高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課例題設(shè)置的思考

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課以系統(tǒng)復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)為主要任務(wù)，把平時(shí)所學(xué)的局部的、分散的知識(shí)縱橫聯(lián)系，使之系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。使學(xué)生進(jìn)一步明確各部分內(nèi)容的地位與作用，加深理解各部分內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，以此達(dá)到螺旋上升的目的。

與新授課不同，復(fù)習(xí)課采用的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容需要教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，自主進(jìn)行遴選和組織，而例題的安排，常常出現(xiàn)漫無(wú)目的和隨意設(shè)置，造成復(fù)習(xí)教學(xué)低效的現(xiàn)象。因此，精選數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課典型例題是一項(xiàng)十分重要的工作，對(duì)幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺、揭示解題規(guī)律、總結(jié)解題方法、提高數(shù)學(xué)能力具有重要意義。下面以江蘇教育出版社出版的高中數(shù)學(xué)必修2中單元復(fù)習(xí)課“直線與方程的單元復(fù)習(xí)”為例，側(cè)重于例題的教學(xué)功能，談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課例題設(shè)置的思考。

一、夯實(shí)基礎(chǔ)，突出“鞏固”功能

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的例題設(shè)置首先要依“標(biāo)”靠“本”，注重基礎(chǔ)，教師在選擇例題時(shí)，依然要緊抓基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)與基本技能訓(xùn)練，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握。同時(shí)要突出重點(diǎn)，提高針對(duì)性，注意學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，緊扣知識(shí)的易混點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)設(shè)計(jì)例題，突出鞏固功能，做到有的放矢，對(duì)癥下藥。

例1.求直線方程：

（1）過(guò)點(diǎn)P（3，1），且在兩坐標(biāo)軸上截距相等；

（2）與直線2x+5y-1=0垂直，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5。

說(shuō)明：“直線與方程”單元的教學(xué)內(nèi)容包括：“直線的斜率”、“直線的方程”、“兩條直線的平行與垂直”、“兩條直線的交點(diǎn)”、“平面上兩點(diǎn)之間的距離”、“點(diǎn)到直線的距離”六節(jié)，其中“直線的方程”和“兩條直線的平行與垂直”是本單元的重點(diǎn)內(nèi)容，也是平面解析幾何的基礎(chǔ)。設(shè)置例1的目的，一是復(fù)習(xí)鞏固這部分知識(shí)內(nèi)容，二是求解例1時(shí)，例1（1）、（2）都有兩種不同情況，是學(xué)生學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)和易混點(diǎn)。例1（1）中，設(shè)所求直線方程時(shí)要分過(guò)原點(diǎn)的y=kx和不過(guò)原點(diǎn)的■+■=1（a≠0）兩種情況；例1（2）中，可設(shè)所求直線方程為5x-2y+m=0，求出其在兩坐標(biāo)軸上的截距，再利用三角形的面積公式列出方程求解。

本例的教學(xué)形式可以采用先學(xué)生自主練習(xí)，然后學(xué)生板演或用實(shí)物投影儀展示，也可以先讓學(xué)生自主練習(xí)，然后教師巡視、巡批。

二、強(qiáng)化規(guī)范，提高“示范”功能

復(fù)習(xí)教學(xué)的例題設(shè)置要進(jìn)一步強(qiáng)化示范功能，提高規(guī)范性，這里主要包括數(shù)學(xué)語(yǔ)言的規(guī)范表達(dá)、數(shù)學(xué)推理步步有據(jù)、解題步驟規(guī)范有序、書寫結(jié)構(gòu)合理完整等方面。使學(xué)生解題時(shí)能做到：想明白、寫清楚、算準(zhǔn)確。摒棄語(yǔ)言書寫不當(dāng)、解題過(guò)程跳步或繁雜、分析過(guò)程雜亂等不規(guī)范的解題情況。

例2.直線l與直線3x+4y+1=0平行且距離為4，求直線l的方程。

說(shuō)明：在本例的求解過(guò)程中，可以先用待定系數(shù)法設(shè)直線l的方程，然后在已知直線上取一點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式列出方程求解。因此在本例中，可以體現(xiàn)步步有據(jù)的推理，規(guī)范有序的解題步驟和書寫格式如下。

解：因?yàn)橹本€l與直線3x+4y+1=0平行，

所以可設(shè)直線l的方程為3x+4y+m=0.

在直線3x+4y+1=0取點(diǎn)A（1，-1）.

因?yàn)橹本€l與直線3x+4y+1=0的距離為4，

所以點(diǎn)A到直線3x+4y+m=0的距離為4.

所以■=|4|.

解得m=-19或m=21.

所以直線l的方程為3x+4y-19=0或3x+4y+21=0.

