中考數(shù)學解答題解答典型失誤剖析與復習建議

[摘 要] 本文結(jié)合2012年四川南充市的中考數(shù)學解答題考生出現(xiàn)的答題失誤，對其中典型失誤進行剖析，整理歸類，并有針對性地提出一些中考復習建議.

[關(guān)鍵詞] 中考數(shù)學；典型失誤；錯因分析；復習建議

解答題歷來是各地中考數(shù)學的重頭戲. 考生由于考試心理緊張、某些數(shù)學知識的缺陷等多種因素的影響，解答中總會出現(xiàn)各種各樣的失誤. 那么，考生對這類題的解答有哪些典型失誤？失誤的原因是什么？中考復習時該怎樣應對？筆者結(jié)合2012年四川省南充市的中考試題（解答題共8個）進行剖析，供大家中考復習時參考.

剖析 這里的錯解1、錯解2和錯解3都盲目通分，同時錯解1混淆了平方差公式與完全平方公式，錯解2確定的公分母太復雜；錯解4的分母分解因式時出錯. 究其原因是大多考生盲目計算，不重視運算技巧，不根據(jù)式子特點靈活選擇計算方法，或錯誤地使用運算法則和運算定律，或在進行化簡與運算過程中沒有進行等價變形.

剖析？搖 此解法采取“分解分母→通分”的解題策略，增大了計算難度，導致結(jié)果錯誤. 分析原因是考生解題思維僵化，不能根據(jù)數(shù)學式子的結(jié)構(gòu)特征，多角度思考解題思路，靈活選擇解題方法，習慣于一種解法，增加解題難度.

試題2？搖 在一個口袋中共有4個完全相同的小球，把它們分別標號1，2，3，4，隨機地摸出一個小球然后放回，再隨機地摸出一個小球. 求下列事件的概率：

（1）兩次取的小球的標號相同；

（2）兩次取的小球的標號的和等于4.

畫出的樹狀圖為：

由圖可知共有20種等可能結(jié)果，其中兩次取的小球的標號相同有4種（記為A），標號的和等于4的有3種（記為B）.

剖析？搖 這里的失誤是把求等可能性事件概率公式中分數(shù)的分母理解成了“兩次摸球的結(jié)果總數(shù)之和”. 造成這種失誤是由于考生對概念理解不透徹，對概念理解片面、不全面，只能單向理解，對其逆向理解和變式理解不熟悉.

試題3？搖 如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是AD延長線上一點，且CE=CD. 求證：∠B=∠E.

錯解1 ？搖因為AD∥BC，所以AE∥BC. 所以四邊形ABCE是平行四邊形. 所以∠E=∠B.

剖析 這里用到的是“一組對邊平行的四邊形是平行四邊形”，條件不充分. 究其原因是考生對定理的內(nèi)容似是而非，沒有全面把握定理成立的條件，導致定理的條件不充分卻得到定理中的結(jié)論.

錯解2 ？搖因為四邊形ABCD是等腰梯形，所以AB=CD，AD∥BC. 因為CE=CD，所以AB=CE. 所以四邊形ABCE是平行四邊形. 所以∠B=∠E.

剖析 這里用到了“一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”，這是個假命題. 分析原因是考生在解題過程中違反邏輯思維規(guī)律，常表現(xiàn)為偷換概念、偷換論題、自相矛盾、分類不當?shù)?

試題4 關(guān)于x 的一元二次方程x2+3x+m-1=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2.

（1）求m的取值范圍；

（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值.

錯解1 （1）因為關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，

剖析 這種解法沒有全面把握一元二次方程有“兩個實數(shù)根”的含義，只考慮到了“兩個根不相等，即Δ>0的情況”，遺漏了“兩個根相等，即Δ=0”的特殊情況，致使解答結(jié)果不完整. 原因是考生解題過程思維不嚴密，對數(shù)學問題思考不全面，以偏概全導致解題失誤.

上述兩種解法考生均把一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系弄錯，究其原因是考生對公式、法則記憶模糊，不注意公式、法則成立的條件是否具備就直接應用公式、法則解題，或?qū)脚c法則記憶錯誤、不全面，漏掉其中一部分或混淆不同公式，張冠李戴.

又2（x1+x2）+ x1x2+10=0，所以m=3.

剖析 這里沒有直接用“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”進行計算，而是先用求根公式算出每個根（每個根都是無理式），再計算，導致出錯. 原因是考生解題方式繁雜，常表現(xiàn)為計算過程該用公式的不用，或該用運算定律、法則時沒有用，或該用簡便運算時沒有用，導致解題過程復雜，結(jié)果出錯.

試題5 如圖2所示，在矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于點F，連結(jié)FC.

