數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)的有效探索

章節(jié)復(fù)習(xí)，往往教師感到平淡無奇，學(xué)生覺得枯燥乏味。如何提高章節(jié)復(fù)習(xí)的有效性？筆者進(jìn)行了一些探索，以“分式”復(fù)習(xí)課為例來介紹自己的探索與思考。

一、復(fù)習(xí)用“導(dǎo)學(xué)案”

1.復(fù)習(xí)目標(biāo)

（1）會進(jìn)行簡單的分式四則運算。

（2）會解可化為一元一次方程的分式方程。

（3）進(jìn)一步理解增根產(chǎn)生的原因，能熟練地檢驗。

（4）能夠利用分式方程來解決簡單的實際問題，發(fā)展分析問題和解決問題的能力。

2.復(fù)習(xí)重點

分式的混合運算、分式方程的解法以及應(yīng)用。

3.復(fù)習(xí)過程

（1）溫故知新

①“若關(guān)于x的方程=1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是 a<-1 ”。你能說明該答案為什么不正確嗎？

【3月7日學(xué)校月度檢測填空最后一題，橫線處所填為學(xué)生最常見錯誤答案】

②解分式方程+2=時，下列關(guān)于去分母的變形正確的是（ ）

A.1-x+2=1 B.1-x+2（x-2）=1

C.1-x+2（x-2）=-1 D.1-x+2x-2=-1

③解分式方程：（1）= （2）+=4

④如果解關(guān)于x的方程=-時出現(xiàn)增根，那么增根一定是（ ）

A.0或2 B.2 C.1 D.0

【題目講解過兩三天，當(dāng)時普遍錯誤是選A】

（2）知識梳理

①分式運算：

●通分與約分是分式運算的基礎(chǔ)。通分時通常分子、分母要同時乘以公分母；約分時往往約去分子、分母的_____。

●分式加減時，如果不是同分母，那么需要先___，變成同分母再加減；分式乘除時，如果其中有的分子或者分母是多項式的形式，那么要先______，再約分。

●分式混合運算的順序：先算乘除，然后算____。如果有括號，那么通常先_______。

②分式方程：

●解分式方程的基本思路是：方程兩邊同乘各分式的____公分母，轉(zhuǎn)化為____方程來解。

●解分式方程時，容易出現(xiàn)增根，因而要注意____。

●增根的含義是：該數(shù)值使得最簡公分母的值為_____，同時是相應(yīng)整式方程的______。

●利用分式方程解決實際問題時除了看分式方程是否有解外，還要看該解是否符合實際意義。

（3）探究學(xué)習(xí)

①試說明練習(xí)+=4中方程為什么無解。

②計算+，該數(shù)值等于4嗎？

③你能解釋練習(xí)+=4中方程為什么會產(chǎn)生增根嗎？

④拓展：請你給m選擇一個合適的值，使關(guān)于x的方程+=m無解。你所選m的值為____（一個即可）。

【改編自蘇科版實驗教材復(fù)習(xí)題“探索研究”中最后一題】

●如果解關(guān)于x的方程=+時出現(xiàn)增根，那么增根一定是_____，此時a=______。【第4題變式】

●比較上題與第4題，你有何看法？

⑤編一道具有實際意義的應(yīng)用題，使得所列方程為=。

4.歸納總結(jié)

通過本節(jié)課的復(fù)習(xí)，你有何收獲？或者，你還有什么疑惑？

5.課堂鞏固

（1）分式方程=有解嗎？為什么？

（2）化簡÷（x-），再從-1、0、1、2中選一個你認(rèn)為合適的數(shù)作為x的值代入求值.

小明的解答過程為：÷（x-）=÷x-÷=-·=-x+1，當(dāng)x=1時，原式=1-1-1+1=0.

請判斷他的解答是否正確。如不正確，請指出有幾處錯誤。

6.課后練習(xí)

（1）若分式的值為0，則x為（ ）

A.-2或2 B.2 C.-2 D.2或-1

（2）已知關(guān)于x的方程=3的解是正數(shù)，則m的取值范圍為_______。

（3）改正第9題中小明的錯誤。

（4）先化簡，再求值：（-）÷，其中x滿足x2-x-1=0.

