數(shù)形轉(zhuǎn)化易理解，結(jié)合運(yùn)用促提升

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)的教材中開始出現(xiàn)幾何與代數(shù)綜合型的題目，這對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力提出了較高要求. 如何做好初中數(shù)學(xué)教學(xué)這一學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力培養(yǎng)的重要階段，成為許多教師思考的問題，筆者基于此，就如何有效開展數(shù)形結(jié)合教學(xué)，提出建議.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)形轉(zhuǎn)化；綜合運(yùn)用

初中數(shù)學(xué)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)型階段：這一階段，學(xué)生思維能力迅速發(fā)展，思維模式開始轉(zhuǎn)型，抽象思維能力大大增強(qiáng)；與此對(duì)應(yīng)，初中數(shù)學(xué)幾何概念開始大量引入，與代數(shù)知識(shí)共同撐起初中數(shù)學(xué)的知識(shí)王國. 在經(jīng)過一定階段的學(xué)習(xí)之后，初中數(shù)學(xué)代數(shù)、幾何知識(shí)開始雜糅，并化身為各類題型出現(xiàn)在學(xué)生面前. 這類題型因?yàn)榫C合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)觀察能力要求較高，許多學(xué)生對(duì)其常常無計(jì)可施，因此，引導(dǎo)學(xué)生熟悉數(shù)形轉(zhuǎn)化關(guān)系、培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力成為許多教師關(guān)注的重要課題. 筆者總結(jié)多年數(shù)學(xué)一線工作經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為要進(jìn)行初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合有效教學(xué)，可從以下三方面入手.

■ 數(shù)轉(zhuǎn)形，化繁為簡幫助直觀理解

數(shù)是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的概念，學(xué)生從學(xué)前就開始接觸大量的數(shù). 而到了初中階段，數(shù)、實(shí)數(shù)等代數(shù)概念開始進(jìn)入學(xué)生視野，這時(shí)學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)就變得復(fù)雜和抽象. 這些從直觀數(shù)字現(xiàn)象高度抽象概括的數(shù)學(xué)概念，對(duì)于初中生而言，是一個(gè)不小的挑戰(zhàn). 在概念的具體化和運(yùn)算化的過程中，學(xué)生常常出現(xiàn)審錯(cuò)題、會(huì)錯(cuò)意、算錯(cuò)數(shù)的情況. 要有效解決這樣的情況，需要教師充分引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)轉(zhuǎn)形的訓(xùn)練：我們知道，圖形是直觀的、清晰的、易于理解的，將代數(shù)概念中的數(shù)學(xué)關(guān)系利用圖形來表示，可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化提供一個(gè)良好的載體，化繁為簡，提高學(xué)生的解題效率. 不過值得指出的是，在數(shù)轉(zhuǎn)形的教學(xué)引導(dǎo)中，教師應(yīng)注意兩個(gè)問題：其一，并不是所有的代數(shù)題都需要數(shù)轉(zhuǎn)形，教師要幫助學(xué)生區(qū)分何時(shí)該數(shù)轉(zhuǎn)形，何時(shí)可以直接用數(shù)學(xué)思維求得答案. 而一味地進(jìn)行數(shù)轉(zhuǎn)形，不加辨別，同樣不利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展. 其二，在“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”的過程中，根據(jù)題型不同，所進(jìn)行的轉(zhuǎn)化也是不一樣的，錯(cuò)誤的數(shù)轉(zhuǎn)形運(yùn)算，不僅不能促進(jìn)問題解決，反而會(huì)對(duì)原有解題思路造成破壞性影響. 因此，引導(dǎo)學(xué)生合理選擇轉(zhuǎn)化對(duì)象和方式，同樣是每位教師需要關(guān)注的.

例如，教學(xué)蘇教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊“一元一次不等式”時(shí)，筆者在黑板上給出了這樣一道不等式組：

3x-2≥x+3，2x-3≤x+4，

讓學(xué)生進(jìn)行解答. 學(xué)生剛接觸不等式，對(duì)于不等式的知識(shí)點(diǎn)還不是很熟悉，對(duì)于不等式組的解答更是缺乏概念，不一會(huì)兒就有學(xué)生舉手問：“老師，這道題會(huì)不會(huì)出錯(cuò)了，x一下子大于等于，一下子小于等于，該怎么做呢？”顯然，學(xué)生還不能理解不等式組解得的是一段數(shù)字區(qū)間這個(gè)數(shù)學(xué)概念，此時(shí)教師如果直接告訴學(xué)生：“同學(xué)們，你們求得的答案x≥■且x≤7就是答案，將二者組合一下，即■≤x≤7就行了”，筆者認(rèn)為學(xué)生同樣可以通過模仿和記憶，掌握這個(gè)做法，但學(xué)生是否理解不等式組所得答案的概念就不得而知了. 因此，筆者在黑板上畫出數(shù)軸，將x≥■和x≤7的區(qū)間標(biāo)注出來，畫出重合部分，并引導(dǎo)學(xué)生：“如果小紅要吃至少■顆糖果，小青最多吃不超過7顆糖，那給多少糖果可以讓他們兩個(gè)都滿意呢？”學(xué)生看著黑板思考，筆者畫出數(shù)軸上重合的部分：“這些就是所有可以讓她們都滿意的糖果數(shù). 在這個(gè)范圍里的數(shù)都符合題意. ”通過這樣畫數(shù)軸進(jìn)行數(shù)轉(zhuǎn)形，可以幫助學(xué)生化難為易，理解題意，解決部分代數(shù)題難以用語言清楚解析的問題.

