利用一題多解培養(yǎng)學(xué)生思維能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“數(shù)學(xué)課程要使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力?！薄傲己玫臄?shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生理解和運(yùn)用一些數(shù)學(xué)概念，掌握一些數(shù)學(xué)方法，還應(yīng)當(dāng)包括使學(xué)生感悟一些數(shù)學(xué)的基本思想?！痹诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中，要教育和引導(dǎo)學(xué)生多方位、多層次、多角度地分析、思考、理解、解決數(shù)學(xué)問題，鼓勵學(xué)生一題多解，從各個不同的角度進(jìn)行分析、探討，可以得出多種解法，再進(jìn)行分析對比，選出巧解妙證。這樣的思考分析方法，對開闊學(xué)生的視野，拓寬學(xué)生的思路，擴(kuò)大解題成果，提高學(xué)生的邏輯思維水平和解題能力，是很有益處的?，F(xiàn)以中考一道試題為例，介紹幾種不同的證明方法。

（圖1）

例如：如圖1，在等腰三角形ABC中，AH⊥BC于H，D是底邊BC上的任意一點(diǎn)，過D點(diǎn)作BC的垂線交AC于M，交BA的延長線于N。求證：DM+DH=2AH。

一、用分析法證明

所謂分析法就是將被研究對象的整體分為各個部分、方面、因素和層次，并分別加以考察的認(rèn)識活動方法?，F(xiàn)用分析法證明如下。

證明：要DM+DN=2AH，只要+=2，而由DM∥AH，得+，由DN∥AH，得=. 因此，只要證+=2即可。又∵AB=AC，∴只要證CM=BN=2AC，于是只要證AM=AN即可。又∵∠ANM=∠BAH，∠ AMN=∠MAH，又∵AH是等腰△ABC底邊上的高，∴∠BAH=∠MAH，∴∠ANM=∠AMN，∴AM=AN，∴CM+BN=CM+AB+AN=CM+AB+AM=CM+

AM+AB=AC+AB=2AC，可證：DM+DH=2AH。

以上這種證明方法也叫倒推法，就是執(zhí)果尋因，從我們所要的結(jié)果A出發(fā)，尋找能獲得A1的充分條件A2，再以A2為結(jié)果，尋找能獲得A2的充分條件A3……直到找到某一個能保證An-1成立的充分條件An，這個An是已知的（包括已知定義、公理、已有定理或題設(shè)），由于我們每步所找的都是充分條件，因此倒過來便知能從AN推到An-1 ……最近推到A1。這種倒推法有利于發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，是我們數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中給學(xué)生分析題目時常用而且又是非常重要的方法之一。

二、用綜合法證明

所謂綜合法，是把研究對象各部分聯(lián)系起加以研究，在整體上把握事物的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維方法。現(xiàn)用綜合法證明如下。

如圖1，在△ACN中，∵M(jìn)D∥AH，∴=，在△BDN中，∵ND∥AH，∴=，∵AB=AC，∴=，又∵ND∥AH，∴∠ANM=∠BAH，∴∠AMN=∠ANM=∠BAH，∴∠AMN=∠MAH。又∵AH是等腰△ABC底邊上的高，∴∠BAH=∠MAH，∴∠ANM=∠AMN，∴AM=AN。CM+BN=CM+

AB+AN=CM+AN+AB=2AC，∴==2，∴=2，∴DM+DN=2AH。

通過上面的證明過程，我們可以發(fā)現(xiàn)，用綜合法證明比用分析法證明要難，但看題目時較容易，宜于答題時使用。

三、用代數(shù)法證明

代數(shù)法就是用代數(shù)知識解決非代數(shù)的題目，從而達(dá)到化繁為簡、代難為易的目的?，F(xiàn)用代數(shù)法證明如下。

如圖1，設(shè)BN=X，DH=Y，則CD=X-Y，BD=X+Y，由△ABH∽△NBD，得==，由△MCD∽△ACH，得==，∴+=+=2，∴DM+DN=2AH

從代數(shù)法證明中我們可以看到代數(shù)法解決非代數(shù)問題，特別是幾何中的線段比例問題，有時會達(dá)到事半功倍的效果。

四、用三角法證明

三角法就是用三角方面的知識解決非三角方面的問題，從而達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的?，F(xiàn)用三角法證明如下。

如圖1，在Rt△ABH中，tanB=，∴AH=BHtanB.在Rt△NBD中，tanB=，∴DN=（BH+HD）tanB，在Rt△MDC中， tanC=，∴DM=（HC-HD）tanC，∵∠C=∠B，∴tanC=tanB. 又∵CH=BH，DM+DN-2AH=（HC-HD）tanC+（BH+HD）tanB-2BHtanB=HCtanC-HDtanC+BHtanB+HDtanB-2BHtanB=BHtanB-HDtanB+BHtanB+HDtanB-2BHtanB=0，∴DM+DN-2AH=0，

DM+DN=2AH。

從以上證明中可以看出，用三角證明法對解決非三角問題，尤其是代數(shù)問題，常常會迎刃而解，但因三角在初中數(shù)學(xué)中不作要求，故該種方法僅供參考。

以上幾種證明方法中，第一至第三種方法較容易，而且簡單，它們都有一種特點(diǎn)，就是利用比例關(guān)系，互相加（或減）使用，很容易與條件建立關(guān)系，而第四種方法學(xué)生是較難理解和掌握的。總的看來，此題不僅解題方法較多，而且方法有難有易，充分體現(xiàn)了命題者的匠心。通過這樣一題多解，能夠很好地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，開闊學(xué)生的視野，拓寬學(xué)生的思路，從而達(dá)到《標(biāo)準(zhǔn)》提出的“了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學(xué)態(tài)度”的要求，從而有利于優(yōu)秀人才的培養(yǎng)。