（1）求證：△AEF∽△DCE.

（2）求tan∠ECF的值.

剖析 上述解法在利用相似三角形的性質(zhì)列比例式時沒有把對應邊寫在對應位置上，導致式子錯誤. 錯誤的原因是考生把相似三角形的性質(zhì)應用錯誤，沒有深入理解性質(zhì)的本質(zhì).

剖析 這里輔助計算的參數(shù)“AE為2x”偏大，增大了計算難度，造成計算結(jié)果錯誤. 究其原因是考生計算技能缺失，計算過程不能靈活地選擇公式及數(shù)學方法，或不能做到多種算法綜合運用，或輔助計算的參數(shù)使用不合理等.

試題6？搖 學校6名教師和234名學生集體外出活動，準備租用45座大車或30座小車. 已知租用1輛大車和2輛小車共需租車費1 000元，租用2輛大車和1輛小車共需租車費1 100元.

（1）求大、小車每輛的租車費各是多少元.

（2）若每輛車上至少要有一名教師，且總租車費用不超過2 300元，求最省錢的租車方案.

錯解1 （2）設(shè)大車租a輛，小車租b輛，依題意可得

400a+300b≥2300，45a+30b≥240. （解題無法繼續(xù)，到此結(jié)束）

剖析 這里只依據(jù)“明擺著”的條件列出了一個“二元一次不等式組”，且所列不等式組超出了考生解題能力范圍. 原因是考生忽視了“隱含著”的條件，沒能從“240名師生都有座位”和“每輛車上至少要有一名教師”兩個條件的相互關(guān)系中挖掘出租車的總數(shù)為6輛.

錯解2 （2）設(shè)大車租a輛，則租小車（6-a）輛，總費用為w元，則w=400a+（6-a）×300=100a+1800.

根據(jù)題意有100a+1800≤2300，解得a≤5. 因為k=100>0，w隨a的增大而增大. 所以a取1時，w最少. 所以租大車1輛，租小車5輛，費用最少，最少為1900元.

剖析？搖 這里考生用“車輛數(shù)和總費用”兩個變量列出一次函數(shù)，應用一次函數(shù)的增減性進行解答，忽略了“車輛數(shù)與人數(shù)”的關(guān)系，致使解答的結(jié)果錯誤. 錯因是機械套用. 由于平時學生用某種固定的解題思維模式多次解決同類問題而形成思維定式后，當遇到類似的新問題時（一般條件發(fā)生了變化）便機械套用以前的解題思維模式，導致解題失誤.

試題7 如圖3所示，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊分別與△POQ的兩直角邊交于點A和點B.

（1）求證：MA=MB.

（2）連結(jié)AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

錯解 （2）如圖4所示，連結(jié)MO，過點M作MC⊥PO，MD⊥QO，垂足分別為點C和點D. 易證△MOA≌△MQB. 所以AO=BQ. 所以AO+BO=OB+BQ=OQ=4. 若使△AOB的周長最小，則使A點在C點剖析？搖 這里在說明△AOB的周長最小這個關(guān)鍵點時，用合情推理代替了邏輯推理，沒有推理過程，結(jié)論缺乏根據(jù)，沒有說服力，失去了得分點. 原因是推理不嚴謹. 考生憑借已有的經(jīng)驗和直覺，“想當然”地推斷某些結(jié)果，缺乏應用已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則，按照邏輯推理的法則進行證明或計算的過程.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式.

（2）直線m與⊙C相切于點A，交y軸于點D. 動點P在線段OB上，從點O出發(fā)向點B運動；同時動點Q在線段DA上，從點D出發(fā)向點A運動；點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，當PQ⊥AD時，求運動時間t的值.

（3）點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當△ROB面積最大時，求點R的坐標.

錯解1 （2）如圖6所示，連結(jié)AC交OB于點E，則AC⊥OB，AC⊥AD.

t秒時，OP=t，DQ=2t. 若PQ⊥AD，則四邊形PQAE是矩形.

所以PE=QA. 所以O(shè)E-t=AD-2t. （由于無法找到求OE與AD的等量關(guān)系，解題終止）

剖析 這兩種解法都是不能對已知條件和需要求的問題通過猜想、推理、論證等探究過程，綜合運用類比與歸納、分析與綜合等數(shù)學思想方法找到不同量之間的內(nèi)在聯(lián)系，尋求數(shù)量之間的制約關(guān)系，建立等量關(guān)系求解，導致無法解出題目. 究其原因是考生數(shù)學思想方法薄弱，考生綜合運用數(shù)學抽象的思想、數(shù)學推理的思想、數(shù)學模型的思想、數(shù)學審美的思想的能力較弱，不能綜合運用比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法等方法辨明數(shù)學關(guān)系、建構(gòu)數(shù)學模型、找到解題策略.