【2011年重慶市中考試題。整體代入】

（5）解方程：=+2.

（6）甲、乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實驗器材。若甲先單獨整理30分鐘，則乙再單獨整理20分鐘完工；若甲乙共同整理15分鐘，則乙再單獨整理35分鐘才能完工。問甲、乙單獨整理各需要多少分鐘完工？

7.探究

（1）如果=3+，求m；

（2）如果=a+（其中a、b、c為常數(shù)），求m；

（3）你能得出一般性的結(jié)論嗎？

【蘇科版實驗教材復(fù)習(xí)題“探索研究”中倒數(shù)第3題。從方程角度看待分式運算?！?/p>

二、探索與建議

1.內(nèi)容、要求靠船下篙

面面俱到地復(fù)習(xí)既不必要，也易蜻蜓點水，導(dǎo)致對真正問題的解決流于形式，有效性當(dāng)然不高，因此需要突出重點，重點問題重點解決。

復(fù)習(xí)的主要目的之一是進(jìn)行查漏補缺。木桶原理告訴我們，決定木桶儲水量多少的是其中長度最短的木板，運用到學(xué)習(xí)上來，增加學(xué)生學(xué)習(xí)中“短板”的長度能快速而有效地提高其學(xué)業(yè)成績，為此，要注意“靠船下篙”。“船”指學(xué)生實際，包括學(xué)生原有知識基礎(chǔ)、思維方式、可能的接受程度等，“篙”指復(fù)習(xí)目標(biāo)、復(fù)習(xí)內(nèi)容、復(fù)習(xí)要求。內(nèi)容的選擇、要求的確定只有立足學(xué)生的實際、貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)才能有效地增加“短板”的長度，從而保證學(xué)習(xí)效果。

月度檢測前，分式的有關(guān)概念、分式的基本性質(zhì)以及分式的加減運算已經(jīng)復(fù)習(xí)過，本復(fù)習(xí)沒有因為是公開課而再拿出來表演一番，更多的是關(guān)注分式方程的有關(guān)內(nèi)容。知識梳理時盡可能突出具有指導(dǎo)意義的知識與方法，盡可能條理化系統(tǒng)化，習(xí)題的設(shè)計瞄準(zhǔn)學(xué)生平時學(xué)習(xí)中易犯錯誤，課堂學(xué)習(xí)時盡可能讓學(xué)生暴露思維過程，試圖據(jù)此來做好知識與方法上查漏補缺工作。

不同層次的學(xué)生，其“船”不一樣，“篙”也應(yīng)當(dāng)不一樣，宜分層要求、區(qū)別對待，努力使不同層次的學(xué)生有不同的收獲。第15題，要求基礎(chǔ)比較好的同學(xué)探索不只一種解題思路，在此基礎(chǔ)上，尋求較簡便的思路。下面的思路系學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)：甲整理（30-15）分鐘的工作量，乙需要整理（15+35-20）分鐘，從而甲的工作效率是乙的2倍。設(shè)甲單獨整理需要x分鐘，+=1，余略。進(jìn)而體會：對于題目的信息，發(fā)現(xiàn)、利用越多，往往思路越簡便。

2.流程設(shè)計科學(xué)、藝術(shù)

“溫故知新”的設(shè)計具有“一石數(shù)鳥”的作用，是本章節(jié)復(fù)習(xí)一大特色：一是創(chuàng)設(shè)“故”的情境。存在的問題來自于教學(xué)實際，部分為原封不動的題目與答案，能迅速提高學(xué)生有意注意程度。二是切實感受知識梳理的必要。通過“溫故”可以發(fā)現(xiàn)，不少題目的解答之所以出現(xiàn)這樣那樣的問題，往往是由于相關(guān)概念、性質(zhì)理解不透徹，從而突顯“知識梳理”的必要，有效地解決了平常章節(jié)復(fù)習(xí)中知識梳理成為“雞肋”的現(xiàn)象。三是為“探究學(xué)習(xí)”的起點，既使過程顯得流暢、自然、緊湊，又使真正探究成為可能。

