初中數(shù)學(xué)教學(xué)管窺思想方法的滲透

[摘 要] 依筆者教學(xué)所見(jiàn)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)在一定程度上應(yīng)將思想方法的教學(xué)滲透進(jìn)中考復(fù)習(xí)教學(xué)中，對(duì)那些形式化的數(shù)學(xué)問(wèn)題更要采用各種思想方法進(jìn)行多角度教學(xué)，使學(xué)生對(duì)其理解透徹.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)形結(jié)合；分類討論

從知識(shí)層面來(lái)說(shuō)，初中數(shù)學(xué)有很多基本知識(shí)，這是學(xué)生必須掌握的初級(jí)學(xué)習(xí)層次. 初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高層次是掌握數(shù)學(xué)思想方法，將千變?nèi)f化的試題化有形于無(wú)形，通過(guò)思想方法看到問(wèn)題的本質(zhì)、解決的思路，這是教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo). 掌握數(shù)學(xué)思想方法并能在考試中熟練運(yùn)用，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，并非易事.

從教學(xué)層面來(lái)說(shuō)，江蘇新課程改革的不斷深入和《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》的實(shí)施，預(yù)示著新課改將繼續(xù)深化，其要求中學(xué)教育要不斷培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)、能力和創(chuàng)新精神，那種過(guò)時(shí)的依靠題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)提高中考分?jǐn)?shù)、忽視學(xué)生能力培養(yǎng)的教學(xué)方式逐漸被淘汰. 新課改實(shí)施以來(lái)，教師面對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的兩大難題：其一，課時(shí)量并無(wú)增加的前提下，教學(xué)內(nèi)容卻相應(yīng)增加了（諸如引入高中教材中很多淺顯的知識(shí)：概率、函數(shù)思想、三次因式、韋達(dá)定理等超出教材范疇的知識(shí)），導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)總是課時(shí)緊，學(xué)生基本功不夠扎實(shí). 教學(xué)多年往往有這樣的感受：學(xué)生一屆比一屆基本功下降得多，這是什么原因造成的呢？其二，中考數(shù)學(xué)的大方向并沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的改變，教師必須顧及學(xué)生的中考成績(jī)，這要求教師必須對(duì)初中數(shù)學(xué)加強(qiáng)思想方法的教學(xué)，以提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率和重要性，否則容易陷入題海教學(xué)的苦惱. 本文正是在這樣的啟示下結(jié)合教學(xué)實(shí)踐淺談思想方法教學(xué)的實(shí)施.

數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合思想更多的是用來(lái)以形輔數(shù)，即用幾何的方法解決代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)圖形的直觀性、思維的辨識(shí)性、解答的簡(jiǎn)便性. 對(duì)于進(jìn)行函數(shù)、三角、幾何等初中數(shù)學(xué)各個(gè)板塊教學(xué)來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合思想在很多問(wèn)PlpYLheUaJKR9A5cUstiLn5PxkddYAdbw9KCVvnavhY=題上有著無(wú)法替代的優(yōu)越性.

案例1 “兩個(gè)圓的位置關(guān)系”教學(xué)

傳統(tǒng)的教學(xué)是告訴學(xué)生兩圓的位置關(guān)系，然后判別、運(yùn)用、解題，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂不可行. 可利用數(shù)形結(jié)合思想，將教學(xué)通過(guò)探究性模式進(jìn)行反思建構(gòu)：利用CAI課件輔助教學(xué)，讓學(xué)生自己思考、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)結(jié)論. 教師則通過(guò)計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)地演示兩個(gè)圓的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，先在屏幕兩端各顯示一個(gè)圓，然后拖動(dòng)任意一圓，構(gòu)造兩圓位置關(guān)系的幾種情況，請(qǐng)學(xué)生觀察、思考.

師：在這兩個(gè)圓的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有哪些情況出現(xiàn)？

生：剛開(kāi)始，兩圓沒(méi)有相連；繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，兩圓相交于一點(diǎn)；再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，兩圓相交于兩點(diǎn). 教師再重新演示一遍運(yùn)動(dòng)過(guò)程，同時(shí)給出結(jié)論（幻燈演示）.

師：觀察不同情形，兩圓圓心距離和它們的半徑有沒(méi)有什么量化的關(guān)系？

教師的重點(diǎn)是通過(guò)“形”的運(yùn)用（利用CAI工具），組織學(xué)生親自建構(gòu)，得出三種位置關(guān)系，找出規(guī)律. 教師再根據(jù)學(xué)生的建構(gòu)進(jìn)行總結(jié)：