失誤類型與復習建議

通過對上述典型失誤案例的分析，中考數(shù)學解答題解答失誤可歸為五種類型.

主要表現(xiàn)在考生計算時常把數(shù)字、運算符號、性質(zhì)符號抄錯或遺漏；運算基本技能不過關(guān)，存在運算速度慢、準確性差等問題；運算過程缺乏條理性、合理性、靈活性. 上述案例中試題1的錯解1～錯解4，試題5的錯解2和試題6的錯解2就屬于這種類型. 造成這類失誤是在知識層面上與對法則、運算律、算理等基礎(chǔ)知識的理解、掌握和運用有關(guān)，在技能層面上與對運算技巧的掌握和熟練程度有關(guān)，在邏輯思維層面上與學生的邏輯推理能力有關(guān).

復習建議 在涉及計算復習時要讓學生過“三關(guān)”，第一，算理關(guān). 要加強數(shù)學法則、運算律、算理等基礎(chǔ)知識的復習，要讓學生正確理解法則，熟記某些重要運算律、算理；要對數(shù)學法則、運算律和算理等加強綜合練習. 第二，算法關(guān). 要求學生認真審題、細心求解，看清題目中的每一個數(shù)據(jù)和運算符號，確定運算順序，選擇合理的運算方法；根據(jù)式子特征優(yōu)化運算過程和運算方法，提高運算的合理性. 第三，邏輯關(guān). 加強運算的邏輯推理訓練，引導學生靈活運用條件，提高運算的簡捷性，如靈活運用概念、公式，靈活選擇運算途徑等. 另外，要讓學生在平時的練習中做到步步有根據(jù)、有充足的理由，注意運算的順序性.

類型2？搖 數(shù)學知識應用失誤

主要表現(xiàn)在考生解題時錯誤地應用概念、公式、法則、定理、性質(zhì)等，導致出現(xiàn)解題結(jié)果錯誤. 上述案例中試題2的錯解，試題3的錯解1，試題4的錯解2與錯解3，以及試題5的錯解1就屬于這種類型. 造成這類失誤大都是由于學生對概念、公式、法則、定理、性質(zhì)等理解片面，“知其然，不知其所以然”，對概念的本質(zhì)屬性理解不透徹，對公式、法則記憶模糊，對定理、性質(zhì)似是而非地理解.

復習建議？搖 首先，要重視對概念、公式等數(shù)學知識的復習. 對于數(shù)學概念，要重視概念的實際背景與形成過程，要讓學生在主動探究、“做數(shù)學”等數(shù)學活動中理解、掌握概念的本質(zhì)屬性；要讓學生弄清定理、性質(zhì)中的關(guān)鍵詞，理解定理、性質(zhì)的本質(zhì)，從正、反兩個方面對定理、性質(zhì)進行理解并加以應用，用多種語言（文字、符號、圖形語言）表述定理. 其次，要重視相似或相近概念、公式等數(shù)學知識的對比復習. 應通過本質(zhì)屬性的對比與變式訓練等多種方式讓學生辨析相似、相近數(shù)學知識的易“混淆點”，在對比中理解數(shù)學知識的本質(zhì). 再次，要注重建構(gòu)數(shù)學知識系統(tǒng)框架圖. 教會學生建立“數(shù)學知識樹”，明晰知識脈絡(luò)，區(qū)分不同概念、定理、性質(zhì)、法則、公式的異同點，使學生更好地理解數(shù)學知識的意義，克服機械記憶的學習方式.

類型3？搖 問題解決不全面造成失誤

主要表現(xiàn)為考生在解決數(shù)學問題時，不能全面地發(fā)掘題中的信息，對主要條件或關(guān)鍵信息缺乏深入的理解，沒有發(fā)現(xiàn)或挖掘出題中所隱含的條件，導致出現(xiàn)解答不嚴密或不能做到底. 上述案例中試題4的錯解1、試題6的錯解1就屬于這種類型. 這類情況大多是由于學生審題馬虎、考試心理緊張和忽視隱含條件造成的.

復習建議？搖 學生審題馬虎既有審題習慣的原因，也有心理方面的原因. 防止這類失誤的對策是：首先，培養(yǎng)科學嚴謹?shù)膶忣}習慣. 要求學生解題前做到“一題讀三遍”，一遍看條件與問題，二遍分析條件與問題的關(guān)系，三遍理清各種量的意義和關(guān)系. 其次，保持正常的心理狀態(tài). 平時應要求學生養(yǎng)成沉著、冷靜、耐心的做題習慣，時常提醒自己“別緊張，看準題，不失誤”.