“探究學(xué)習(xí)”的設(shè)計是本復(fù)習(xí)的第二大特色。通過復(fù)習(xí)提高學(xué)生的思維能力，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)是復(fù)習(xí)的主要目的之一。第5題由教材中復(fù)習(xí)題改編而成，其意圖是引導(dǎo)學(xué)生從分式運算的角度來認(rèn)識分式方程產(chǎn)生增根的原因（同時也復(fù)習(xí)了分式運算）。通過新授課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已知其然（分式方程兩邊同乘以最簡公分母后得到整式方程，如果整式方程的解使得最簡公分母值為零，那么該cV6zWpgk8RcLvX3IyZituvyCK1hGkyfaV8p5H1ge3so=解便是分式方程的增根），此處則通過一個具體例子讓學(xué)生知其所以然：只要分式有意義，+的值總是1，由于1≠4，從而原方程無解。如果兩邊同乘以0，得0=0，不等式變成了等式，從而產(chǎn)生增根。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的拓展（只要找一個不為1的數(shù)作為m的值，方程+=m均無解），則將學(xué)生的理解提升到一個新的高度。

3.細(xì)微之處彰顯匠心

（1）巧妙暗示，啟迪思維。挖掘隱含條件，尤其是第9題中挖掘隱含的分母（x2-1）值不為0，頗不容易。本題學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)運算順序有問題?！叭绮徽_，請指出有幾處錯誤”的指導(dǎo)語暗示了不只一處錯誤，會促使學(xué)生思考x的取值有何問題。

（2）或做或看，各有玄機。第1題要求學(xué)生“做”。因為間隔時間較長，學(xué)生多遺忘了，加之該題較簡，讓學(xué)生“做”，再次體驗，由于明確了橫線所填答案為錯，會形成認(rèn)知沖突。第④題讓學(xué)生“看”最初的解答過程即可達(dá)到目的。本題間隔時間短，若再做則是變相鼓勵學(xué)生死記硬背，并導(dǎo)致時間的無謂浪費。

（3）易偏頗處，及時提醒。第④題增根為2，第⑥題增根為0，這2道題最簡公分母都是x（x-2），學(xué)生潛意識里會認(rèn)為增根只有一個，此時教師及時提醒“有時增根可能會有兩個”。這樣的提醒，會比以后出現(xiàn)了問題再來糾正效果要好得多。畢竟“炒夾生飯”費時費力，而效果又不好。

（4）多管齊下，突破難點。疑難問題，若是重復(fù)講解再三練習(xí)，至多強化模仿意識以及記憶能力，對于提升學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力并無多大幫助，筆者感覺從多個角度來研討，學(xué)生認(rèn)識會深刻，教學(xué)效果會比較好。第1題得到“a<-1”之后，可從以下三個角度來認(rèn)識“a≠-2”的限制條件。一是從前提條件的角度來認(rèn)識。等號左邊的分式有意義，方程才存在，才談得上“解為正數(shù)”，顯然分母x-1≠0。二是從隱含條件角度來認(rèn)識。分式方程的解是正數(shù)，隱含了“分式方程有解”，換句話說，x=-1-a不是分式方程的增根，即1-a-1≠0。三是從分式運算的角度來驗證。若要分式有意義，它的值總是2，由于a≠-2，此時方程無解，因此a≠-2。第？輥？輯？訛題的解答情況表明了，從三個角度來認(rèn)識，對這類問題今后學(xué)生將很少再遺失限制條件。

