數(shù)學(xué)圖表——從感性認(rèn)識(shí)走向理性思考

[摘 要] 教材中的圖表可以讓學(xué)生比較直觀地感知事物或現(xiàn)象，以獲得生動(dòng)的表象和概念，能為學(xué)生理解、記憶知識(shí)創(chuàng)造有利的條件. 本文就如何運(yùn)用和繪制數(shù)學(xué)圖表來幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、解決數(shù)學(xué)問題，談?wù)剛€(gè)人體會(huì).

[關(guān)鍵詞] 直觀圖；示意圖；結(jié)構(gòu)圖；一覽表；對(duì)比圖

■ 鏡頭回放

星期天，兒子在數(shù)學(xué)報(bào)上看到這樣一道有趣的算術(shù)題：

雞、兔共有頭15個(gè)，共有腿40條，問雞、兔各幾只？

兒子從來沒有看到過這樣的數(shù)學(xué)題，頓時(shí)來了興趣，連忙跑來向我請(qǐng)教. 我一看，這是一道典型的“雞兔同籠”問題，這類問題中含有兩個(gè)未知數(shù)，對(duì)于高年級(jí)的學(xué)生來說，可能會(huì)選擇用方程或者假設(shè)法來解決，但是對(duì)于才讀二年級(jí)的兒子來說，顯然這個(gè)方法和他講解起來有一定難度，那么能不能用低年級(jí)學(xué)生喜歡的畫圖法來解決？于是，我嘗試讓兒子根據(jù)題目的意思畫圖.

第一步，先畫15個(gè)頭：

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第二步，每個(gè)頭畫2條腿：

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第三步，剩下的10條腿可以分給5個(gè)頭，每個(gè)頭畫2條腿：

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由此可見，有4條腿的是兔子，2條腿的是雞. 答案是5只兔子，10只雞.

■ 案例反思

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)問題中存在的某些現(xiàn)實(shí)生活和事物的相互聯(lián)系或數(shù)量之間的關(guān)系，這些關(guān)聯(lián)性的知識(shí)具有一定的結(jié)構(gòu)性，也能建立起某一數(shù)學(xué)模型（包括公式、定理、關(guān)系式等）.

從心理學(xué)發(fā)展的觀點(diǎn)看，兒童認(rèn)識(shí)事物都是從感知開始，然后形成表象，再由表象逐步發(fā)展到抽象的認(rèn)識(shí). 因此，在教學(xué)中，把抽象難懂的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀形象的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使相對(duì)復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問題的能力.

眾所周知，教材中的圖表也是一種數(shù)學(xué)模型，它可以讓學(xué)生比較直觀地感知事物或現(xiàn)象，以獲得生動(dòng)的表象和概念，能為學(xué)生理解、記憶知識(shí)創(chuàng)造有利的條件. 因此，教師不僅要把課本上現(xiàn)成的圖表利用好，甚至還要親自編制，借助圖表的直觀作用，催化“數(shù)”與“形”的結(jié)合，引發(fā)聯(lián)想，從而促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化.

■ 畫直觀圖，從無形到有形

小學(xué)生的思維水平還處于形象思維階段，抽象思維僅僅得到初步發(fā)展，歸納推理、演繹推理和邏輯推理的能力相對(duì)較低. 因此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)需要從具體形象、直觀表象開始，為學(xué)生搭建可以操作思考的“腳手架”—— 直觀、具體、形象的圖表，讓學(xué)生從一個(gè)個(gè)鮮活的圖與圖的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從一系列的數(shù)據(jù)中感悟、找到解決問題的方法.

例如教學(xué)“筆算乘法”時(shí)，教師采用畫直觀圖形分析題意的方法，既形象直觀地解決了它們之間的相等關(guān)系，又巧妙地運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決了新出現(xiàn)的筆算乘法問題.

（1）請(qǐng)大家根據(jù)每小時(shí)行的路程相等，把12小時(shí)行駛的路程用圖形畫出來. （1小時(shí)行駛的路程為145千米，用1個(gè)○表示）

（2）請(qǐng)大家再把數(shù)量和問題在圖形中表示出來.

（3）請(qǐng)大家根據(jù)圖形中數(shù)量之間的關(guān)系，說說解決問題的方法，并列出算式.

（4）集體討論：對(duì)于145×12 ，你會(huì)筆算嗎？你們會(huì)算幾小時(shí)的路程（10小時(shí)以內(nèi)的路程）？請(qǐng)大家把圖形中的12小時(shí)巧妙地分成兩部分畫出來.

問：算出2小時(shí)與10小時(shí)的路程和，它同12小時(shí)的路程相等嗎？

反饋：①145×2=290（千米）；②145×10=1450（千米）；③1450+290=1740（千米）；④145×12=1740（千米）.

（5）用上面的思路解釋筆算過程：把上面的三步計(jì)算得數(shù)分別寫在下面的筆算豎式中，就是先用個(gè)位上的2去乘，把所得的積的末尾與個(gè)位對(duì)齊，再用十位上的1去乘，把所得的積的末尾與十位對(duì)齊，最后把兩次所得的積相加.

■ 畫一覽表，從無序到有序

一覽表是把某種知識(shí)的主要內(nèi)容按一定的格式羅列在一起，使其一目了然，一覽無余. 它的特征是簡明扼要，有助于促進(jìn)學(xué)生將無序的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為有序的規(guī)律性問題.

