三個(gè)“關(guān)注”引領(lǐng)高效

[摘 要] 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要關(guān)注核心概念，注重基礎(chǔ)知識(shí)和技能的積累，關(guān)注典型試題，注重解題能力的提升，關(guān)注錯(cuò)誤根源，注重學(xué)生的思考過程，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)輕松、和諧、民主、開放的課堂氛圍，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 關(guān)注；引領(lǐng)；高效；思維品質(zhì)

初三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之后，為了使學(xué)生了解自己的不足，發(fā)現(xiàn)復(fù)習(xí)過程中遺漏的知識(shí)，同時(shí)適應(yīng)中考試卷題型，通常會(huì)進(jìn)行一些模擬試卷的練習(xí). 而這個(gè)過程也正是教師幫助學(xué)生進(jìn)一步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)、提高解題能力的契機(jī). 不僅如此，通過對(duì)典型試題采取恰當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí)等方法，還可以優(yōu)化學(xué)生的思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)案例談幾點(diǎn)思考.

關(guān)注核心概念，注重基礎(chǔ)知識(shí)和

技能的積累

其實(shí)模擬試卷主要考查的是初中數(shù)學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等各個(gè)領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，即我們通常所稱的“基本題”. 但基本題并不等于簡(jiǎn)單題，而是利用基本知識(shí)、基本方法、基本技能、基本經(jīng)驗(yàn)解決的基本問題. 對(duì)于學(xué)生失誤較高的基礎(chǔ)題，需有側(cè)重點(diǎn)地進(jìn)行集體講評(píng)，因?yàn)檫@反映出了學(xué)生對(duì)核心概念及概念間的相互聯(lián)系掌握得還不夠牢固和透徹.

1. 抓住概念的關(guān)鍵特征，強(qiáng)化概念的運(yùn)用

案例1 關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2-1=0的一個(gè)根為0，則m=_____.

師：同學(xué)們，這道題考查了什么知識(shí)呢？

生1：一元二次方程以及一元二次方程的根的定義.

師：誰能說說什么叫做一元二次方程？什么是一元二次方程的根？

生2：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程是一元二次方程.

生3：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解.

師：大家說得很好. 對(duì)于一元二次方程，我們只要理解三個(gè)關(guān)鍵特征即可，即一元、二次、整式方程. 那這道題中，哪個(gè)特征最容易被我們忽視呢？

生4：m-1≠0.

師：回答得非常好. 那么再變一變，稍微難一些，你們會(huì)嗎？

練習(xí)題？搖 1. 關(guān)于x的方程（m+1）xm2+1+（m-2）x-1=0.

（1）是否存在m，使方程為一元二次方程？若存在，請(qǐng)求出m的值.

（2）若方程為一元一次方程，m是否存在？若存在，請(qǐng)求出m的值.

2. 關(guān)于x的方程x 2+bx+a=0有一根 -a（a≠0），則a-b=______.

感悟 一元二次方程的概念是方程這一章的一個(gè)核心概念，學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握. 掌握不是死記硬背，而是要能在理解的基礎(chǔ)上將對(duì)象運(yùn)用到新的環(huán)境中. 本題將一元二次方程根的意義和一元二次方程的定義有機(jī)結(jié)合，在解題過程中交錯(cuò)運(yùn)用. 在講解時(shí)，我們需要給學(xué)生概括出概念的關(guān)鍵特征，之后利用問題串強(qiáng)化運(yùn)用. 練習(xí)的第一題考查了相近的一元一次方程的定義，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解. 雖然學(xué)生能夠用語言陳述概念、性質(zhì)、定理、公式，但并不能說明他們已經(jīng)理解了相應(yīng)的概念、性質(zhì)、定理、公式. 關(guān)鍵要看他們?cè)谒季S層面上能否運(yùn)用概念、性質(zhì)等進(jìn)行推理或重組. 只有真正掌握，才能進(jìn)行學(xué)習(xí)上的遷移，以不變應(yīng)萬變，融會(huì)貫通.

2. 引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)，形成概念網(wǎng)絡(luò)

案例2？搖 將拋物線y=x 2+2向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式為______.

感悟 案例考查的是二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí). 二次函數(shù)是初中階段數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，可借助圖示法表示相關(guān)概念之間的關(guān)系.

通過圖示，能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)發(fā)生過程的理解，從而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成條理化、有序化的有機(jī)體系，有利于學(xué)生將已學(xué)的知識(shí)弄懂、弄通.這樣，在解題時(shí)，也方便學(xué)生由題目提供的信息、從記憶系統(tǒng)里檢索出與題目相關(guān)的信息，構(gòu)成最佳組合.