（5）捕捉“生成”，因勢利導(dǎo)。預(yù)設(shè)再好，可能也會有偏差，因此重視生成并因勢利導(dǎo)是提高課堂有效性的重要舉措。第⑦題有不少學(xué)生編順逆水的問題，也有學(xué)生編筆記本價格問題（題目：小明買某種筆記本，如果每本降價2元，那么花20元錢可買的筆記本本數(shù)與當(dāng)筆記本每本漲價2元時30元所買的本數(shù)相同，問筆記本每本多少元？）。教師意識到上題是“生成”的好素材，進(jìn)行投影，告訴學(xué)生編的有點小問題，讓學(xué)生思考。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：作為筆記本數(shù)，必須為正整數(shù)，所編的應(yīng)用題中本數(shù)為2.5，從而不符合實際意義。此時，教師順勢指導(dǎo)：①要先解方程根據(jù)結(jié)果以及方程的特點來聯(lián)想應(yīng)用題的類型。②編出應(yīng)用題后，要再根據(jù)實際意義來審視所編寫的題目是否符合要求。接著教師指出，如果辛辛苦苦編出的題目僅僅是因為本數(shù)不是正整數(shù)而加以放棄是比較可惜的，聯(lián)想到水果的價格以及質(zhì)量沒有正整數(shù)的條件限制，從而可作如下修改：某種水果上市時售價比平時售價高2元/千克，罷市時售價比平時售價低2元/千克。已知罷市時20元購買水果的質(zhì)量跟剛上市30元所購買的質(zhì)量相同，問該水果平時售價多少元/千克？這樣的處理意義較大，或許算是本課堂教學(xué)的一個亮點（限于篇幅，請讀者自行分析）。

4.兩點建議

（1）去“演”存真。本章節(jié)復(fù)習(xí)，筆者關(guān)注的是如何通過復(fù)習(xí)使學(xué)生有更多的收獲，而不是去刻意展示教師形象。筆者以為，公開課、觀摩課不應(yīng)該“表演”，否則，會因為不夠真實，大大降低教師威信，進(jìn)而影響后續(xù)學(xué)習(xí)的有效性。

（2）加強研究。加強對學(xué)生的研究，增進(jìn)對學(xué)生的了解，這是提高教學(xué)有效性的前提。教師的經(jīng)驗固然重要，但它是建立在以往學(xué)生情況之上的，對于現(xiàn)有的學(xué)生未必都適用。有時，自己的預(yù)設(shè)與學(xué)生的真實情況差距還比較大，因此要增進(jìn)對學(xué)生的了解。在本復(fù)習(xí)中使用了導(dǎo)學(xué)案，某種程度上，沒有對于任教班級學(xué)生情況的了解，便沒有這樣形式的導(dǎo)學(xué)案。導(dǎo)學(xué)案是課前剛剛發(fā)給學(xué)生的。如果時間充裕，會修改第④題數(shù)據(jù)，“溫故知新”會讓學(xué)生課前完成，教師有選擇地批改，課上針對完成情況來展開教學(xué)，并將第⑨題改作例題來解決。

加強對學(xué)科知識的研究。努力提高教師自身學(xué)科素養(yǎng)，這是提高教學(xué)有效性的保障。本復(fù)習(xí)中研究了方程產(chǎn)生增根的原因，并進(jìn)行了拓展。略顯尷尬而又有所欣慰的是，也正是在此基礎(chǔ)上才發(fā)現(xiàn)了幾天前的一道習(xí)題（題目：當(dāng)m為何值時，分式方程+m=無解？），幾位老師原先講解的答案是有問題的（最初解法：去分母得，1+m（x-2）=-（1-x），將x=2代入得0m+1=1，從而m取一切實數(shù)），后經(jīng)過思考加以了改進(jìn)：方法一：（接前面思路）因為m=-=1，所以m取不等于1的一切實數(shù)時，方程均無解。方法二：1+m（x-2）=-（1-x），（m-1）x=2（m-1），（1）當(dāng)m-1=0時，x可取一切實數(shù)。因為x-2≠0，所以m=1時，x取不為2的一切實數(shù)，方程都成立。（2）當(dāng)m-1≠0時，x=2。此時x=2是原方程增根，從而方程無解。綜上所述，m≠1時，方程均無解。

教無止境。上面擇要介紹了自己的探索與思考，可能有的認(rèn)識比較膚淺，期望能夠得到大家的指教。