圖形運動的分類方法

[摘 要] 本文主要講解中考常考的圖形運動類問題中“面的平移”重疊部分的面積問題. 本文提出了解決此類問題的有效解法——時間軸分類法，用此方法解題的關鍵是找到各關鍵點的進出“動圖形”的時刻.

[關鍵詞] 定圖形；動圖形；關鍵點；時間軸；運動

圖形運動型問題是數(shù)學中考的熱點，也是中考的難點，更是考查學生綜合能力的關鍵題目. 初中數(shù)學的運動問題可分為三大類：平移、對稱和旋轉(zhuǎn). 平移又可細分為點的平移、線的平移和面（圖形）的平移；對稱可分為軸對稱和中心對稱. 如：

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近年來，運動問題中考查“重疊部分面積”的試題不計其數(shù)，但無論教師怎么講，學生怎么練，該類題的得分率都不高，原因是學生極易出現(xiàn)漏解. 那如何讓學生避免漏解呢？下面就“面的平移”中關于重疊部分的面積問題（下面簡稱為平移型面積問題）進行講解.

■ 難點分析

平移型面積問題的難點有兩個：

一是分類，即判斷需要將整個運動過程分成幾種情況；

二是求解析式，即如何表示面積（實質(zhì)是如何表示線段的長）.

本文只解決第一個難點——如何分類.

■ 類型分析

本文只研究兩個圖形的平移問題，我們先來明確幾個定義：

（1）動圖形和定圖形：把平移的圖形稱為“動圖形”，把另一個不動的圖形稱為“定圖形”.

（2）平移方向：記為l.

（3）圖形的高：圖形在與平移方向l垂直的方向（記為l■）上的高.

例如：△ABC沿射線BC向右平移，則平移方向l與直線BC平行（如圖1所示），l■與直線BC垂直（如圖2所示）. 于是△ABC在l■方向上的高即為點A到BC的距離（線段AD的長，如圖3所示）.

■ 關鍵點

關鍵點通常是指動圖形的頂點. 筆者將平移型面積問題按兩個圖形高的大小分為三類：

（1）動圖形和定圖形的高相等.

（2）動圖形的高大于定圖形的高.

（3）動圖形的高小于定圖形的高.

■ 解決方法———時間軸分類法

1. 類型一：動圖形和定圖形的高相等

例1？搖 （2006重慶中考改編）如圖4所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC■D■和△BCD兩個三角形.將紙片△AC■D■沿直線DB方向以每秒一個單位長度的速度向右平移（點A，D■，D，B始終在同一直線上，初始位置時點D■與點D重合，點C■與點C重合），當點A與點B重合時，停止平移. 設平移距離DD■為x，△AC■D■與△BCD重疊部分的面積為y，請寫出y與x的函數(shù)關系式，以及自變量的取值范圍.

■？搖

如何分類呢？下面介紹時間軸分類的操作步驟：

（1）第一步，求整個運動持續(xù)的時間，畫出時間軸.

根據(jù)“當點A與點B重合時，停止平移”可求得運動持續(xù)的時間為10秒，可畫出時間軸，如圖5所示.

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（2）第二步，找出動圖形的關鍵點，求出每個點進出定圖形的時間.

①動圖形有三個頂點，即本題的關鍵點有三個，為點A，C■，D■.

②各關鍵點進出定圖形的時刻如下表：

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（3）第三步，補全時間軸. 將第二步中求得的時刻畫到第一步的時間軸上，如圖6所示. 由圖6知時間軸被分成了兩部分，所以確定該運動過程將分兩種情況進行討論.

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（4）第四步，畫出時間軸上各時刻對應的圖形，如圖7、圖8、圖9所示（通常t=0都不畫）.

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（5）第五步，畫出介于第三步中每兩個時刻之間（即時段）的任意時刻的圖形，如圖10和圖11所示.

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注：①自變量的取值范圍中，“=”前后都可以取.

②只有第五步的圖需要畫到解答過程中.

2. 類型二：動圖形的高大于定圖形的高

例2 （2013廣東）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6；在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4■. 將這副直角三角板按圖12所示的位置擺放，即點B與點F重合，邊BA與FD在同一條直線上.現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當點F運動到點A時停止運動. 設BF=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并求出相應的x的取值范圍.

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“不等高”的問題如何解決呢？變不等高問題為等高問題，而其轉(zhuǎn)化的原則為“就低不就高”.

定圖形△ABC的高為AC的長，動圖形△DEF的高為DE的長，根據(jù)“就低不就高”的原則，此時應將動圖形△BDE“變低”. 步驟如下：

（1）第一步，確定定圖形△ABC和動圖形△DEF.

（2）第二步，根據(jù)平移方向，將“高”圖形變“低”，轉(zhuǎn)化成“等高模式”.

根據(jù)平移方向向上，確定左邊界為AB所在的直線l■，右邊界為直線l■（過點C作平移方向的平行線l■），則動圖形夾在左、右邊界的梯形FDGH就和定圖形△ABC等高了，如圖13所示.

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于是可以看成定圖形△ABC和動圖形梯形FDGH的平移過程，余下步驟就按例1的步驟進行分類，主要步驟如下：

①畫出時間軸：如圖14所示.

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②列出時刻表（假定移動的速度為每秒一個單位長度，在數(shù)值上，時間與BF的長相等）：

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③補全時間軸，如圖15所示.

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④畫出各時刻的圖形，如圖16、圖17、圖18、圖19所示.

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⑤畫出各時段的圖形，如圖20、圖21、圖22所示.

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3.？搖類型三：動圖形的高小于定圖形的高

此類問題直接用例1的步驟完成即可. 下題是很多考生都沒能做對的題，你覺得應該分幾種情況呢？

例3 （2012重慶中考改編）如圖23所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3. E為BC邊上一點，且BE=2，以BE為邊作正方形BEFG，頂點F恰好落在對角線AC上. 將正方形BEFG沿BC方向向右平移，記平移中的正方形BEFG為正方形B′EFG，當點E與點C重合時停止平移.設平移的距離為x，正方形B′EFG與△ADC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

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分析 （1）列出時刻表（假定移動的速度為每秒一個單位長度，在數(shù)值上，時間與平移距離x的值相等）：

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（2）畫出各時段的圖形，如圖24、圖25、圖26、圖27所示.

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■ 小結(jié)

本文所闡述的方法是將動態(tài)問題靜態(tài)化，對于初中生學習運動問題有較強的輔助作用. 不過對于平移型面積問題還有兩個圖形同為動圖形、兩個圖形不同底等情況，在學習過程中也要學會靈活運用和轉(zhuǎn)化.