數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的幾個(gè)突出問(wèn)題

[摘 要]數(shù)學(xué)建模教學(xué)與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽在全國(guó)各個(gè)高校中如火如荼的開(kāi)展開(kāi)來(lái)，但是隨著大家對(duì)數(shù)學(xué)建模課程研究的深入，一些不可回避的問(wèn)題甚至是矛盾逐漸顯現(xiàn)出來(lái)，特別是數(shù)學(xué)建模的“數(shù)學(xué)味道”大有淡化的趨勢(shì)。本文就數(shù)學(xué)建模教學(xué)中幾個(gè)尤為突出的矛盾的產(chǎn)生原因進(jìn)行了深入的分析，并提出了一些解決方法和建議。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模 計(jì)算機(jī)模擬

[中圖分類(lèi)號(hào)]TQ018 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1009 — 2234（2013）10 — 0138 — 02

數(shù)學(xué)建模教學(xué)與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽在全國(guó)各個(gè)高校中如火如荼的開(kāi)展開(kāi)來(lái)，但是隨著大家對(duì)數(shù)學(xué)建模課程研究的深入，一些不可回避的問(wèn)題甚至是矛盾逐漸顯現(xiàn)出來(lái)，期中尤為突出的是下面幾個(gè)。

一、數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)味道越來(lái)越淡

數(shù)學(xué)建模，無(wú)論是建模的過(guò)程還是最后得到的結(jié)果，數(shù)學(xué)味道都在淡化，其中的問(wèn)題值得我們?nèi)ニ伎肌?/p>

（一）數(shù)學(xué)建模過(guò)程的數(shù)學(xué)味道在淡化

老師：“同學(xué)，你的模型最后的結(jié)果是怎么得到的??？

學(xué)生：“用XX軟件算出來(lái)的?！?/p>

上面的對(duì)話可以說(shuō)在每一個(gè)學(xué)校的數(shù)模培訓(xùn)過(guò)程中都會(huì)上演。這使得我們不禁想問(wèn)：什是數(shù)學(xué)建模呢？大家的一般觀點(diǎn)是：“對(duì)于一個(gè)特定的現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)”。也就是說(shuō)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程需要充分利用數(shù)學(xué)工具，但我們逐漸感到數(shù)學(xué)建模過(guò)程越來(lái)越像“計(jì)算機(jī)模擬”了。誠(chéng)然，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件被開(kāi)發(fā)出來(lái)，對(duì)于一些特定的問(wèn)題甚至可以用計(jì)算機(jī)程序模擬數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程。例如學(xué)生在做統(tǒng)計(jì)問(wèn)題時(shí)，利用SPSS或是SAS軟件就很快從“數(shù)據(jù)”到達(dá)了“結(jié)果”，期中的過(guò)程幾乎沒(méi)有用到模型的建立與數(shù)學(xué)算法技巧。甚至?xí)r下相當(dāng)流行的“大數(shù)據(jù)”計(jì)算，其強(qiáng)調(diào)的就是勁量拋開(kāi)中間環(huán)節(jié)，從“數(shù)據(jù)”到“結(jié)論”。對(duì)于這樣的現(xiàn)象，我的觀點(diǎn)是“計(jì)算機(jī)模擬在數(shù)學(xué)的應(yīng)用層面上是十分有益的，但是過(guò)多的在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與競(jìng)賽中使用卻是不利的，因?yàn)樗鼧O大的淡化了數(shù)學(xué)建模的‘?dāng)?shù)學(xué)味’”。建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程是一個(gè)“技術(shù)”的工作，也是一個(gè)“藝術(shù)”的過(guò)程，它無(wú)不體現(xiàn)了建模者的智慧和技巧，而在建立完數(shù)學(xué)模型后的解模過(guò)程往往也需要一些巧妙的算法。讓我們?cè)囅胍幌?，如果將這些過(guò)程全都去掉后，數(shù)學(xué)建模還剩下什么呢？我們開(kāi)展數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的“開(kāi)拓知識(shí)面，培養(yǎng)創(chuàng)造精神”目標(biāo)達(dá)到了嗎？

怎么辦？我認(rèn)為數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程還是應(yīng)該完整的保留下來(lái)，在解模的過(guò)程中可以適當(dāng)利用計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算，這樣對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)都十分有利。

（二）數(shù)學(xué)建模的結(jié)果的數(shù)學(xué)味道在淡化

如果完全用計(jì)數(shù)機(jī)模擬數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，得到的結(jié)果是難以反映研究對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律的，也是不利于模型的推廣的。我們知道，有很多微分方程是沒(méi)有解析解的，現(xiàn)在好多參加數(shù)模競(jìng)賽的同學(xué)都是用計(jì)算機(jī)軟件算出了微分方程“數(shù)值解”就完了，他們根本不去思考方程是否能通過(guò)合理的假設(shè)得到一個(gè)方程的近似“解析解”。試問(wèn)“一個(gè)計(jì)算機(jī)算出來(lái)的一個(gè)數(shù)值的結(jié)果和經(jīng)過(guò)人們頭腦分析后得到的解析形式的結(jié)果哪個(gè)更容易被推廣呢？”答案顯然是后者，因?yàn)樗芊从逞芯繉?duì)象的內(nèi)在規(guī)律，抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，甚至可以解決這一類(lèi)問(wèn)題。例如預(yù)測(cè)人口的“阻滯增長(zhǎng)模型”，它除了可以預(yù)報(bào)人口以外，也可以預(yù)報(bào)某城市的汽車(chē)保有量等等。

