用活動“做出”皮克定理

[摘 要] 本文以探索皮克定理為主線，以學(xué)生活動為主要目的，讓學(xué)生自己做數(shù)學(xué)，通過實際動手操作積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，感受一般科學(xué)研究所要經(jīng)歷的觀察、猜想、驗證、說理等步驟. 學(xué)生通過小組合作，感受合作學(xué)習(xí)的重要性.

[關(guān)鍵詞] 格點多邊形；面積；皮克定理

■ 活動目標(biāo)

1. 通過畫圖、列表、分析數(shù)據(jù)尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)并驗證皮克定理.

2. 讓學(xué)生通過實際操作獲得親身體驗，積累直接經(jīng)驗. 強化學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的主體地位，發(fā)揮學(xué)生的積極性、主動性和創(chuàng)造性，自主地投入活動.

3. 通過動手操作、觀察類比、分析歸納、合作交流等一系列探究活動，了解解決問題的過程和方法，經(jīng)歷從特殊到一般的過程，體驗“在解決多變量問題中采用變量控制法”的科學(xué)思維方法.

■ 活動重點

經(jīng)歷實踐活動的過程，學(xué)會尋找思考問題的著眼點，掌握研究問題的方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.

■ 活動難點

格點多邊形的面積與圖形內(nèi)部及它的邊上的格點數(shù)之間的關(guān)系探究.

■ 活動過程

第一階段：知識點準(zhǔn)備階段

1. 格點

2. 格點多邊形

3. 凹多邊形、凸多邊形

格點：網(wǎng)格紙上畫著縱、橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這兩組平行線的交點稱為格點（如圖1中的點A，B，C，D，E…），顯然，每一個小方格就是一個面積單位.

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格點多邊形：如果一個多邊形的頂點都在格點上，那么這個多邊形叫做格點多邊形（如圖1中的五邊形ABCDE）.

凸多邊形：延長多邊形的任何一邊，如果其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的多邊形叫做凸多邊形（圖2）.

凹多邊形：圖3中的多邊形不具備上述凸多邊形的性質(zhì)，稱為凹多邊形.

第二階段：課題的引入階段

師：求圖4中四邊形ABCD的面積.

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生1：把它分割成三角形和正方形來計算. 如圖5所示，四邊形ABCD的面積=三角形CFD的面積+三角形CEB的面積+正方形AEFD的面積= 0.5+1+1=2.5.

生2：把它補成長方形后計算面積. 如圖6所示，四邊形ABCD的面積=四邊形ABFE的面積-三角形CED的面積-三角形BFC的面積= 4-0.5-1=2.5.

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師：同學(xué)們用割補的思想非常精彩地解決了這個問題，但是這種多邊形的面積還可以根據(jù)圖形內(nèi)部及它的邊上的格點數(shù)目來算，算法十分簡捷.下面我們就來探討這個問題.

第三階段：課題的生成階段

師：研究復(fù)雜的問題，我們可以從最簡單的情況入手，從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般地去探索其中的規(guī)律.

S：格點多邊形的面積；N：多邊形內(nèi)部的格點數(shù)；L：多邊形邊上的格點數(shù).

情況1：當(dāng)N=0時

（圖7為教師出示，以便更好地引導(dǎo)學(xué)生畫出其他的情況）

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圖8為學(xué)生需展示的圖框架：

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展示的同時填寫下表，以便尋找規(guī)律.

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師：仔細(xì)觀察上表中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系嗎？

學(xué)生之間小組合作、交流討論.

生1：S=0.5 L-1.

以此類推解決如下幾種情況.

情況2：當(dāng)N=1時（如圖9所示）

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情況3：當(dāng)N=2時（如圖10所示）

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師：仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系嗎？

（學(xué)生之間小組合作、交流討論）

生1：S=N+0.5 L-1.

師：情況1中的關(guān)系和情況2中的關(guān)系不一樣，它們能夠統(tǒng)一在一起嗎？

生2：可以，因為情況1中的N=0，放在式子中，式子不受影響.

師：通過這幾種情況的驗證，我們更加堅信了S=N+0.5 L-1是正確的.

師：下面以小組為單位，分別驗證N=4，5，6，7…的情況.

師：同學(xué)們，今天我們在一起，通過大家的智慧，得到的這個結(jié)論是奧地利數(shù)學(xué)家皮克在1899年最早得到的，因此這個公式就被稱為“皮克定理”.

■ 教后反思

本堂課的主要教學(xué)目的是讓學(xué)生在“做”中學(xué)，通過實際操作獲得親身體驗，通過動手操作、觀察類比、分析歸納、合作交流等一系列探究活動，了解解決問題的過程和方法. 根據(jù)課前準(zhǔn)備和當(dāng)堂課的實際情況對比來看，有如下幾個方面的問題值得反思.

1. 低起點

讓學(xué)生只要跳一跳就能摘到桃子，要設(shè)計不同層次的活動，讓絕大部分學(xué)生體驗到成功的喜悅.

2. 學(xué)生主體

活動中的主體一定是學(xué)生，教師是參與者、引導(dǎo)者的角色，教師不要過強地控制學(xué)生的節(jié)奏，不要把學(xué)生限制在自己設(shè)定的框框里.

3. 合理分配

小組成員之間的結(jié)構(gòu)要合理，在學(xué)生自由組合的前提之下，教師要根據(jù)自己對學(xué)生的認(rèn)識給予一些合理的安排，課前也要對組長進(jìn)行培訓(xùn)，訓(xùn)練其合理分配任務(wù)的能力，訓(xùn)練其總結(jié)歸納不同想法、不同意見的能力.

4. 客觀評價

實踐活動結(jié)束后，應(yīng)組織學(xué)生進(jìn)行評價，特別是自我之間評價、小組之間評價，要在這些評價中交流體會、總結(jié)經(jīng)驗.