關(guān)注典型試題，注重解題能力的

提升

1. 展示學(xué)生解法，優(yōu)化學(xué)生思維

在試卷講評(píng)中展示學(xué)生的不同解法，既有利于優(yōu)化學(xué)生的思維，又能鼓勵(lì)學(xué)生，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，一舉多得.

案例3？搖 如圖1，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC，BD相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC.求∠AEB的大小.

生1： 因?yàn)辄c(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，所以O(shè)D=OA.因?yàn)椤鱋AB和△OCD是等邊三角形，所以O(shè)B=OC=OA=AB，∠DOC=∠AOB=60°.所以∠COB=60°. 所以△COB是等邊三角形.所以AB=BC=CO=OA.所以四邊形ABCO是菱形.？搖同理，四邊形BODC也是菱形. 所以AC⊥BO，∠OBD=30°.所以∠BEA=60°.

生2：？搖易得△DOB≌△COA，所以∠DBO=∠CAO. 所以∠BEA=∠BOA=60°.

感悟 上述三種解法各有千秋，分別利用四邊形的知識(shí)、三角形全等的知識(shí)、圓的知識(shí)求得∠BEA的度數(shù)，但最后一種解法更簡(jiǎn)潔.正應(yīng)了那句話，“對(duì)題目理解得越深刻，則解法越簡(jiǎn)潔.”不過由于學(xué)生能力、課堂時(shí)間等因素的限制，必須根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求做出合理的選擇，不能把一二十種方法都搬到課堂上來，那樣反而會(huì)適得其反，造成學(xué)生的混亂.

2. 加強(qiáng)變式訓(xùn)練，培養(yǎng)思維深度

案例4？搖 拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于點(diǎn)A（-4，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D. E（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，EF垂直平分BC交y軸于點(diǎn)G.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式.

（2）在直線EF上求一點(diǎn)H，使△CDH的周長(zhǎng)最小.

師：求△CDH的周長(zhǎng)，也就是求哪幾條線段的和？

生1： CD+DH+HC.

師：那這里面有哪些線段是已知的，實(shí)質(zhì)上可以抽象出一個(gè)怎樣的基本圖形？誰能到黑板上來畫一畫.

生2：CD是一個(gè)定值，所以我們只要求DH+HC的最小值.

（眾生沉思，生3踴躍到黑板上板演，畫出基本圖形）

師：這個(gè)基本圖形實(shí)質(zhì)上就是我們熟悉的“將軍飲馬”問題中的基本圖形，那我們?cè)趺醋瞿兀?/p>

生4：作點(diǎn)D或點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn).

師：那作哪個(gè)對(duì)稱點(diǎn)更方便呢？

生4（想了想）：不用找對(duì)稱點(diǎn)了，題目中有現(xiàn)成的.因?yàn)镋F垂直平分BC，所以可以看作B，C兩點(diǎn)關(guān)于直線EF對(duì)稱，再連結(jié)BD，則BD與EF的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn).

師：同學(xué)們，像這種求線段之和最小值的問題初看有一定的難度，但我們可以將它變成我們熟悉的“將軍飲馬”問題，難題就迎刃而解了. 這其中蘊(yùn)涵了我們解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的一個(gè)重要思想方法——轉(zhuǎn)化，即將未知的轉(zhuǎn)化成已知的，將陌生的轉(zhuǎn)化成熟悉的.

變式1？搖 （案例4的條件）在y軸上求一點(diǎn)P，使PC-PD最大.

變式2？搖 如圖3，正方形AOCB的邊長(zhǎng)為6，A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P 是OB上任一點(diǎn)，求PD+PA的最小值.

（生順利解決）師：大家仔細(xì)想想，討論看看我們以前都運(yùn)用“將軍飲馬”問題中的基本圖形解決過哪些圖形中的最值問題？

（教室里頓時(shí)熱鬧起來，小組內(nèi)各抒己見，三分鐘，匯報(bào)討論結(jié)果）

生5：（在實(shí)物投影儀上投影自己的作品）如圖4，在以AB為直徑的圓中，O為圓心，∠DOB=60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P，使PC+PD最小.

生6：（投影作品）如圖5，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，N為AB 上任意一點(diǎn)，在AD上求點(diǎn)M，使BM+NM最小.

生7（投影作品）：如圖6，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，分別在AO，BO上找點(diǎn)C和點(diǎn)D，使△PCD的周長(zhǎng)最小.