二、數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)建模教學(xué)的可行性的矛盾越來(lái)越突出

嚴(yán)謹(jǐn)性，是數(shù)學(xué)學(xué)科理論的基本特點(diǎn)之一。它要求數(shù)學(xué)概念必須嚴(yán)格加以定義，即使是那些最最基本的而又不能按邏輯方法加以定義的原始概念，除了用直觀語(yǔ)言描述以外，還要求用公式加以確定。除此之外，它還要求數(shù)學(xué)的結(jié)論必須準(zhǔn)確地表述，數(shù)學(xué)推理、論證必須合乎邏輯地進(jìn)行，數(shù)學(xué)計(jì)算必須無(wú)可爭(zhēng)辯?？梢哉f(shuō)，整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科體系就是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。

針對(duì)那些數(shù)學(xué)家提出的“數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性要求”，我認(rèn)為在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，教師在安排教學(xué)內(nèi)容、講授數(shù)模的基礎(chǔ)知識(shí)的時(shí)候，還是應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點(diǎn)，使學(xué)生在理解、掌握、應(yīng)用這些知識(shí)的時(shí)候能盡可能的滿足嚴(yán)謹(jǐn)性的要求。

實(shí)際上，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性要求，學(xué)習(xí)和講授數(shù)學(xué)建模的學(xué)生和教師都需要有一個(gè)適應(yīng)期。特別是剛剛接觸數(shù)學(xué)建模的學(xué)生，由于缺少這個(gè)方面的訓(xùn)練，致使他們很不適應(yīng)嚴(yán)謹(jǐn)性的要求。而教師呢，是否能在講授數(shù)模課的時(shí)候很好的掌握嚴(yán)謹(jǐn)性的要求也存在疑問(wèn)。

正是因?yàn)閿?shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)建模教學(xué)對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性提出了極高的要求，使得它與教學(xué)的可行性的矛盾越來(lái)越突出了。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臇|西其實(shí)是不利于教學(xué)的，因?yàn)檫@就像公理一樣，我們只要記憶就好，還要老師教學(xué)嗎，還需要發(fā)散思維干嘛？

其實(shí)，在數(shù)學(xué)建模中，嚴(yán)謹(jǐn)性和可行性是相對(duì)的。作為矛盾的雙方，它們也在“對(duì)立與統(tǒng)一”中發(fā)展，我們可以在數(shù)模教學(xué)中體現(xiàn)出一種“有彈性”的嚴(yán)謹(jǐn)。這樣既保證了教學(xué)的正常進(jìn)行，又發(fā)展了學(xué)生的邏輯思維能力，從而達(dá)到一個(gè)相對(duì)統(tǒng)一的良性循環(huán)。例如，有些止步于不完全歸納的數(shù)學(xué)建模中的數(shù)量關(guān)系，不能因?yàn)樗粐?yán)謹(jǐn)，我們就不去教學(xué)。又比如在不清楚x和y的函數(shù)關(guān)系y= f（x） 前，我們可以根據(jù)泰勒公式假設(shè) y=ax+b ，我們不能因?yàn)榧僭O(shè)不夠嚴(yán)謹(jǐn)就不去使用它。

三、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的抽象性與具體對(duì)象的直觀性的矛盾

抽象性，數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點(diǎn)之一。數(shù)學(xué)建模是以現(xiàn)實(shí)世界的事物內(nèi)在規(guī)律為研究對(duì)象，所以應(yīng)該是非常直觀的。但是，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程又將客觀對(duì)象的其他特征拋開(kāi)，只是保留空間與數(shù)量關(guān)系來(lái)進(jìn)行研究，所以，數(shù)學(xué)建模有十分顯著地抽象性。于是，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的抽象性與具體對(duì)象的直觀性的矛盾就突顯出來(lái)。

我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)，應(yīng)該把數(shù)學(xué)建模的抽象性與具體對(duì)象的直觀性有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，達(dá)到一個(gè)“平衡”。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，老師講授的數(shù)學(xué)建模方法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)十分容易掩蓋研究對(duì)象之間的具體聯(lián)系。其實(shí)，那些數(shù)學(xué)方法本身并不排斥具體研究對(duì)象的直觀性，恰恰相反，具體研究對(duì)象正是數(shù)學(xué)建模研究的素材。從學(xué)生的角度而言，他們的抽象思維是有局限的而且對(duì)直觀的對(duì)象往往有很強(qiáng)的依賴。那么，我是在講解數(shù)學(xué)建模課程時(shí)就必須以具體事例出發(fā)，切不可“憑空”講授，例如在講解“線性規(guī)劃”時(shí)，在沒(méi)有實(shí)際問(wèn)題的背景下直接講授概念和算法，會(huì)使學(xué)生覺(jué)得不好接受，學(xué)習(xí)起來(lái)步履蹣跚。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)必須現(xiàn)實(shí)的研究對(duì)象入手，適時(shí)地上升為抽象的理論，然后還必須及時(shí)的把這些理論應(yīng)用到更加豐富、更加廣泛的具體對(duì)象上去。這樣，學(xué)生就會(huì)逐漸突破其固有的抽象思維不強(qiáng)的局限，從而既能夠適應(yīng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的抽象性，提高抽象思維能力，又能夠增強(qiáng)解決客觀實(shí)際問(wèn)題的能力。

