一道課本例題所聯(lián)想的多角度探究思路及變式訓(xùn)練

[摘 要] 本文圍繞新課程理念，從分析課本例題入手，以問(wèn)題為載體，開(kāi)展多角度探究，剖析解題思路，滲透數(shù)學(xué)思想方法，并進(jìn)行變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和求異思維，從而促進(jìn)學(xué)生“全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展”.

[關(guān)鍵詞] 探究；新課程；多角度；變式

張奠宙先生說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有問(wèn)題的數(shù)學(xué)教學(xué)，不會(huì)有火熱的思考. ”數(shù)學(xué)源于問(wèn)題，問(wèn)題是思維的起點(diǎn). 在課堂教學(xué)中，應(yīng)以學(xué)生合作討論、交流為前提，以教材為基礎(chǔ)，以問(wèn)題為載體，在教師的啟發(fā)、指引下，學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、推理、驗(yàn)證、交流等有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，積極發(fā)揮自主能動(dòng)性，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，掌握方法，培養(yǎng)能力，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的.

題目引入

在本學(xué)期期末復(fù)習(xí)時(shí)，筆者準(zhǔn)備以課本例、習(xí)題展開(kāi)，其中以圓中的計(jì)算為考點(diǎn)引用九年級(jí)上冊(cè)課本例題（2010-2011學(xué)年?yáng)|莞市期末考試試題）：

如圖1，BC為⊙O的直徑，AB=6 cm，AC=8 cm，∠CAB的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，BD，求BC，BD的長(zhǎng).

分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：⊙O中直徑所對(duì)的圓周角是90°；勾股定理的計(jì)算；角平分線的定義；等圓周角對(duì)等弧、等弦. 一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生通過(guò)以往的學(xué)習(xí)和習(xí)題的變式練習(xí)，基本可解決此題. 學(xué)生做完此題后，覺(jué)得解題思路比較直接，計(jì)算量也不大.

此時(shí)老師提出：我們還有哪條邊不知道呢？

生答：AD邊！

師問(wèn)：如何求AD的長(zhǎng)？請(qǐng)大家想一想，看誰(shuí)能更快、更簡(jiǎn)捷地解決！

解法展示

在大家的集思廣益下，呈現(xiàn)了此題解法的多樣性和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想.

思路入題分析 觀察到圖中有45°角，可通過(guò)作高構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，其中有等腰直角三角形，可利用勾股定理或解直角三角形來(lái)解答，此解法蘊(yùn)涵了轉(zhuǎn)化思想.

思路入題分析 通過(guò)作高構(gòu)造等腰三角形的同時(shí)，利用相似三角形得出對(duì)應(yīng)邊成比例，從而解答，此解法也蘊(yùn)涵了轉(zhuǎn)化思想.

思路入題分析 由于有角平分線這一條件，可通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形，再利用等腰三角形底邊的三線合一性質(zhì)，最后用解直角三角形解答. 解法3蘊(yùn)涵了分割思想，解法4蘊(yùn)涵了補(bǔ)全思想.

解法5？搖 如圖7，（在圖6的基礎(chǔ)上）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，由AD平分∠BAC得DG=DF.

思路入題分析 由于有角平分線這一條件和45°角，兩者結(jié)合可構(gòu)造出正方形，再利用全等三角形解答，解法5蘊(yùn)涵了特殊化思想.

解法6？搖 如圖8，利用圖形旋轉(zhuǎn)把△ACD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△EBD，則△ACD≌△EBD. 所以∠ACD=∠EBD. 由于∠ACD+∠ABD=180°，故∠EBD+∠ABD=180°. 所以A，B，E三思路入題分析 利用圖形變換得到全等三角形，進(jìn)而推出對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，再轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題，解法6蘊(yùn)涵了變換思想.

題目變式

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一種能動(dòng)的建構(gòu)的過(guò)程. 新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，讓他們能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能解決問(wèn)題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)變技巧. 變式教學(xué)以現(xiàn)代理論為指導(dǎo)，以注重知識(shí)建構(gòu)、提高變式能力、優(yōu)化思維品質(zhì)、培養(yǎng)創(chuàng)新精神為基本要求. 因此，教師應(yīng)遵行主體參與、探索創(chuàng)新等教學(xué)原則，深入研究教材中蘊(yùn)涵的變式創(chuàng)新因素，通過(guò)學(xué)生積極自覺(jué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來(lái)激活、改變學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而培養(yǎng)學(xué)生的求異思維、創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力.