本例的教學(xué)形式可以是學(xué)生自主練習(xí)后板演或者學(xué)生說(shuō)解題思路，教師板演。此外本例也可利用兩平行直線間的距離公式求解。

三、舉一反三，凸顯“通法”功能

復(fù)習(xí)課的例題設(shè)置要揭示典型的數(shù)學(xué)解題方法，突出規(guī)律性。這樣才能引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的層面，去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)其內(nèi)在的特點(diǎn)和規(guī)律，以點(diǎn)帶面、舉一反三，真正通曉數(shù)學(xué)思想方法。這里的方法不僅有平面解析幾何中用代數(shù)方程表達(dá)幾何問(wèn)題的方法、待定系數(shù)法等常用的一般方法，還有解決一些特定類型問(wèn)題的具體的特殊方法，例如在解決一些直線之間對(duì)稱問(wèn)題過(guò)程中的轉(zhuǎn)化化歸的方法等。復(fù)習(xí)課的通法功能更多的是對(duì)一類方法的提煉、概括和總結(jié)。

例3.如圖1，在△ABC中，∠C的平分線所在的直線l的方程為y=2x，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（-4，2），B（3，1）.求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并判斷△ABC的現(xiàn)狀。

說(shuō)明：本例中，因?yàn)椤鰽BC中∠C的平分線為y=2x，所以點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A'在直線BC上。設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（x1，y1），則由AA'的中點(diǎn)在直線l上，及kl·kAA'=-1，便可求出點(diǎn)A'的坐標(biāo)。

于是可求出直線BC的方程，同理可求出直線AC的方程。繼而可求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并可判斷△ABC的現(xiàn)狀。

圖1

本例中采用的一個(gè)重要方法就是將直線與直線之間的對(duì)稱關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的對(duì)稱關(guān)系求解。這類問(wèn)題還有很多，教學(xué)時(shí)可以根據(jù)學(xué)生的情況，選用不同的例題。

例4.如果直線l與l1：x+2y-3=0關(guān)于點(diǎn)（0，-1）對(duì)稱，求直線l的方程。

例5.已知光線通過(guò)點(diǎn)A（-2，3），經(jīng)x軸反射，其反射光線通過(guò)點(diǎn)B（1，1），求入射光線和反射光線所在直線的方程。

例6.在△ABC中，BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0，角A的平分線所在直線的方程為y=0，如果點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)。

說(shuō)明：例4、例5、例6都是直線與直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題。例4中，只要在l1上取兩個(gè)點(diǎn)，求出這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（0，-1）對(duì)稱的點(diǎn)，便可求出直線l的方程；例5中，求出點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，便可求出入射光線和反射光線所在直線的方程；例6中，直線x-2y+1=0與直線y=0的交點(diǎn)為點(diǎn)A，求出點(diǎn)B關(guān)于直線y=0的對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)，則可求出直線AC的方程，由BC邊上的高線的方程及點(diǎn)B的坐標(biāo)，可以求出直線BC的方程，繼而可求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

這類例題的教學(xué)形式，可以采用師生交流解決問(wèn)題的方法，然后由學(xué)生自主完成，概括提煉方法。

四、拓展延伸，滲透“探究”功能

復(fù)習(xí)課的例題設(shè)置要有彈性，要關(guān)注不同學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要，要根據(jù)不同的內(nèi)容目標(biāo)、學(xué)生的知識(shí)背景和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，給學(xué)生留下延伸、拓展的空間和時(shí)間，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、運(yùn)用、延續(xù)和深化，使之成為培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有效載體，使每一位學(xué)生都得到應(yīng)有的發(fā)展?；诖?，教師要善于提出適合學(xué)生的有一定思維價(jià)值、有探索性和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，并在教學(xué)中加大學(xué)生的參與度，提高學(xué)生的探究能力。

例7.過(guò)點(diǎn)P（3，0）作直線l，使它被兩相交直線2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，求直線l的方程。

說(shuō)明：本例中，如果直線l垂直于x軸，可得直線l與直線2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的線段不被點(diǎn)P平分，所以直線l不垂直于x軸。如果設(shè)直線l的方程為y=k（x-3）（k≠0），分別求出直線l與直線2x-y-2=0和x+y+3=0的交點(diǎn)，再利用所截得的線段被點(diǎn)P平分，列出方程求解。此種解法運(yùn)算量很大，因此作為單元復(fù)習(xí)課，可以引導(dǎo)學(xué)生探究新的解題途徑，例如，分別設(shè)直線l與直線2x-y-2=0和x+y+3=0的交點(diǎn)為A（a，2a-2）、B（b，b+3），再利用點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)求解。

本例的教學(xué)形式，可以采用師生共同探討解題思路，然后由學(xué)生嘗試解決。

總之，高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的例題設(shè)置，除了要思考內(nèi)容、形式、教學(xué)方法外，更要關(guān)注學(xué)情，從問(wèn)題出發(fā)，精心設(shè)置復(fù)習(xí)課例題，重視發(fā)揮例題的教學(xué)功能，并且通過(guò)例題教學(xué)，提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)效益，使學(xué)生在原有基礎(chǔ)上得到較快發(fā)展。

（責(zé)任編輯 郭振玲）