■ 形化數(shù)，抽絲剝縷促進(jìn)數(shù)據(jù)提取

幾何是將具體數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象化之后，再具化表現(xiàn)的結(jié)果. 初中數(shù)學(xué)的幾何問題以平面幾何為主，如何在二維平面中有效提取數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行解答，是我們數(shù)形結(jié)合教學(xué)的重要目標(biāo)之一. 初中生在形化數(shù)過程中可能碰到這些問題：對(duì)于圖形性質(zhì)不了解，無法通過圖形性質(zhì)獲得數(shù)量信息；對(duì)于圖形中隱藏的條件，缺乏辨知能力，無法從圖形中有效提取隱藏?cái)?shù)據(jù)完成運(yùn)算. 針對(duì)這樣的問題，教師在教學(xué)過程中，要有效引導(dǎo)學(xué)生理解圖形性質(zhì)、掌握圖形定理，在理解的基礎(chǔ)上識(shí)記；要引導(dǎo)學(xué)生通過圖形轉(zhuǎn)化、構(gòu)圖法等方式，獲取隱藏在圖形中的數(shù)字密碼，抽絲剝縷，提取對(duì)解題有益的數(shù)據(jù).

例如，教學(xué)蘇教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊“銳角三角函數(shù)”時(shí)，筆者出了這樣一道題：“已知△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是底邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD，已知∠BAD=30°，CD=3，求△ABC的周長. ”這道題目是典型的幾何類數(shù)量運(yùn)算題，學(xué)生需要畫圖，并從圖形中提取有效信息進(jìn)行解答. 而根據(jù)學(xué)生形化數(shù)能力的不同，解決問題的方法也不盡相同. 像形化數(shù)能力一般的學(xué)生，可能會(huì)這樣解答：“因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，CD=3，所以BD=3. 又因?yàn)椤螧AD=30°，所以通過解三角函數(shù)，分別可以求出AD和AB的長度. 又因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，BC是底邊，所以AB=AC，最終求出答案. ”這樣的方法并沒有錯(cuò)，但是因?yàn)樾位瘮?shù)能力不強(qiáng)，不能從圖形中提取最有效的數(shù)據(jù)，導(dǎo)致計(jì)算過程復(fù)雜、煩瑣，影響解題效率. 對(duì)于形化數(shù)能力強(qiáng)的學(xué)生，當(dāng)他們看到“△ABC是等腰三角形且D是底邊BC的中點(diǎn)時(shí)，就知道根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，AD既是中線也是角平分線. 因?yàn)椤螧AD=30°，所以∠B=60°. 由此可以推出△ABC是等邊三角形. 又因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，CD=3，所以BC=6. 最后△ABC的周長就能輕松求出了.”可見，“形”化“數(shù)”能力的培養(yǎng)，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的提高具有重要意義；而形化數(shù)能力培養(yǎng)的關(guān)鍵是學(xué)生對(duì)于圖形的理解和掌握程度，所以教師應(yīng)加強(qiáng)這方面的引導(dǎo)，推動(dòng)初中數(shù)形結(jié)合教學(xué)的深入開展.

■ 數(shù)形合，相互轉(zhuǎn)化提高數(shù)學(xué)能力

無論是數(shù)轉(zhuǎn)形的引導(dǎo)，抑或是形轉(zhuǎn)數(shù)的教學(xué)，最終的目的都是提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力. 數(shù)學(xué)本身就是一個(gè)數(shù)量和圖形緊密相連、相互依存的學(xué)科，著名數(shù)學(xué)家華羅庚就曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微. ”可見數(shù)形從來不可分割，它們是同一整體的不同方面，數(shù)形結(jié)合能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)能力. 初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)概念引入之后，我們才真正開始抽象化、概念化數(shù)學(xué)知識(shí)，而之后的程度將會(huì)不斷加深，因此，在這一階段培養(yǎng)好學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力是十分有益且非常必要的. 初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合，多以數(shù)轉(zhuǎn)形和形化數(shù)題型為主，數(shù)形多次結(jié)合、不斷轉(zhuǎn)化的題型雖然不多，但十分重要. 尤其是二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)引入之后，對(duì)學(xué)生的能力提出了較高的要求；同時(shí)這些知識(shí)對(duì)于學(xué)生之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意義重大，教師應(yīng)該十分重視，認(rèn)真引導(dǎo).

例如，筆者在“二次函數(shù)”的教學(xué)中出了這樣一道題：直線l過x軸上的點(diǎn)C（4，

0），與一條拋物線y=ax2相交于A，B兩點(diǎn)，已知A的坐標(biāo)為（2，2），求直線和拋物線的解析式. 學(xué)生閱讀完題目之后，首先必須根據(jù)題目所給條件，進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，畫出對(duì)應(yīng)的圖形. 這一步十分關(guān)鍵，圖形的準(zhǔn)確與否，直接關(guān)系到之后解題的正確性，這里要特別注意引導(dǎo)學(xué)生確定拋物線的開口方向以及直線的位置. 之后筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察畫出的圖形，由圖形就能清楚地看到A和C是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，之后再引入直線解析式公式y(tǒng)=kx+b，進(jìn)而求出l的解析式為y=-x+4，又由圖形可以看出拋物線經(jīng)過坐標(biāo)A（2，2），從而求出a的值，最后確定拋物線的解析式. 這是一道比較簡單的數(shù)形結(jié)合題，但從中我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合教學(xué)的基礎(chǔ)是學(xué)生是否準(zhǔn)確掌握數(shù)和形的基本概念、公式、定理，教師進(jìn)行數(shù)形結(jié)合教學(xué)首先要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)，在基礎(chǔ)上提高，掌握數(shù)形結(jié)合解題能力.