1. 基礎(chǔ)變式

變式1？搖 延伸結(jié)論

（1）如圖9，圖中有多少對(duì)相似三角形？試寫出其中的一對(duì)并給予證明.

（2）試求四邊形ABDC的面積.

變式2？搖 變條件1

如圖10，把“∠CAB的平分線AD”改變?yōu)椤啊鰽BC的高AE所在的直線與圓的另一交點(diǎn)為D”，試探究四邊形ABDC是什么圖形，并說(shuō)明理由.

變式3？搖 變條件2

如圖11，把“∠CAB的平分線AD”改變?yōu)椤啊鰽BC的中線AO所在的直線交⊙O于點(diǎn)D”，試探究四邊形ABDC是什么圖形，并說(shuō)明理由.

變式4？搖 變條件3

如圖12，把“BC是⊙O的直徑”改變?yōu)椤癇C是⊙O的弦”.

求證：（1）△ACE∽△ADB.

（2）AB·AC=AD·AE.

（3）圖中共有多少對(duì)相似三角形？請(qǐng)一一寫出，并證明其中一對(duì).

評(píng)析？搖 變式1在原題的基礎(chǔ)上探究新問(wèn)題、新結(jié)論，第（1）問(wèn)是開(kāi)放題，答案不唯一，第（2）問(wèn)是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，把四邊形ABDC的面積看成△ABC和△DBC的面積和；變式2和變式3把條件“∠CAB的平分線AD”分別變更為“高、中線”后，探究的新圖形分別為箏形、矩形. 變式4把條件“BC是⊙O的直徑”改變?yōu)椤癇C是⊙O的弦”后，將探索和證明結(jié)合于一體，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生步步深入、層層遞進(jìn)，使題目具有較好的層次性，使不同思維層次的學(xué)生都能得到充分的展示.

2. 拓展變式

變式5？搖 增加條件

在圖12的條件上增加“過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線FG，分別與AC，AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F和點(diǎn)G”（如圖13） . 求證：（1）CB∥FG. （2）CD 2=CE·DG.

變式6？搖 增加條件

變式7？搖 增加條件

在圖12的條件上增加“點(diǎn)F是△ABC的內(nèi)心” （如圖15）.

求證：（1）DF=DC=DB. （2）DF 2=AD·DE.（3）若DF=4，AD=8，求DE的長(zhǎng).

變式8？搖 變條件4

如圖16，把“BC是⊙O的直徑”改變?yōu)椤癇C是⊙O的切線”（如圖16），增加“AD是⊙O的直徑”， ∠DAB的平分線為AC.

（1）求證： ∠ABC=90°（可把此題的條件和結(jié)論互逆進(jìn)行練習(xí)）.

（2） 若CE=6，ED ∶ EA=1 ∶ 3，求⊙O的半徑.

評(píng)析？搖 變式5和變式6在原題的基礎(chǔ)上增加條件探究變化圖形下的新結(jié)論，將證明與探索結(jié)論進(jìn)行到底，變式5和變式6的切線位置不同，都是利用弦切角的性質(zhì)得出相似三角形，重點(diǎn)考查學(xué)生的合情推理能力，在課堂教學(xué)上可適當(dāng)增加這方面內(nèi)容，對(duì)圓中的相似證明有快捷效果. 變式7增加了“點(diǎn)F是△ABC的內(nèi)心”條件，解決第（1）問(wèn)可利用內(nèi)心性質(zhì)和等弧對(duì)等圓周角，第（2）（3）問(wèn)仍然是相似證明、計(jì)算. 變式8是常見(jiàn)的條件和結(jié)論的互逆訓(xùn)練，有助于鍛煉學(xué)生的邏輯思維、優(yōu)化思維品質(zhì)、培養(yǎng)創(chuàng)新精神.

3. 綜合變式

變式9？搖 綜合變式1

把圖13和圖15結(jié)合在一起成為圖17，如圖17，∠CAB的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)F是△ABC的內(nèi)心，切線DH切⊙O于點(diǎn)D.

求證：（1）CB∥DH.

（2）DF=CD=BD.

（3）若DF=4，AD=8，求DE的長(zhǎng).

變式10？搖 設(shè)置背景

如圖18，在原題“BC為⊙O的直徑，AB=6 cm，AC=8 cm，∠CAB的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，BD”的基礎(chǔ)上增加“平面直角坐標(biāo)系”這一條件，求直線AD的函數(shù)關(guān)系式.