（學(xué)生繼續(xù)匯報(bào)著本組的討論成果）……

拓展提高？搖 1. 如圖7，在菱形ABCD中，M，N分別為BC，CD上任意一點(diǎn)，在BD上找一點(diǎn)P，使MP+NP的值最小，求最小值.

2. 如圖8，矩形OABC的頂點(diǎn)O在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=3，OC=4，D為OC的中點(diǎn)，若E，F(xiàn)為邊OA 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF=2，求四邊形BDEF周長(zhǎng)最小時(shí)，E，F(xiàn)的坐標(biāo).

感悟？搖（1）案例由學(xué)生在具體情境中抽象出幾何基本圖形，通過簡(jiǎn)單變式形成題組，易于學(xué)生抓住問題的本質(zhì). 拓展練習(xí)在原題型的基礎(chǔ)上又發(fā)生了變化，變成了三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求最小值的問題，考查了學(xué)生能否靈活運(yùn)用的能力，培養(yǎng)了思維的深刻性. 在積累解題經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，又提高了學(xué)生解題的技能，促使學(xué)生在解決問題的過程中感受數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)帶來的樂趣.

（2）數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想的載體，在教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、了解解題方法之后，點(diǎn)出了其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生對(duì)定理、方法、技巧等本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，對(duì)于學(xué)生分析問題、解決問題有積極的導(dǎo)向作用.

（3）通過學(xué)生討論反思，挖掘出了解決“將軍飲馬”問題過程中的基本圖形，并總結(jié)了這個(gè)基本圖形在平時(shí)解題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.這是一個(gè)從被動(dòng)學(xué)習(xí)到主動(dòng)提出問題的過程，是從基礎(chǔ)到創(chuàng)新的飛躍，有助于學(xué)生直覺性題感的形成，就像英語學(xué)習(xí)中的“語感”，以及音樂學(xué)習(xí)中的“樂感”.

關(guān)注錯(cuò)誤根源，注重學(xué)生思考

過程

學(xué)生錯(cuò)誤的解法，有時(shí)正是教學(xué)的資源，教師應(yīng)當(dāng)敏銳把握. 教師應(yīng)在學(xué)生的錯(cuò)解中，找出有代表性的錯(cuò)誤解法，并加以利用，找出錯(cuò)誤發(fā)生的根源.

錯(cuò)解2？搖 因?yàn)?AB⊥CP，AB過圓心，所以AB平分CP.所以AB是CP的垂直平分線. 所以BC=PB. 同理，PC=BC.所以BC=PB=PC.所以△BCP是等邊三角形.所以∠BCD=30°.

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)讀題，對(duì)照?qǐng)D形，認(rèn)真閱讀解答過程，看看這兩種解法問題出在哪里？（教室里一片沉靜，思考兩三分鐘后，終于有六名同學(xué)舉起了手）

生1：第一個(gè)解答過程，△AOC是等邊三角形，但是題目中說“過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD”，CD不一定過點(diǎn)O.

（大家若有所悟，有同學(xué)不斷點(diǎn)頭，頓時(shí)舉手的同學(xué)多了）

生2：第二個(gè)解答中“BC=PB” 是正確的，但是“同理，PC=BC”就不對(duì)了，CD不一定過圓心.

師：所以，我們?cè)诮忸}的時(shí)候一定要認(rèn)真審題，注意思維過程的嚴(yán)密性. 那大家覺得CD過點(diǎn)O嗎？（眾生沉思片刻）

生3：CD過點(diǎn)O，因?yàn)椤螦CP=30°，所以∠PCB=60°. 又BC=PB，所以△BCP是等邊三角形. 所以PC=BC. 所以弧PC=弧BC. 又因?yàn)镃D⊥PB，所以CD過圓心.

（教室里掌聲響起）

感悟 《新課標(biāo)》中指出數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成的過程”，不管是基礎(chǔ)題還是綜合題，學(xué)生答對(duì)了，我們要懂得欣賞，答錯(cuò)了，要幫助分析錯(cuò)誤的根源.錯(cuò)誤的原因很多，有的因?yàn)橹R(shí)因素，比如關(guān)聯(lián)的知識(shí)含糊不清，有的因?yàn)椴蛔⒁鈱忣}，未弄懂題意，有的能力較弱，表現(xiàn)在解綜合題時(shí)不能靈活運(yùn)用而出錯(cuò)、解題不完整等.只有注重暴露學(xué)生的思維過程，關(guān)注錯(cuò)誤的根源，抓住每一個(gè)細(xì)節(jié)，才能有的放矢，改善不足之處.