我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)，應(yīng)該把握“理論聯(lián)系實(shí)際”的原則。學(xué)了數(shù)學(xué)理論而不會(huì)用，自然是產(chǎn)生“數(shù)學(xué)建模的抽象性與具體對(duì)象的直觀性的矛盾”的重要原因之一。我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)模教學(xué)時(shí)，應(yīng)該把握“理論聯(lián)系實(shí)際”的原則，逐步的教會(huì)學(xué)生“把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，把數(shù)學(xué)理論實(shí)際化”。碰到具體問(wèn)題，會(huì)利用數(shù)學(xué)建模的相關(guān)理論轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)關(guān)系，然后再通過(guò)計(jì)算得到結(jié)論，最后用所得結(jié)論去指導(dǎo)實(shí)際問(wèn)題。也就是說(shuō)，對(duì)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)來(lái)說(shuō)，必須通過(guò)實(shí)踐這條紐帶，才能使數(shù)模知識(shí)轉(zhuǎn)化成實(shí)際技能，達(dá)到數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目的。

四、實(shí)踐環(huán)節(jié)弱化、不能學(xué)以致用。

這是在各個(gè)高校在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中普遍存在的問(wèn)題，是受到數(shù)學(xué)建模課程學(xué)時(shí)限制的。老師在講解數(shù)學(xué)模型或是學(xué)生建立好數(shù)學(xué)模型后，能夠在實(shí)踐中檢驗(yàn)的機(jī)會(huì)并不多，那么也就不能判定模型建立得是否合理，有沒(méi)有脫離實(shí)際。數(shù)學(xué)建模是要用于實(shí)踐的，所以必須遵循實(shí)踐對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律。而我們培養(yǎng)的學(xué)生欠缺的往往就是“找尋研究對(duì)象的客觀內(nèi)在規(guī)律”的能力，也就是我們常說(shuō)的“機(jī)理分析”的能力。比如在沒(méi)有充分研究實(shí)踐對(duì)象的情況下建立的“生產(chǎn)加工優(yōu)化模型”雖然看似節(jié)省了原料，提高了產(chǎn)量，說(shuō)不定會(huì)造成加工難度變大，勞動(dòng)強(qiáng)度變大等問(wèn)題，這些必須在實(shí)踐中檢驗(yàn)。又比如，我們?nèi)绻⒘艘粋€(gè)超市收銀臺(tái)的顧客排隊(duì)服務(wù)模型，這個(gè)模型是建立在以往數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的，是否真真正正和實(shí)際情況吻合，是否可以用于提高收銀臺(tái)的服務(wù)效率，這也必須用實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)。可惜的是這樣一個(gè)實(shí)踐檢驗(yàn)的重要環(huán)節(jié)在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過(guò)程中能減少就減少，能弱化就弱化。究其原因，還是教學(xué)的功利心在作怪，因?yàn)閷W(xué)生在參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽時(shí)是不需要將建立的模型用于實(shí)踐檢驗(yàn)的。

任何一個(gè)新事物都有一個(gè)成長(zhǎng)過(guò)程。數(shù)學(xué)建模教學(xué)對(duì)于教師和學(xué)生都有一個(gè)學(xué)習(xí)和適應(yīng)的過(guò)程，由此產(chǎn)生的各種各樣的問(wèn)題，甚至是矛盾都是十分正常的。只要符合教學(xué)規(guī)律、對(duì)師生雙方都有利的教學(xué)理論改革我們都應(yīng)該大膽嘗試，尤其是青年教師，應(yīng)走在教學(xué)改革的前列。提高數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的質(zhì)量重在提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)的質(zhì)量，而數(shù)學(xué)建模教學(xué)質(zhì)量的提高依賴于對(duì)教學(xué)改革的勇于探索與實(shí)踐。為提高我國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽水平，讓我們加倍努力吧。

〔參 考 文 獻(xiàn)〕

〔1〕姜起源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型〔M〕.北京：高等教育出版社，2003.

〔2〕丁曉蔚，顧紅.基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)（PBL）實(shí)施模型述評(píng)〔J〕.高等教育研究學(xué)報(bào)，2011，（03）.

〔3〕吳憲芳.數(shù)學(xué)教育學(xué) 〔M〕.武漢：華中師范大學(xué)出版社，1997 .

〔責(zé)任編輯：卜亞杰〕