)用函數(shù)、方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想.

例2：如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標(biāo)為（4，3）.平行于對角線AC的直線m從原點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M、N，直線m運動的時間為t（秒）.

（1）點A的坐標(biāo)是？搖？搖 ？搖，點B的坐標(biāo)是？搖？搖 ？搖？搖；

（2）當(dāng)t=？搖？搖 ？搖？搖秒時，MN=AC；

（3）設(shè)△OMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）探求（3）中得到的函數(shù)S有沒有最大值；若有，求最大值，若沒有，請說明理由.

思路分析：第二小題很多學(xué)生會很自然地認(rèn)為MN與AC的位置關(guān)系只有題目提供的圖示情況，從而忽略了隱含的另一種情況而導(dǎo)致失分.第三小題以一條運動的直線為載體，以矩形為背景探究圖形面積的變化也要先確定分段點，分兩段尋求S與t的函數(shù)關(guān)系.

解：（1）（4，0）（0，3）

（2）2或6

（3）當(dāng)0

由△OMN∽△OAC，得==，

∴ON=t，S=t.

當(dāng)4

由△DAM∽△AOC，可得AM=（t-4），

∴S=△OND的面積-△OMD的面積

=t-t（t-4）=-t+3t.

（4）有最大值.理由：當(dāng)0

在對稱軸直線t=0的右邊，S隨t的增大而增大，

∴當(dāng)t=4時，S可取到最大值×4=6.

當(dāng)4

綜上，當(dāng)t=4時，S有最大值6.

三、動圖問題

動圖問題，經(jīng)常以三角形或四邊形來創(chuàng)設(shè)情境，探索三角形或四邊形在運動變化過程中蘊含的規(guī)律或相關(guān)結(jié)論.

例3：如圖7，直線y=-x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點，點M是線段AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于D.

（1）當(dāng)點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長是否發(fā)生變化？并說明理由.

（2）當(dāng)點M運動到什么位置時，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？

（3）當(dāng)四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動，設(shè)平移的距離為a（0

思路分析：本題中點M的位置改變，從而使四邊形OCMD的形狀一直在變，但是點M在第一象限，它到x軸和y軸的距離分別是它的縱、橫坐標(biāo)，所以利用周長與面積公式很容易得出周長不變的結(jié)論和面積的最值.第三小題以三角形為背景，以運動的正方形為載體探究圖形面積的變化情況，也是分段函數(shù).所以要先確定分段點，畫出每一段的某一時刻的圖形進行探究.

解：（1）設(shè)點M的橫坐標(biāo)為x，則點M的縱坐標(biāo)為-x+4（00，-x+4>0）.

則MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，

∴C=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8.

∴當(dāng)點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化，總是等于8.

（2）根據(jù)題意得S=MC×MD=（-x+4）x=-x+4x=-（x-2）+4.

∴四邊形OCMD的面積是關(guān)于點M的橫坐標(biāo)x（0

（3）如圖8，當(dāng)0

如圖9，當(dāng)2≤a<4時，S=（4-a）=（a-4）.

圖8 圖9

動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題，這種題型靈活性大，綜合性強，一般思路如下。

第一，注意審題，結(jié)合圖形進行分析，要明確的是在變化過程中有哪些不變的量和變量，并對它們進行梳理，把一個個條件分離出來，將大問題化成若干個小問題去解決.針對運動的量，要掌握其運動的方式與形式.針對不動的量，要建立它們和動量之間的關(guān)系.

第二，確定臨界點，準(zhǔn)確地對自變量進行分段，全方位考查導(dǎo)致圖形發(fā)生變化的各個時刻，畫出每一段某個瞬間的圖形.在各個靜態(tài)圖形中探索各個變量的關(guān)系.如果沒有靜止?fàn)顟B(tài)，則可通過比例、相等關(guān)系等建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究.

第三，在做題過程中時刻注意是否需要分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學(xué)失分是因為沒有討論，只是想當(dāng)然地認(rèn)為只有題目所給的那一種圖示形式，沒有挖掘出題目隱含的另一種情況.