①兩圓相離時(shí)，圓心距大于兩圓半徑和，即d>R+r；

②兩圓相切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑和，即d=R+r；

③兩圓相交時(shí)，圓心距小于兩圓半徑和，即d

說(shuō)明：借助圖形語(yǔ)言（CAI教學(xué)輔助）描述兩圓的位置關(guān)系，并以動(dòng)態(tài)的形式給予展示，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單. 一旦利用以形輔數(shù)的方法，兩圓的位置關(guān)系竟變得如此簡(jiǎn)單明了. 化數(shù)為形的分析方法，在得到兩圓位置關(guān)系正確的結(jié)論中，起到了事半功倍的作用. 因此，教學(xué)中教師應(yīng)重視“以形輔數(shù)”思想的滲透和運(yùn)用. 隨著計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)在學(xué)校教育方面的廣泛使用，筆者覺(jué)得CAI正體現(xiàn)出越來(lái)越強(qiáng)大的交互功能，而這種交互性恰恰對(duì)數(shù)學(xué)課（尤其是公開(kāi)課）努力培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、積極建構(gòu)很有幫助. 所以教師應(yīng)多花時(shí)間思考課的構(gòu)成，努力給學(xué)生提供這樣的空間.

分類討論思想的磨煉

分類討論思想一直是中考數(shù)學(xué)的重要思想方法，在解決很多中考?jí)狠S問(wèn)題時(shí)有著不可替代的作用. 對(duì)于分類討論思想方法的教學(xué)，筆者認(rèn)為學(xué)生基本能理解其在中考數(shù)學(xué)壓軸題中的運(yùn)用，難點(diǎn)在于教師要教會(huì)學(xué)生做到分類討論的不重不漏，這成為區(qū)分學(xué)生思想完整性、靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性等考查的必備數(shù)學(xué)思想，因此值得教師研究和深化.

案例2 （2011年常州中考模擬）如圖1所示，已知A，B是線段MN上的兩點(diǎn)，MN=4，MA=1，MB>1. 以點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M，N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x.

（1）求x的取值范圍；

（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；

（3）探究△ABC的最大面積.

分析 當(dāng)點(diǎn)B在AN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)觀察可得∠CAB和∠ACB可以成為直角，∠CBA不可能成為直角.

（1）根據(jù)三角形的基本性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊以及兩邊之差小于第三邊，找尋關(guān)于x的不等式，從而得出x的取值范圍.

（2）對(duì)Rt△ABC進(jìn)行分析，根據(jù)勾股定理分類討論其存在性.

（3）把△ABC的面積S的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為S2的問(wèn)題. AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部?jī)煞N情況.

解析 （1）在△ABC中，AC=1，AB=x，則BC=BN=3-x. 所以1+x>3-x且1+3-x>x，解得1

（2）①若AC為斜邊，則1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，此方程無(wú)實(shí)根；

上述案例告訴我們，教學(xué)和中考試題的分析都是將數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用到具體問(wèn)題中的一種教學(xué)形態(tài)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法有一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，通過(guò)不斷的整合、聚合，才能將其牢固地黏合于學(xué)生的知識(shí)體系中. 通過(guò)上述案例，筆者也認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的重要性.

（1）掌握數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)思想方法滲透數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要導(dǎo)向，是探究性學(xué)習(xí)的重要工具之一，把掌握數(shù)學(xué)方法和思想作為數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)，可以使初中學(xué)生逐步掌握數(shù)學(xué)基本方法和數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而展開(kāi)高效率的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 數(shù)學(xué)方法和思想是初中學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的關(guān)鍵，是一切數(shù)學(xué)創(chuàng)新的源泉，數(shù)學(xué)思想方法的教育使數(shù)學(xué)教學(xué)真正變?yōu)椤笆谥詽O而非授之以魚(yú)”，讓初中學(xué)生由“學(xué)會(huì)”變成“會(huì)學(xué)”，為其今后的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

（2）數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)使學(xué)生更容易理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，使其在掌握了一些數(shù)學(xué)思想方法后再去看待相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)顯得“高屋建瓴”，進(jìn)而挖掘初中更深層次的問(wèn)題，這樣的學(xué)習(xí)更具穩(wěn)定性，有利于舊知識(shí)鞏固和新知識(shí)的學(xué)習(xí)，能夠順利地將新知納入到自身知識(shí)體系中，數(shù)學(xué)思想方法正是體現(xiàn)了這么一種核心.

近年來(lái)，對(duì)初中數(shù)學(xué)思想方法的考查越來(lái)越受到各地中考試卷的重視，教師在教學(xué)中也要對(duì)思想方面從初一教學(xué)開(kāi)始就進(jìn)行全面滲透，提升學(xué)生通過(guò)問(wèn)題看本質(zhì)的能力，使其在掌握扎實(shí)雙基的同時(shí)，將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)整合，最終上升到思想方法的高度，然后進(jìn)行提煉，久而久之的磨煉可以提升優(yōu)秀學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，用諾貝爾獎(jiǎng)獲得者李政道教授的話說(shuō)：“我覺(jué)得今天取得自己的一點(diǎn)成就離不開(kāi)數(shù)學(xué)的功底，而數(shù)學(xué)的功底又在于我當(dāng)年中學(xué)時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用，其伴隨我研究一生. ”