基于MATLAB的弗蘭克-赫茲實驗數(shù)據(jù)處理

張 容

（成都師范學(xué)院，四川成都 611130）

基于MATLAB的弗蘭克-赫茲實驗數(shù)據(jù)處理

張 容

（成都師范學(xué)院，四川成都 611130）

精確地找出峰值和谷值點，是減小弗蘭克-赫茲實驗誤差的關(guān)鍵。通過用待定系數(shù)法求出各峰值和谷值點附近的曲線方程，再對曲線方程求導(dǎo)，得出極值點，從而確定峰值和谷值點。同時，利用高效的MATLAB工程計算語言處理計算過程中的數(shù)據(jù)，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算變簡單。

數(shù)據(jù)處理；MATLAB；曲線方程

作為主要的近代物理實驗之一的弗蘭克-赫茲實驗，目前，各大高校均于開設(shè)，由于需要處理的數(shù)據(jù)較多，手工繪圖誤差較大，同樣的實驗數(shù)據(jù)用不同的處理方法，其結(jié)果大相徑庭［1］。之前，對其數(shù)據(jù)的處理有很多論文進行了研究，方法多樣，筆者在近年來的教學(xué)實踐中，在總結(jié)各種方法的基礎(chǔ)上，引入目前理論研究和工程應(yīng)用領(lǐng)域應(yīng)用較廣泛的科學(xué)計算語言—MATLAB軟件，結(jié)合高等數(shù)學(xué)知識，不但容易精確地處理了數(shù)據(jù)，而且加深了對MATLAB軟件開發(fā)原理的理解。下面就MATLAB軟件強大的數(shù)值計算功能中的解線性方程組和求多項式的根，應(yīng)用在弗蘭克-赫茲實驗數(shù)據(jù)處理中。

1　實驗簡介

如圖1所示，在真空管（即弗蘭克—赫茲管）內(nèi)充以汞蒸氣，點燃的燈絲H為陰極K加熱，在陰極K和柵極G之間加一加速電壓UGK，由熱陰極K發(fā)射的電子，在UGK形成的加速電場作用下加速向上運動。在陽極A與柵極G間加有反向拒斥電壓UAG，形成反向拒斥電場。當(dāng)電子通過KG空間時，如果能量E＞eUAG，就能克服拒斥電場的作用而到達陽極極板A形成陽極電流IA；如果一些電子在KG空間與汞原子發(fā)生非完全彈性碰撞，把自己一部分能量給了汞原子，使汞原子被激發(fā)，就有可能使電子在通過柵極后所剩余的能量E＜eUAG，而不足以克服反向拒斥電場的作用，

圖1　弗蘭-克赫茲實驗原理圖

到達A板形成電流，這時陽極電流IA顯著減少。如圖2所示，隨著柵極電壓UGK增加，IA出現(xiàn)一系列的峰值和谷值，這就驗證了原子能級的存在，

圖2　IA-UGK關(guān)系曲線

從而證明波爾理論的正確。相鄰峰值（谷值）之間的電壓間距稱之為汞原子的第一激發(fā)電位U0，這是實驗需要測量的，一般采用手動和X—Y記錄儀自動繪制IA-UGK關(guān)系曲線，再根據(jù)曲線找出各峰值（谷值）的坐標(biāo)值，再用逐差法求出汞原子的第一激發(fā)電位U0。然而，手動要繪制IAUGK關(guān)系曲線，需要至少測出50組的數(shù)據(jù)，繪出的曲線不平滑，很難找出峰值和谷值點；X—Y記錄儀自動在坐標(biāo)紙上繪制IA-UGK關(guān)系曲線，雖然平滑，但在極值點上，曲率較小，也不能較精確找出峰值和谷值點［2］。

2　數(shù)據(jù)處理方法

如何精確地找出峰值和谷值點是減小誤差的關(guān)鍵。用待定系數(shù)法在IA-UGK關(guān)系曲線各峰值和谷值點鄰域內(nèi)求出其近似的曲線方程，再對曲線方程求導(dǎo)，找出駐點，根據(jù)駐點判斷出極值點，就可較精確找出峰值和谷值點了。

由高等數(shù)學(xué)知識可知，任意初等函數(shù)均可以展開成冪級數(shù)的形式，即:

根據(jù)誤差的要求，可以近似取前n項，即:

如在需求曲線方程的點附近有n組已知數(shù)據(jù)（x0，y0），（x1，y1），…（xn，yn），將其代入（1）式，得線性方程組:

利用MATLAB解線性方程組，得出待定系數(shù)a0，a1，…an，再代入（1）式，得出在各峰值（谷值）鄰域內(nèi)的曲線方程:

對（2）式求導(dǎo):

令（3）式等于0，利用MATLAB求出多項式方程的根，根中一定有一峰值（谷值）點，重復(fù)上述步驟，分別得出6至8各峰值（谷值）點，通過逐差法求出汞原子的第一激發(fā)電位U0。解線性方程組和求高次多項式方程的根借助于MATLAB，只需幾條語句問題就得以解決。

3　實驗數(shù)據(jù)測量和處理

打開充汞FH2031型弗蘭克-赫茲實驗儀，預(yù)熱30 min，將燈絲電壓調(diào)到2.8 V，UAG調(diào)到1.5 V，爐溫設(shè)在180℃。先從0～50 V調(diào)節(jié)加速電壓UGK，觀測極板電流IA的變化，記下IA出現(xiàn)峰值和谷值時UGK的大概位置，再在此位置附近每隔0.5 V測量出IA值。下面僅以UGK在15～35 V 內(nèi)IA出現(xiàn)的a、b、c、d四個點（見圖2）峰值為例，說明數(shù)據(jù)處理的方法，數(shù)據(jù)記錄如下:

表1　數(shù)據(jù)表格物理量/單位

將a點附近的數(shù)據(jù)代入（1）式（用UGK代替x，IA代替y），得到如下一個四元一次方程組。

將上述方程用矩陣形式表示為:

利用MATLAB求解矩陣I，程序代碼如下:A

得到的輸出結(jié)果為:

即a0、a1、a2、a3的值分別是-707.5971、87. 8098、-3.7323、0.0431，得出a點附近的曲線方程:

對上式求導(dǎo)得:f（x）′=87.8098-7.4646x+ 0.1293x2

令上式等于0，得多項式方程:

利用MATLAB求根，程序代碼如下:

得到的輸出結(jié)果為:

41.4752（不在a點鄰域內(nèi)，舍去）

即在a點的峰值電壓為Ua=16.3899 V，和直接讀數(shù)的峰值16.0 V比較，相差了2.44%。同理，可計算出b、c、d點的峰值電壓:

采用逐差法求出汞原子的第一激發(fā)電位:

與汞原子的第一激發(fā)電位公認值4.9 V計算出相對誤差:

4　結(jié)束語

用直接讀出峰值（谷值）的電壓來計算汞原子的第一激發(fā)電位，由于配套儀器的電壓表精度較低，加速電壓間隔最少為0.5V，電流表在各極值點不易穩(wěn)定下來，很難確定各峰值（谷值）點。用此法能較精確地找出各峰值（谷值）點，減小實驗誤差。同時，讓學(xué)生進一步掌握已學(xué)過的MATLAB這種計算工具和高等數(shù)學(xué)的級數(shù)知識。達到了事半功倍的教學(xué)效果。如果需要實驗誤差更小，可以在峰值（谷值）點附近多測幾組數(shù)據(jù)進行處理。

［1］ 安習(xí)，高松松.如何選擇弗蘭克-赫茲實驗的工作參數(shù)［J］.大學(xué)物理實驗，2014（6）:42-46.

［2］ 王斌科，付振堂.大學(xué)物理實驗［M］.西安:西北大學(xué)出版社，2009:279-284.

［3］ 薛定宇，陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)的MATLAB求解［M］.清華大學(xué)出版社，2004:159-160.

［4］ 高會生，劉童娜，李聰聰.MATLAB實用教程［M］.2 版.北京:電子工業(yè)出版社，2010:255-289.

The Application of MATLAB in the Franck-Hertz Experiment

ZHANG Rong
（Chengdu Normal University，Sichuan Chengdu 611130）

The pinpoint peak point is the key to reduce the Frank-Hertz experimental error.By using the undetermined coefficient method to calculate the peak curve equation near the point，and then on the curve equation derivation，reached maximum points，so as to determine the peak and valley points.At the same time，the calculation of language processing in the process of calculation data using efficient MATLAB project，make a complex mathematical operation becomes simple.

data processing；MATLAB；curve equation

O4-39

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.02.028

1007-2934（2015）02-0100-03

2014-10-20