忽視隱含條件大多是因為思考不深入、經(jīng)驗不足、思維定式的負面效應或?qū)Ω拍?、定理、公式、法則理解不透徹. 防止發(fā)生這種失誤的對策：首先，進行分類復習. 對概念、定理、公式和法則等進行分類專題復習，幫助學生分析并掌握“易錯點”和“易漏點”. 其次，加強對概念、定理、公式和法則的意義理解. 注意關(guān)鍵詞語的深層含義，關(guān)注數(shù)量關(guān)系與數(shù)學式子的結(jié)構(gòu)特征、圖形的位置特征、實際問題的意義所隱含的條件，積極培養(yǎng)學生思維的深刻性和嚴謹性，加強解題后的反思，積累相關(guān)經(jīng)驗等.

類型4？搖 邏輯推理不嚴密造成的失誤

主要表現(xiàn)在考生不能合乎邏輯地進行分析、綜合、抽象、概括和推理論證，答題的過程思路不清晰、因果不分明、推理不嚴謹?shù)? 上述案例中試題3的錯解1，試題7的錯解，試題8的錯解就屬于這種類型. 考生邏輯思維能力差和數(shù)學思想方法薄弱是造成這種失誤的根本原因.

復習建議？搖 邏輯思維能力差的學生可以通過學習和訓練逐步提高. 培養(yǎng)學生的邏輯思維能力要堅持由短到長，由簡單到復雜，由易到難. 如，開始先學會寫一個邏輯段“因為……，所以……”，然后學習寫兩個邏輯段“因為……，所以……. 所以……”，逐步增加邏輯段的長度和難度. 在表達邏輯推理過程時，要堅持“沒有最好，只有更好”，不斷地反思、推敲、修改已給出的解法過程，從而優(yōu)化解題的邏輯過程. 只要堅持做下去，必定能使思維得到錘煉，進而提高數(shù)學邏輯推理能力.

強化數(shù)學思想方法的教學是提高學生學習潛能的有效途徑. 首先，教師要以一定的數(shù)學知識為載體，有意識地梳理和歸納數(shù)學問題中的思想和規(guī)律，滲透和揭示其中的數(shù)學思想方法，結(jié)合教學內(nèi)容，主動引導學生感悟、理解、掌握數(shù)學思想方法. 其次，抓住數(shù)學的“靈魂”，發(fā)揮“數(shù)學方法論”的導向作用，通過對典型例題的分析，教會學生如何思考，使學生經(jīng)歷觀察、實踐、猜想、推理、論證的探究過程，體會數(shù)學思想方法在解決數(shù)學問題中的重要作用，讓學生學會在數(shù)學思想方法的指導下探索數(shù)學題的解法，使數(shù)學思想方法成為學生解題道路上的指明燈，經(jīng)常指導學生解題，使解題學習有事半功倍之功效.

類型5 解題策略不當造成失誤

主要表現(xiàn)在一種策略給解題產(chǎn)生錯誤導向，使問題得不到解決，或增加了解題過程的難度和復雜性. 具體表現(xiàn)為考生解題思維僵化、解題方式繁雜等. 上述案例中試題1的錯解5，試題4的錯解4就屬于這種類型. 造成這種情況的原因與學生的解題技巧掌握多寡有關(guān)，與學生解題思維的敏捷性、靈活性有關(guān).

復習建議？搖 首先，加強解題技能的培養(yǎng). 教師要通過教材中的例題、練習題和習題以及近年的中考題等讓學生“一題多解”“一題多證”，不斷優(yōu)化解題策略，培養(yǎng)學生嫻熟的解題技能. 其次，加強解題思維的培養(yǎng). 解題教學過程中教師要善于啟發(fā)、指導，啟發(fā)學生在思維過程中自己體驗，讓學生動腦、動手、動口，訓練學生會思考，讓學生親自領(lǐng)略數(shù)學思想方法的功能作用，并在思維訓練過程中不斷加以總結(jié)、提高、完善、充實. 再次，幫助學生建立解題“方法庫”. 如，每次解題后，要求學生歸納所用知識，重要知識的用法，解類似題的方法技巧，并查錯補遺，尋求最佳方案等. 通過過程挖掘，提煉解題指導思想，歸納總結(jié)解題方法，從而上升到思想方法的高度，抓住實質(zhì)，揭示規(guī)律，在學生頭腦中逐步建立起解題策略“方法庫”.

總之，防止或減少學生在解答題解答中的一些不必要失誤，需要教師在復習中有“研數(shù)學”的意識，善于把學生的“錯題資源”變?yōu)橛行У摹敖虒W資源”，讓學生在不斷的識錯、改錯中提升數(shù)學思維品質(zhì).