例如，教學(xué)完“平行和垂直”后，我要求學(xué)生列出同一平面內(nèi)兩條直線的相互關(guān)系時(shí)，有的學(xué)生列表如下：

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例如解決“用18根一米長的木棒圍成羊圈，面積最大是多少？”時(shí)，教師要求學(xué)生根據(jù)操作的結(jié)果，按照一定的順序填寫下表：

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借助一覽表，學(xué)生不僅有序地排列出周長是18米時(shí)的各種長方形形狀，而且還觀察到規(guī)律：在周長相等的情況下，長和寬相差越大，面積就越?。环粗?，長和寬相差越小，面積就越大.

■ 畫示意圖，從復(fù)雜到簡單

示意圖是用形象化的表達(dá)方式把有關(guān)知識(shí)模擬地體現(xiàn)出來，它是對(duì)知識(shí)進(jìn)行間接抽象或高度概括的結(jié)果，是一種優(yōu)化和美化的教學(xué)輔助手段，其特點(diǎn)是直觀、形象、具體，能在學(xué)生心里留下強(qiáng)烈、持久的印記，易于領(lǐng)會(huì)知識(shí)的核心. 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有的習(xí)題，就明確要求學(xué)生畫示意圖.

例如解決問題“小軍從自己的郵票中，拿出一半多一張給小芳，還剩25張”時(shí)，學(xué)生通過敘述的條件繪制示意圖，從題目出發(fā)用形象化的“語言”整理出小軍活動(dòng)的過程，由此倒推出小軍原來的郵票張數(shù).

原來？張？搖÷2？搖（？搖？搖 ）-1？搖（25）

→？搖 ？搖？搖？搖？搖 →

？搖？搖？搖？搖 ？搖×2？搖 ？搖？搖？搖？搖 +1

（？搖？搖 ） ←？搖（？搖？搖 ）←？搖 （25）

例如解決“訂閱雜志《科學(xué)世界》《七彩文學(xué)》《數(shù)學(xué)樂園》，最少訂閱1本，最多訂閱3本. 有多少種不同的訂閱方法？”時(shí)，因感到文字書寫的煩瑣，學(xué)生“創(chuàng)造”了用符號(hào)A，B，C或數(shù)字①②③等來表示不同圖書的方法，從而順利解決了問題.

用A（或①）代表《科學(xué)世界》、B（或②）代表《七彩文學(xué)》、C（或③）代表《數(shù)學(xué)樂園》. 基本組合有3種：A，B，C；兩兩組合有3種：A+B，A+C，B+C；三本組合有1種：A+B+C；一共有7種.

■ 畫結(jié)構(gòu)圖，從零散到系統(tǒng)

結(jié)構(gòu)圖是把某一系統(tǒng)的知識(shí)或方法，用某種形式（如遞推符號(hào)→）表示出來，便于理清相互之間的次序、脈絡(luò)，呈現(xiàn)出一定的形象特征. ？搖？搖？搖

這種圖表一般都是進(jìn)行章節(jié)小結(jié)時(shí)用，因?yàn)樗苁狗稚⒌摹?fù)雜的內(nèi)容統(tǒng)一起來，使其內(nèi)在聯(lián)系更加系統(tǒng)、清晰. 繪制時(shí)，首先要搞清知識(shí)間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，然后樹立框架，使平淡的內(nèi)容產(chǎn)生立體感；反過來，通過看結(jié)構(gòu)圖，又能促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行重新回顧，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)間的推導(dǎo)線索、內(nèi)在和外在聯(lián)系的理解、消化和吸收.

例如，數(shù)的整除概念是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，涉及概念之廣、方法之多，使其靈活性、綜合性更強(qiáng)，因此，在復(fù)習(xí)時(shí)我出示了以下的結(jié)構(gòu)圖：

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很明顯，這種結(jié)構(gòu)圖使學(xué)生對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的依存關(guān)系，有了透徹的理解，易于掌握和熟練地運(yùn)用.

■ 畫對(duì)比圖，從共性到個(gè)性

對(duì)比圖是將相近或類似、但又有本質(zhì)區(qū)別的某些知識(shí)內(nèi)容，匯集在同一張表格中，進(jìn)行觀察、分析、比較. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可供列表對(duì)比的素材很多，例如在學(xué)生學(xué)習(xí)完“直線、射線和線段”之后，可以讓學(xué)生總結(jié)并列出下表：

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在溝通比、分?jǐn)?shù)和除法關(guān)系的時(shí)候，有學(xué)生列出如下的對(duì)比圖：？搖

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列對(duì)比表是對(duì)比教學(xué)的重要手段，是培養(yǎng)學(xué)生比較能力的有效方法，尤其是讓學(xué)生自己把那些極易混淆的概念、性質(zhì)、公式等，列表對(duì)比，既容易分辨其個(gè)性，又容易領(lǐng)悟其共性.

綜合所述，深化圖表式教學(xué)的關(guān)鍵在于，教師充分運(yùn)用自身的理論水平和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，深入鉆研教材，精心設(shè)計(jì)高層次的圖表. 只有這樣，才能拓展圖表教學(xué)的功能，使之充分展示其優(yōu)勢(shì)，起到數(shù)學(xué)思維從感性認(rèn)識(shí)到理性思考應(yīng)有的橋梁作用.