變式11？搖 綜合變式2

如圖19，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD.

（1）求證：∠DAC=∠DBA.

（2）求證：點(diǎn)P是線段AF的中點(diǎn).

評(píng)析？搖 變式9在拓展的基礎(chǔ)上探究組合圖形下的新結(jié)論，將證明與計(jì)算相結(jié)合，利用相似模型演繹，重點(diǎn)考查學(xué)生的綜合推理能力，啟發(fā)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性、廣闊性和深刻性. 變式10在原題基礎(chǔ)上設(shè)置坐標(biāo)背景，將函數(shù)和圓有機(jī)地組合在一起，題目起點(diǎn)不高，但能切實(shí)反映知識(shí)間的串聯(lián)關(guān)系，讓學(xué)生提升綜合解題能力. 變式11設(shè)置的問(wèn)題由易到難，題目綜合性較強(qiáng)，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維遷移能力，增強(qiáng)化生為熟、化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化意識(shí).

總結(jié)？搖 本節(jié)課的活動(dòng)模式是：回顧教材上的原問(wèn)題——對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行延伸——生成新問(wèn)題——探究新問(wèn)題. 在學(xué)生提出問(wèn)題和分析、探究、解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師能與學(xué)生一起積極討論、交流，發(fā)現(xiàn)并注意收集學(xué)生在探究過(guò)程中出現(xiàn)的對(duì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)的疑點(diǎn)、對(duì)問(wèn)題分析中出現(xiàn)的困惑以及解決問(wèn)題思路的亮點(diǎn)，并對(duì)每種解法給予點(diǎn)評(píng)、小結(jié)，讓學(xué)生通過(guò)解題練習(xí)揭示解題的思路和總結(jié)解題的規(guī)律，以拓展學(xué)生思維的深度和廣度，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和發(fā)散思維.

反思與收獲

1. 從選題上要體現(xiàn)探究性和思考性、針對(duì)性，要體現(xiàn)常規(guī)的解題思路和分析方法，能引導(dǎo)學(xué)生積極參與解題和熱烈討論，使得學(xué)生在質(zhì)疑、推理、探究過(guò)程中提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

2. 題目應(yīng)有思維的創(chuàng)新性和延續(xù)性，對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和解題有實(shí)質(zhì)性的幫助，而題目本身應(yīng)能反映學(xué)生思維的不足和缺乏，能有效鍛煉學(xué)生的思維，并涵蓋一定的知識(shí)考點(diǎn)，來(lái)源于教材又超越教材，形式活潑、內(nèi)容新穎，能改變學(xué)生單一化的解題思路.

3. 教學(xué)過(guò)程中要敢于放手，讓學(xué)生成為課堂的主人，提倡“廣開(kāi)言路”，培養(yǎng)學(xué)生多說(shuō)、多動(dòng)手、多動(dòng)腦、多交流的習(xí)慣，讓課堂成為師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的大舞臺(tái)，讓學(xué)生揭示思考方法、思維過(guò)程，使學(xué)生能更好地理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，使探究活動(dòng)更有時(shí)效性.

4. 教師要在每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中細(xì)心觀察，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入思考的探究活動(dòng)中，避免無(wú)用功和低效的現(xiàn)象發(fā)生，在學(xué)生進(jìn)入困惑時(shí)要舍得花時(shí)間講解、講透，不要為了趕時(shí)間而失去寶貴的訓(xùn)練機(jī)會(huì).

5. 老師要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)歸納、總結(jié)解題思路和解題規(guī)律，通過(guò)不斷訓(xùn)練提高思維能力，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的.

結(jié)束語(yǔ)

就題講題，教學(xué)枯燥；創(chuàng)新處理，師生活躍. 法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒說(shuō)過(guò)“我所解決的每一個(gè)問(wèn)題都成為一個(gè)模式，以用于解決其他相關(guān)的問(wèn)題. ”課本上例題、習(xí)題的權(quán)威性和示范性無(wú)疑是創(chuàng)新變式的源泉，有必要進(jìn)行反思和深層次探究，一方面，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q、延伸、拓展，在加深鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，開(kāi)拓解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力；另一方面，將題目之間的共性及本質(zhì)的東西進(jìn)行提煉、概括、升華，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)闊視野、豐富思維，培養(yǎng)學(xué)生積極探究的精神和創(chuàng)新的能力.